(1)整體法與隔離法的應用，物體的受力分析；(2)共點力的平衡條件及分析；(3)動態平衡問題分析、正交分解法應用。

例1．(2020?全國III卷?17)如圖，懸掛甲物體的細線拴牢在一不可伸長的輕質細繩上O點處；繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連。甲、乙兩物體質量相等。系統平衡時，O點兩側繩與豎直方向的夾角分別為α和β。若α＝70°，則β等于(　　)

A．45° B．55° C．60° D．70°
【答案】B
【解析】甲物體是拴牢在O點，且甲、乙兩物體的質量相等，則甲、乙繩的拉力大小相等，O點處于平衡狀態，則左側繩子拉力的方向在甲、乙繩子的角平分線上，如圖所示，根據幾何關系有180°＝2β＋α，解得β＝55°。

【點睛】本題考查共點力平衡的應用，掌握力的平行四邊形定則的內容，利用幾何關系列式即可求解。體現了核心素養中科學推理、科學論證要素。
例2．(2020?山東卷?8)如圖所示，一輕質光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行。A與B間、B與木板間的動摩擦因數均為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。當木板與水平面的夾角為45°時，物塊A、B剛好要滑動，則μ的值為(　　)

A．13 B．14 C． D．16
【答案】C
【解析】當木板與水平面的夾角為45°時，兩物塊剛好滑動，對A物塊受力分析如圖，A、B之間的滑動摩擦力f1＝μmgcos 45°，根據平衡條件可知T＝mgsin 45°＋f1；對B物塊受力分析如圖沿斜面方向，B與斜面之間的滑動摩擦力f2＝μ•3mgcos 45°，根據平衡條件可知2mgsin 45°＝T＋f1＋f2，解得。

【點睛】本題考查了多個物體的平衡問題，解題的關鍵是對選取的對象進行正確的受力分析，不多力，不少力，同時注意摩擦力中正壓力的求解。體現了模型建構、科學推理等核心素養。

1．水平地面上疊放著A、B兩物體，如圖所示，現在B上施加一個水平恒定拉力F，在力作用下A、B兩物塊靜止，某時刻撤去力F后，二者仍靜止.下列說法正確的是(　　)

A．撤去F之前A受2個力作用
B．撤去F之前B受到6個力作用
C．撤去F前后，A的受力個數由3個變為2個
D．A、B間的動摩擦因數一定等于B與地面間的動摩擦因數
【答案】A
【解析】撤去F之前，物體A受重力和B對A的支持力，共2個力的作用；B受到重力、A對B的壓力，地面對B的支持力、拉力和地面對B的摩擦力共5個力的作用；撤去F之后，物體A受重力和B對A的支持力，共2個力的作用；B受到重力、A對B的壓力，地面對B的支持力共3個力的作用。故A正確，BC錯誤；A、B間沒有摩擦力作用，B與地面間是靜摩擦力，所以無關判斷A、B間的動摩擦因數與B與地面間的動摩擦因數之間的關系，故D錯誤。
2．動畫片《貓和老鼠》中有這樣的片段：可愛的老鼠“杰瑞”跳上滑雪板，在雪地上滑雪前行，此來逃避調皮貓“湯姆”的追趕。假設在某段傾斜的雪坡上，“杰瑞”不使用雪杖時恰能勻速沿雪坡向下滑行，不考慮空氣阻力，“杰瑞”在此雪坡上向下滑行的過程中，下列說法正確的是(　　)

A．勻速滑行時，傾斜雪坡對滑雪板支持力的方向豎直向上
B．勻速滑行時，滑雪板對“杰瑞”作用力的方向垂直于板面向上
C．若“杰瑞”拋掉兩個雪杖，它仍能沿雪坡勻速下滑
D．若“杰瑞”拋掉兩個雪杖，它將沿雪坡加速下滑
【答案】C
【解析】勻速滑行時，傾斜雪坡對滑雪板支持力的方向垂直斜坡向上，選項A錯誤；勻速滑行時，滑雪板對“杰瑞”作用力的與重力等大反向，即方向豎直向上，選項B錯誤；因勻速下滑時mgsin θ＝μmgcos θ，即sin θ＝μcos θ，與質量無關，則若“杰瑞”拋掉兩個雪杖，它仍能沿雪坡勻速下滑，選項C正確，D錯誤。
3．如圖所示，質量為m的小球置于傾角為30°的光滑斜面上，勁度系數為k的輕彈簧一端系在小球上，另一端固定在P點，小球靜止時，彈簧與豎直方向的夾角為30°，則彈簧的伸長量為(　　)

A．mgk B．3mg2k
C．3mg3k D．3mgk
【答案】C
【解析】對小球受力分析可知小球受力平衡，由題意可知彈簧彈力與豎直方向夾角為30°，豎直方向上彈簧彈力與斜面支持力的合力與重力平衡，根據幾何關系可知2kxcos 30°＝mg，解得x＝3mg3k，故C項正確。
4．(多選)如圖所示，輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點，懸掛衣服的衣架掛鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止狀態。如果只人為改變一個條件，當衣架靜止時，下列說法正確的是(　　)

A．繩的右端上移到b′，繩子拉力不變
B. 將桿N向右移一些，繩子拉力變大
C. 繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小
D. 若換掛質量更大的衣服，則衣架懸掛點右移
【答案】AB
【解析】受力分析如圖所示，若將繩的右端上移到b′點，左端繩子與豎直方向夾角θ不變，由于衣服及掛鉤的重力mg不變，又2Tcos θ＝mg，則T＝mg2cosθ，所以繩子拉力不變，故A項正確；若將桿向右移一些，則繩子與豎直方向夾角θ增大，由T＝mg2cosθ知繩子拉力增大，故B項正確；繩的兩端高度差無論如何變化，繩子與豎直方向的夾角θ都不變，由T＝mg2cosθ知，繩子拉力始終不變，故C項錯誤；若換掛質量更大的衣服，只是衣服的重力增大，繩子與豎直方向的夾角θ不變，則衣架懸掛點不變，故D項錯誤。

5．如圖所示，有一質量不計的桿AO，長為R，可繞A自由轉動。用繩在O點懸掛一個重為G的物體，另一根繩一端系在O點，另一端系在圓弧形墻壁上的C點。當點C由圖示位置逐漸向上沿圓弧CB移動過程中(保持OA與地面夾角θ不變)，OC繩所受拉力的大小變化情況是(　　)

A．逐漸減小
B．逐漸增大
C．先減小后增大
D．先增大后減小
【答案】C
【解析】對G分析，G受力平衡，則拉力等于重力，故豎直繩的拉力不變；再對O點分析，O受繩子的拉力、OA的支持力及OC的拉力而處于平衡；受力分析如圖所示；將F和OC繩上的拉力合成，其合力與G大小相等，方向相反，則在OC上移的過程中，平行四邊形的對角線保持不變，平行四邊形發生圖中所示變化，則由圖可知OC的拉力先減小后增大，圖中D點時力最小；故選C項。
6．A、B、C三個物體通過細線和光滑的滑輪相連，處于靜止狀態，如圖所示，C是一箱砂子，砂子和箱的重力都等于G，動滑輪的質量不計，打開箱子下端開口，使砂子均勻流出，經過時間t0流完，則下圖中哪個圖線表示在這個過程中桌面對物體B的摩擦力f隨時間的變化關系(　　)

【答案】B
【解析】選擇A、B整體作為研究對象，由于這個整體開始處于靜止狀態，所以后來應該一直處于靜止狀態，整體共受到5個力的作用，即重力G＝GA＋GB，支持力N、靜摩擦力f、兩根繩子的拉力F1和F2，其中F1＝F2＝GC2，根據力的平衡得f＝F1＋F2＝GC，所以當砂子均勻流出時，B項正確。
7．在水平地面上固定一個上表面光滑的斜面體，在它上面放有質量為m的木塊，用一根平行于斜面的細線連接一個輕環，并將輕環套在一根兩端固定、粗糙的水平直桿上，整個系統處于靜止狀態，如圖所示，則桿對環的摩擦力大小為(　　)

A．mgsin θ B．mgcos θ
C．mgtan θ D．mgsin θcos θ
【答案】D
【解析】設細線的彈力為F，對斜面上的物塊由共點力平衡條件有F－mgsin θ＝0，對輕環由共點力平衡條件有Fcos θ－f＝0，解得桿對環的摩擦力大小為f＝mgsin θcos θ。
8．如圖所示，一個半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的內表面光滑，一根輕質桿的兩端固定有兩個小球，質量分別是m1、m2，當它們靜止時，m1、m2與球心的連線跟水平面分別成60°、30°，則碗對兩小球m1、m2的彈力大小之比是(　　)

A．1∶2 B．3∶1
C．1∶3 D．3∶2
【答案】B
【解析】m1、m2組成的系統處于平衡狀態，對m1、m2整體受力分析如圖所示，N1、N2分別為碗對m1和m2的彈力，水平方向上合力為零，N1sin 30°＝N2sin 60°，則 N1∶N2＝3∶1，B項正確。

9．如圖所示，在細繩AC和水平拉力共同作用下豎直輕桿AB處于平衡狀態。若AC加長，使C點左移，AB仍保持平衡狀態。細繩AC上的拉力T和桿AB受到的壓力N與原先相比，下列說法正確的是(　　)

A．T和N都增大
B．T和N都減小
C．T增大，N減小
D．T減小，N增大
【答案】B
【解析】若AC加長，由于懸掛的重物質量不變，水平拉力不變，分析結點A處受力情況，細繩AC上拉力T 在水平方向分力大小等于懸掛的重物重力，在豎直方向分力等于AB受到的壓力，若AC加長，使C點左移，AB仍保持平衡狀態，顯然T和N都減小，故B項正確。

10．如圖所示，高層住宅外安裝空調主機時，電機通過纜繩牽引主機沿豎直方向勻速上升。為避免主機與陽臺、窗戶碰撞，通常會用一根拉繩拽著主機，地面上拽拉繩的人通過移動位置，使拉繩與豎直方向的夾角β保持不變，則在提升主機過程中，下列結論正確的是(　　)

A．纜繩拉力F1和拉繩拉力F2都增大
B．纜繩拉力F1和拉繩拉力F2都不變
C．纜繩與豎直方向的夾角α可能大于角β
D．纜繩拉力F1的功率保持不變
【答案】A
【解析】對物體受力分析如圖，物體勻速運動，故合力為零，在豎直方向：F1cos α－mg－F2cos β＝0，在水平方向：F1sin α－F2sin β＝0，在上升過程中，α增大，而β不變，聯立可以判斷纜繩拉力F1和拉繩拉力F2都增大，故A項正確，B項錯誤；因F1大于F2，故纜繩與豎直方向的夾角α小于角β，故C項錯誤；纜繩拉力的功率P＝F1vcos α，由于F1cos α＝mg＋F2cos β增大，v不變，故P增大，故D項錯誤。
11．如圖所示，半圓形框架豎直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下處于靜止狀態，P與圓心O的連線與水平面的夾角為θ，將力F在豎直面內沿順時針方向緩慢地轉過90°，框架與小球始終保持靜止狀態。在此過程下列說法正確的是(　　)

A．框架對小球的支持力一直減小
B．拉力F的最小值為mgsinθ
C．地面對框架的摩擦力先減小后增加
D．框架對地面的壓力一直增大
【答案】A
【解析】用圖解法求解，力F順時針轉過90°的過程中，F先減小后增大，最小值為mgcos θ，B項錯誤；框架對小球的支持力N一直減小，A項正確；以框架為研究對象，由平衡條件得地面對框架的摩擦力大小等于Ncos θ，隨N減小，Ncos θ減小，C項錯誤；框架對地面的壓力等于mg＋Nsin θ，隨N的減小而減小，D項錯誤。

12．如圖所示，光滑固定斜面上有一個質量為10 kg的小球被輕繩拴住懸掛在天花板上，已知繩子與豎直方向的夾角為45°，斜面傾角為30°，整個裝置處于靜止狀態，g取10 m/s2。求：(2取1.414)

(1)繩中拉力的大小和斜面對小球支持力的大小；
(2)若另外用一個外力拉小球，能夠把小球拉離斜面，求最小拉力的大小。
【解析】(1)如圖，沿水平方向和豎直方向建立直角坐標系，對小球受力分析，把不在坐標軸上的力沿軸分解。則：

水平方向上：FTsin 45°－FNsin 30°＝0
豎直方向上：FTcos 45°＋FNcos 30°－mg＝0
由以上兩式得FN≈73.2 N，FT≈51.8 N。
(2)外力方向與繩子垂直時，拉力最小：Fmin＝mgsin 45°
代入數據，解得：Fmin≈70.7 N。
13．如圖所示，質量M＝23 kg的木塊A套在水平桿上，并用輕繩將木塊A與質量m＝3 kg的小球相連。今用與水平方向成α＝30°角的力F＝103 N，拉著球帶動木塊一起向右勻速運動，運動中M、m相對位置保持不變，取g＝10 m/s2。求：

(1)運動過程中輕繩與水平方向的夾角θ；
(2)木塊與水平桿間的動摩擦因數μ。
【解析】(1)設輕繩對小球的拉力為FT，小球受力如圖甲所示，由平衡條件可得：

Fcos 30°－FTcos θ＝0
Fsin 30°＋FTsin θ－mg＝0
解得：FT＝103 N，θ＝30°。
(2)以木塊和小球組成的整體為研究對象，受力分析如圖乙所示，由平衡條件得：
Fcos 30°－Ff＝0
FN＋Fsin 30°－(M＋m)g＝0
又Ff＝μFN
解得：μ＝35。

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小題必練3：受力分析共點力的平衡

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