(1)導(dǎo)體棒切割磁感線運(yùn)動時的動力學(xué)問題；(2)電磁感應(yīng)中的能量轉(zhuǎn)化問題；(2)電磁感應(yīng)中的動量與能量問題。

例1．(2020•全國卷I•21)如圖，U形光滑金屬框abcd置于水平絕緣平臺上，ab和dc邊平行，和bc邊垂直。ab、dc足夠長，整個金屬框電阻可忽略。一根具有一定電阻的導(dǎo)體棒MN置于金屬框上，用水平恒力F向右拉動金屬框，運(yùn)動過程中，裝置始終處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，MN與金屬框保持良好接觸，且與bc邊保持平行。經(jīng)過一段時間后(　　)

A. 金屬框的速度大小趨于恒定值
B. 金屬框的加速度大小趨于恒定值
C. 導(dǎo)體棒所受安培力的大小趨于恒定值
D. 導(dǎo)體棒到金屬框bc邊的距離趨于恒定值
【答案】BC
【解析】由bc邊切割磁感線產(chǎn)生電動勢，形成電流，使得導(dǎo)體棒MN受到向右的安培力，做加速運(yùn)動，bc邊受到向左的安培力，向右做加速運(yùn)動。當(dāng)MN運(yùn)動時，金屬框的bc邊和導(dǎo)體棒MN一起切割磁感線，設(shè)導(dǎo)體棒MN和金屬框的速度分別為v1、v2，則電路中的電動勢E＝BL(v2－v1)，電流中的電流，金屬框受到的安培力，與運(yùn)動方向相反，導(dǎo)體棒MN受到的安培力，與運(yùn)動方向相同，設(shè)導(dǎo)體棒MN和金屬框的質(zhì)量分別為m1、m2，則對導(dǎo)體棒MN有，對金屬框有，初始速度均為零，則a1從零開始逐漸增加，a2從開始逐漸減小。當(dāng)a1＝a2時，相對速度，大小恒定。整個運(yùn)動過程用速度時間圖象描述如圖所示。綜上可得，金屬框的加速度趨于恒定值，安培力也趨于恒定值，BC正確；金屬框的速度會一直增大，導(dǎo)體棒到金屬框bc邊的距離也會一直增大，AD錯誤。

例2．(2020•全國卷III•24)如圖，一邊長為l0的正方形金屬框abcd固定在水平面內(nèi)，空間存在方向垂直于水平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場。一長度大于2l0的均勻?qū)w棒以速率v自左向右在金屬框上勻速滑過，滑動過程中導(dǎo)體棒始終與ac垂直且中點(diǎn)位于ac上，導(dǎo)體棒與金屬框接觸良好。已知導(dǎo)體棒單位長度的電阻為r，金屬框電阻可忽略。將導(dǎo)體棒與a點(diǎn)之間的距離記為x，求導(dǎo)體棒所受安培力的大小隨x（0≤x≤2l0）變化的關(guān)系式。

【解析】當(dāng)導(dǎo)體棒與金屬框接觸的兩點(diǎn)間棒的長度為l時，由法第電磁感應(yīng)定律可知導(dǎo)體棒上感應(yīng)電動勢的大小為：E＝BLv
由歐姆定律可知流過導(dǎo)體棒的感應(yīng)電流為
式中R為這一段導(dǎo)體棒的電阻。按題意有R＝rl
此時導(dǎo)體棒所受安培力大小為F＝BIl
由題設(shè)和幾何關(guān)系有：
聯(lián)立各式得
【點(diǎn)睛】用“四步法”分析電磁感應(yīng)中的動力學(xué)問題：“源”的分析——分離出電路中由電磁感應(yīng)所產(chǎn)生的電源，確定E和r；“路”的分析——弄清串并聯(lián)關(guān)系，求出電流，確定安培力；“力”的分析——確定桿或線框受到的力，求合力；“運(yùn)動”的分析——由運(yùn)動和力的關(guān)系，確定運(yùn)動模型。

1．如圖所示，在一固定水平放置的閉合導(dǎo)體圓環(huán)上方，有一條形磁鐵，從離地面高h(yuǎn)處，由靜止開始下落，最后落在水平地面上。磁鐵下落過程中始終保持豎直方向，并從圓環(huán)中心穿過圓環(huán)，而不與圓環(huán)接觸。若不計空氣阻力。重力加速度為g，下列說法中正確的是(　　)

A．在磁鐵下落的整個過程中，圓環(huán)中的感應(yīng)電流方向先逆時針后順時針(從上向下看圓環(huán))
B．磁鐵在整個下落過程中，受圓環(huán)對它的作用力先豎直向上后豎直向下
C．磁鐵在整個下落過程中，它的機(jī)械能不變
D．磁鐵落地時的速率一定等于2gh
【答案】A
【解析】當(dāng)條形磁鐵靠近圓環(huán)時，穿過圓環(huán)的磁通量增加，根據(jù)楞次定律可判斷圓環(huán)中感應(yīng)電流的方向為逆時針(從上向下看圓環(huán))，當(dāng)條形磁鐵遠(yuǎn)離圓環(huán)時，穿過圓環(huán)的磁通量減小，根據(jù)楞次定律可判斷圓環(huán)中感應(yīng)電流的方向為順時針(從上向下看圓環(huán))，A項正確；根據(jù)楞次定律的推論“來拒去留”原則，可判斷磁鐵在整個下落過程中，受圓環(huán)對它的作用力始終豎直向上，B項錯誤；磁鐵在整個下落過程中，由于受到磁場力的作用，機(jī)械能不守恒，C項錯誤；若磁鐵從高度h處做自由落體運(yùn)動，其落地時的速度v＝2gh，但磁鐵穿過圓環(huán)的過程中要產(chǎn)生一部分電熱，根據(jù)能量守恒定律可知，其落地速度一定小于2gh，D項錯誤。
2．如圖所示裝置，電源的電動勢E＝8 V，內(nèi)阻r1＝0.5 Ω，兩光滑金屬導(dǎo)軌平行放置，間距d＝0.2 m，導(dǎo)體棒ab用等長絕緣細(xì)線懸掛并剛好與導(dǎo)軌接觸，ab左側(cè)為水平直軌道，右側(cè)為半徑R＝0.2 m的豎直圓弧導(dǎo)軌，圓心恰好為細(xì)線懸掛點(diǎn)，整個裝置處于豎直向下的、磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.5 T的勻強(qiáng)磁場中。閉合開關(guān)后，導(dǎo)體棒沿圓弧運(yùn)動，已知導(dǎo)體棒的質(zhì)量m＝0.06 kg，電阻r2＝0.5 Ω，g取10 m/s2，不考慮運(yùn)動過程中產(chǎn)生的反電動勢，則(　　)

A．導(dǎo)體棒ab所受的安培力方向始終與運(yùn)動方向一致
B．導(dǎo)體棒在擺動過程中所受安培力F＝8 N
C．導(dǎo)體棒擺動過程中的最大動能0.8 J
D．導(dǎo)體棒ab速度最大時，細(xì)線與豎直方向的夾角θ＝53°
【答案】D
【解析】當(dāng)閉合開關(guān)S后，導(dǎo)體棒中電流方向始終從a到b，所受安培力方向向右，而導(dǎo)體棒沿圓弧擺動，故A錯誤；導(dǎo)體棒沿圓弧擺動過程中的電流I＝＝8.0 A，導(dǎo)體棒受到的安培力F＝BId＝0.5×8.0×0.2 N＝0.8 N，故B錯誤；導(dǎo)體棒受到的重力與安培力的合力大小F合＝ N＝1.0 N，合力與豎直方向的夾角tanθ＝43，θ＝53°，故導(dǎo)體棒ab速度最大時，細(xì)線與豎直方向的夾角θ＝53°，由動能定理，導(dǎo)體棒在擺動過程中的最大動能Ekm＝FRsin 53°－mgR(1－cos 53°)＝0.08 J，故C錯誤，D正確。
4．如圖所示，足夠長的金屬導(dǎo)軌豎直放置，金屬棒ab、cd均通過棒兩端的環(huán)套在金屬導(dǎo)軌上。虛線上方有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，虛線下方有豎直向下的勻強(qiáng)磁場，兩勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。ab、cd棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)均為μ，兩棒總電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計。開始兩棒靜止在圖示位置，當(dāng)cd棒無初速釋放時，對ab棒施加豎直向上的力F，沿導(dǎo)軌向上做勻加速運(yùn)動。則(　　)

A．a(chǎn)b棒中的電流方向由b到a
B．cd棒先加速運(yùn)動后勻速運(yùn)動
C．cd棒所受摩擦力的最大值等于cd棒的重力
D．力F做的功等于兩棒產(chǎn)生的電熱與ab棒增加的機(jī)械能之和
【答案】A
【解析】根據(jù)右手定則知ab棒切割磁感線運(yùn)動產(chǎn)生的感應(yīng)電流方向為從b到a，A項正確；電流I＝BLvR，cd棒受到的安培力Fcd＝BIL＝B2L2vR，cd棒受到的摩擦力f＝μFcd，所以隨著速度的均勻增大，cd棒受到的摩擦力也均勻增大，則cd棒先做加速運(yùn)動，后做減速運(yùn)動，最后停止運(yùn)動，B、C項錯誤；由功能關(guān)系得，力F做的功等于兩棒產(chǎn)生的電熱、cd棒摩擦生熱與兩棒增加的機(jī)械能之和，D項錯誤。
5．(多選)如圖所示，在光滑的水平面上，有一豎直向下的勻強(qiáng)磁場，分布在寬度為L的區(qū)域內(nèi)，現(xiàn)有一邊長為d(d<L)的正方形閉合線框以垂直于磁場邊界的初速度v0滑過磁場，線框剛好能穿過磁場，運(yùn)動過程中線框靠近磁場左邊界的一邊始終與磁場邊界平行，下列說法正確的是(　　)

A．線框在滑進(jìn)磁場的過程與滑出磁場的過程均做變加速直線運(yùn)動
B．線框在滑進(jìn)磁場的過程中與滑出磁場的過程中通過線框橫截面的電荷量相同
C．線框在滑進(jìn)磁場的過程中速度的變化量與滑出磁場的過程中速度的變化量不同
D．線框在滑進(jìn)與滑出磁場的過程中產(chǎn)生的熱量Q1與Q2之比為3∶1
【答案】ABD
【解析】線框進(jìn)入磁場過程中，受到的安培力方向向左，做減速運(yùn)動，隨著速度的減小，安培力也減小，故做變加速直線運(yùn)動，當(dāng)線框完全進(jìn)入磁場到右邊的框邊出磁場的過程中，穿過線框的磁通量不變，沒有感應(yīng)電流產(chǎn)生，做勻速直線運(yùn)動，當(dāng)線框滑出磁場的過程中，受到的安培力方向向左，仍做減速運(yùn)動，隨速度的減小，安培力減小，故也做變加速直線運(yùn)動，A正確；根據(jù)q＝ΔΦR可知滑進(jìn)磁場和滑出磁場的過程中穿過線框的磁通量的變化量相同，線框的電阻不變，所以兩個過程中通過線框橫截面的電荷量相同，B正確；進(jìn)入磁場過程有：－BI1dΔt1＝mΔv1，又I1Δt1＝q，，則得－Bqd＝mΔv1，離開磁場過程有：－BI2dΔt2＝mΔv2，又I2Δt2＝q，則得－Bqd＝mΔv2，則得Δv1＝Δv2，即線框速度的變化量相同，C錯誤；進(jìn)磁場的速度為v0，則完全進(jìn)磁場的速度為v02，完全出磁場的速度為0.根據(jù)能量守恒定律得，Q1＝12mv02－12m(v02)2＝38mv02，Q2＝12m(v02)2＝18mv02，所以Q1Q2＝31，故D正確。
6．(多選)在如圖所示的傾角為θ的光滑斜面上，存在著兩個磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，區(qū)域Ⅰ的磁場方向垂直斜面向上，區(qū)域Ⅱ的磁場方向垂直斜面向下，磁場寬度HP及PN均為L，一個質(zhì)量為m、電阻為R、邊長也為L的正方形導(dǎo)線框abcd，由靜止開始沿斜面下滑，t1時刻ab邊剛越過GH進(jìn)入磁場Ⅰ區(qū)域，此時導(dǎo)線框恰好以速度v1做勻速直線運(yùn)動；t2時刻ab邊下滑到JP與MN的中間位置，此時導(dǎo)線框又恰好以速度v2做勻速直線運(yùn)動。重力加速度為g，下列說法中正確的是(　　)

A．當(dāng)ab邊剛越過JP時，導(dǎo)線框的加速度大小為a＝gsin θ
B．導(dǎo)線框兩次勻速直線運(yùn)動的速度之比v1∶v2＝4∶1
C．從t1到t2的過程中，導(dǎo)線框克服安培力做功的大小等于重力勢能的減少量
D．從t1到t2的過程中，有3mgLsin θ2＋m?v12－v22?2機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能
【答案】BD
【解析】ab邊剛越過GH進(jìn)入磁場Ⅰ區(qū)域時，電動勢E1＝BLv1，電流I1＝E1R＝BLv1R，線框做勻速運(yùn)動，所以mgsin θ＝BI1L＝B2L2v1R，當(dāng)ab邊剛越過JP時，電動勢E2＝2BLv1，I2＝E2R＝2BLv1R，根據(jù)牛頓第二定律2BI2L－mgsin θ＝ma，聯(lián)立解得a＝3gsin θ，所以A錯誤；當(dāng)a＝0時，以速度v2做勻速直線運(yùn)動，即2BI2′L－mgsin θ＝0，得mgsin θ＝4B2L2v2R，所以v1∶v2＝4∶1，所以B正確；從t1到t2的過程中，根據(jù)能量守恒，導(dǎo)線框克服安培力做功的大小等于重力勢能的減少量加上動能的減少量，即克服安培力做功W＝3mgLsin θ2＋m?v12－v22?2，所以C錯誤；又克服安培力做功等于產(chǎn)生的電能，所以D正確。
7．(多選)物理和數(shù)學(xué)有緊密的聯(lián)系，解決物理問題經(jīng)常要求同學(xué)們要有一定的數(shù)學(xué)功底。如圖所示，一個被x軸與曲線方程 (m) (x ≤ 0.3 m)所圍的空間中存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.4 T。單匝正方形絕緣金屬線框的邊長是L＝0.4 m，線框總電阻R＝0.2 Ω，它的一邊在光滑軌道的x軸上，在拉力F的作用下，線框以v＝10 m/s的速度水平向右勻速運(yùn)動。則(　　)

A．拉力F的最大值是0.72 N
B．拉力F的最大功率是12.8 W
C．拉力F要做0.192 J功才能把線框拉過磁場區(qū)
D．拉力F要做0.216 J功才能把線框拉過磁場區(qū)
【答案】AD
【解析】線框向右勻速運(yùn)動過程中，切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E＝Blv＝Byv，當(dāng)y最大時，E最大，最大值Em＝Bymv＝1.2V，感應(yīng)電流最大值 A，所受到的安培力最大，拉力F的最大值 N，拉力F的最大功率P＝Fmv＝7.2 W，故A正確，B錯誤；整個過程拉力做功 J，故D正確，C錯誤。
8．(多選)如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場垂直于光滑金屬導(dǎo)軌平面向外，導(dǎo)軌左右兩端電路所在區(qū)域均無磁場分布。垂直于導(dǎo)軌的導(dǎo)體棒接入電路的長度為L、電阻為R，在外力作用下以速度v0從左向右做勻速直線運(yùn)動。小燈泡電阻為2R，滑動變阻器總阻值為4R。圖示狀態(tài)滑動觸頭位于ab的正中間位置，此時位于平行板電容器中的P處的帶電油滴恰好處于靜止?fàn)顟B(tài)。電路中其余部分電阻均不計，各接觸處都接觸良好。且導(dǎo)軌足夠長，則下列判斷正確的是(　　)

A．若將滑動變阻器的滑片向b端移動，則小燈泡將變暗
B．若將滑動變阻器的滑片向a端移動，則液滴將向上運(yùn)動
C．圖示狀態(tài)下，Δt時間內(nèi)流過小燈泡的電荷量為
D．圖示狀態(tài)下，Δt時間內(nèi)滑動變阻器消耗的電能為
【答案】ABD
【解析】滑動變阻器的滑片向b端移動，并聯(lián)電路電阻變小，總電阻變小，導(dǎo)致電路電流變大，則導(dǎo)體棒內(nèi)電壓變大，外電路兩端電壓變小，即燈泡兩端電壓變小，所以燈泡變暗，故A正確；滑動變阻器的滑片向a端移動，并聯(lián)電路電阻變大，總電阻變大，導(dǎo)致電路電流變小，則導(dǎo)體棒內(nèi)電壓變小，外電路兩端電壓變大，電容器兩端電壓變大，電場力變大，所以液滴將向上運(yùn)動，故B正確；導(dǎo)體切割磁感線產(chǎn)生的電動勢E＝BLv0，燈泡的電阻和滑動變阻器接入電路的電阻相同，所以電路總電阻R0＝2R，電路的總電流，則通過燈泡的電流，則Δt時間內(nèi)的電荷量，故C錯誤；由C選項可知滑動變阻器的電流，故Δt時間內(nèi)滑動變阻器消耗的電能，故D正確。
9．如圖所示，一不計電阻的導(dǎo)體圓環(huán)，半徑為r、圓心在O點(diǎn)，過圓心放置一長度為2r、電阻為2R的均勻輻條，輻條與圓環(huán)接觸良好。現(xiàn)將此裝置的一部分置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場中，磁場邊界恰好與圓環(huán)的直徑在同一直線上。現(xiàn)使輻條以角速度ω繞O點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)動，右側(cè)電路通過電刷與輻條中心和圓環(huán)的邊緣良好接觸，R1＝R，右側(cè)為水平放置的足夠長的光滑平行導(dǎo)軌，間距為2r，導(dǎo)軌之間有垂直導(dǎo)軌平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B的勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體棒ab垂直放置在導(dǎo)軌上且接觸良好，不計其他電阻。

(1)若S閉合，S1斷開時，求理想電表的示數(shù)；
(2)若S、S1都閉合，求導(dǎo)體棒ab能夠獲得的最大速度vm及在加速過程中通過它的電荷量q。
【解析】(1)由題意知，在磁場內(nèi)部的半根輻條相當(dāng)于是電源，由右手定則可知輻條中心為負(fù)極，與圓環(huán)邊緣接觸的一端為正極，且始終有長為r的輻條在轉(zhuǎn)動切割磁感線，內(nèi)電阻為R
產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為：
若S閉合，S1斷開時，總電阻為：
理想電流表的示數(shù)為：
理想電壓表的示數(shù)為：。
(2)若S、S1都閉合，導(dǎo)體棒ab獲得最大速度vm時，安培力為零，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：

又知導(dǎo)體棒ab上分得電壓為：
故有：
解得：。
在導(dǎo)體棒ab加速過程中，設(shè)瞬間流過的電流為i，取很短時間為Δt，安培力為：
對導(dǎo)體棒ab由動量定理得：
又：
聯(lián)立解得：。
10．如圖所示，兩平行長直金屬導(dǎo)軌(不計電阻)水平放置，間距為L，有兩根長度均為L、電阻均為R、質(zhì)量均為m的導(dǎo)體棒AB、CD平放在金屬導(dǎo)軌上。其中棒CD通過絕緣細(xì)繩、定滑輪與質(zhì)量也為m的重物相連，重物放在水平地面上，開始時細(xì)繩伸直但無彈力，棒CD與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)為μ，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，忽略其他摩擦和其他阻力，導(dǎo)軌間有一方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場B1，磁場區(qū)域的邊界滿足曲線方程： (0≤x≤L，單位為m)。CD棒處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場B2中。現(xiàn)從t＝0時刻開始，使棒AB在外力F的作用下以速度v從與y軸重合處開始沿x軸正方向做勻速直線運(yùn)動，在運(yùn)動過程中CD棒始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。

(1)求棒AB在運(yùn)動過程中，外力F的最大功率；
(2)求棒AB通過磁場區(qū)域B1的過程中，棒CD上產(chǎn)生的焦耳熱；
(3)若棒AB在勻強(qiáng)磁場B1中運(yùn)動時，重物始終未離開地面，且滿足：，求重物所受支持力大小隨時間變化的表達(dá)式。
【解析】(1)當(dāng)棒AB運(yùn)動到處時，棒AB的有效切割長度最長，安培力最大，則外力F最大，功率也最大，此時：
E1＝B1Lv，，F(xiàn)1＝B1I1L，Pm＝Fv
解得：Pm＝。
(2)棒AB在勻強(qiáng)磁場區(qū)域B1的運(yùn)動過程中，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：
E＝B1Lvsin
則感應(yīng)電動勢的有效值為：E有效＝，I有效＝，t＝
可以得到：。
(3)當(dāng)CD棒所受安培力F安＝μmg 時，設(shè)棒AB所在位置橫坐標(biāo)為x0，對棒CD受力分析可得：
，
解得：x0＝，x1＝
則：，
①當(dāng)0<t≤ 時，有：FN＝mg
②當(dāng) <t< 時，有：FN＝mg＋μmg－
即：FN＝(1＋μ)mg－
③當(dāng) ≤t< 時，有：FN＝mg。

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小題必練25：電磁感應(yīng)中的動力學(xué)與能量問題

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