(1)對直線運動圖象的進一步理解，x－t圖象與v－t圖象的區(qū)別，如：點、線、斜率、截距、面積的物理意義；(2)追及、相遇問題。

例1．( 2020山東卷?1)一質(zhì)量為m的乘客乘坐豎直電梯下樓，其位移s與時間t的關(guān)系圖像如圖所示。乘客所受支持力的大小用FN表示，速度大小用v表示。重力加速度大小為g。以下判斷正確的是（　　）

A. 0～t1時間內(nèi)，v增大，F(xiàn)N＞m
B. t1～t2 時間內(nèi)，v減小，F(xiàn)N＜mg
C. t2～t3 時間內(nèi)，v增大，F(xiàn)N ＜mg
D. t2～t3時間內(nèi)，v減小，F(xiàn)N ＞mg
【答案】D
【解析】由于s－t圖像的斜率表示速度，可知在0～t1時間內(nèi)速度增加，即乘客的加速度向下，處于失重狀態(tài)，則FN＜mg，選項A錯誤；在t1～t2時間內(nèi)速度不變，即乘客的勻速下降，則FN＝mg，選項B錯誤；在t2～t3時間內(nèi)速度減小，即乘客的減速下降，超重，則FN＞mg，選項C錯誤，D正確。
【點睛】本題以位移圖象給出解題信息，考查對位移圖象的理解及其相關(guān)的知識點。在位移—時間圖象中，縱軸表示位移，橫軸表示時間，圖線的斜率表示運動質(zhì)點的速度。
例2．( 2018全國II卷?19)甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運動，其速度－時間圖象分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時刻并排行駛。下列說法正確的是(　　)

A．兩車在t1時刻也并排行駛
B．在t1時刻甲車在后，乙車在前
C．甲車的加速度大小先增大后減小
D．乙車的加速度大小先減小后增大
【答案】BD
【解析】本題可巧用逆向思維分析，兩車在t2時刻并排行駛，根據(jù)題圖分析可知在t1～t2時間內(nèi)甲車運動的位移大于乙車運動的位移，所以在t1時刻甲車在后，乙車在前，B正確，A錯誤；依據(jù)v－t圖象斜率表示加速度分析出C錯誤，D正確。
【點睛】本題考查了對圖象的理解及利用圖象解題的能力問題。理解在v－t圖象中圖象包圍的面積代表了運動走過的位移，圖象的斜率代表加速度，是解答此題的關(guān)鍵。

1．(多選)一條東西方向的平直公路邊上有兩塊路牌A、B，A在西B在東，一輛勻速行駛的汽車自東向西經(jīng)過B時，一只小鳥恰自A向B勻速飛去，小鳥飛到汽車正上方立即折返，以原速率飛回A，過一段時間后，汽車也行駛到A。它們的位置—時間圖象如圖所示，圖中t2＝2t1，由圖可知(　　)

A．小鳥的速率是汽車速率的兩倍
B．第一次相遇時小鳥與汽車位移的大小之比是3∶1
C．小鳥飛行的總路程是汽車的1.5倍
D．小鳥和汽車在0～t2時間內(nèi)位移相等
【答案】BC
【解析】由題意可知，相遇所用時間t0＝12t1＝14t2，故相遇時汽車的位移為全程的14，所以小鳥與汽車的位移大小之比為3∶1，小鳥飛過的路程為全程的32倍，即汽車的1.5倍，所以BC正確；由題圖知，小鳥用時為汽車的12，根據(jù)v＝st可得，小鳥的速率為汽車的3倍，所以A錯誤；位移是矢量，在此過程中，小鳥的位移為0，所以D錯誤。
2．(多選)某時刻，兩車從同一地點、沿同一方向做直線運動，下列關(guān)于兩車的位移x、速度v隨時間t變化的圖象，能反映t1時刻兩車相遇的是(　　)

【答案】BD
【解析】x－t圖象中，x軸表示物體位移，則由題圖可知，兩車不會相遇，故A錯誤；由題圖可知，t1時刻兩圖線相交，故兩車相遇，故B正確；v－t圖象表示物體的速度隨時間變化的規(guī)律，圖象與時間軸圍成的面積表示物體通過的位移，由題圖可知，兩車通過的位移不同，故不會相遇，故C錯誤；由題圖可知，兩車在t1時間內(nèi)通過的位移相同，故兩車相遇，故D正確。
3．(多選)在平直公路上，汽車以10 m/s的速度勻速駛向路口，當行駛至距路口停車線20 m處時，還有3 s綠燈就要熄滅。而該汽車在綠燈熄滅時剛好停在停車線處，則汽車運動的速度—時間圖象可能有(　　)

【答案】BC
【解析】由v－t圖象與時間軸圍成的圖形面積表示位移知sA＝10＋02×3 m≠20 m，A錯誤；sB>15 m，可能為20 m，B正確；sC＝10×1＋10＋02×2 m＝20 m，C正確；sD＝10×0.5＋10＋02×2.5 m＝17.5 m<20 m，D錯誤。
4．質(zhì)點做直線運動時的加速度隨時間變化的關(guān)系如圖所示，該圖線的斜率為k，圖中斜線部分面積為S，下列說法正確的是(　　)

A．斜率k表示速度變化的快慢
B．斜率k表示速度變化的大小
C．面積S表示t1～t2的過程中質(zhì)點速度的變化量
D．面積S表示t1～t2的過程中質(zhì)點的位移
【答案】C
【解析】斜率k表示加速度變化的快慢，A、B項錯誤；面積S表示t1～t2的過程中質(zhì)點速度的變化量，C項正確、D項錯誤。
5．(多選)甲、乙兩車某時刻由同一地點，沿同一方向開始做直線運動，以該時刻作為計時起點，得到兩車的位移—時間圖象，即x－t圖象如圖所示，甲圖象過O點的切線與AB平行，過C點的切線與OA平行，則下列說法中正確的是(　　)

A．在兩車相遇前，t1時刻兩車相距最遠
B．t3時刻甲車在乙車的前方
C．0～t2時間內(nèi)甲車的瞬時速度始終大于乙車的瞬時速度
D．甲車的初速度等于乙車在t3時刻的速度
【答案】AD
【解析】題中圖象的縱坐標表示物體所在的位置，由圖可知t1時刻兩圖線相距最大，即兩車的距離最大，故A正確；t3時刻兩車處在同一位置，故B錯誤；圖線斜率表示速度，由題圖可知，0～t1時間內(nèi)甲圖線的斜率大于乙圖線的斜率，之后甲圖線的斜率小于乙圖線的斜率，故C錯誤；圖線的斜率表示物體的速度，由題圖可知，甲車的初速度等于乙車在t3時刻的速度，故D正確。
6．某質(zhì)點做直線運動，運動速率的倒數(shù)1v與位移x的關(guān)系如圖所示，關(guān)于質(zhì)點的運動，下列說法正確的是(　　)

A．質(zhì)點做勻加速直線運動
B．1v－x圖線斜率等于質(zhì)點運動的加速度
C．四邊形AA′B′B的面積可表示質(zhì)點從O到C′所用的運動時間
D．四邊形BB′C′C的面積可表示質(zhì)點從C到C′所用的運動時間
【答案】D
【解析】由題中1v－x圖象可知，1v與x成正比，即vx＝常數(shù)，質(zhì)點做減速直線運動，故A錯誤；1v－x圖線斜率不等于質(zhì)點運動的加速度，故B錯誤；由于三角形OBC的面積S1＝12OC•BC＝x12v1，體現(xiàn)了從O到C所用的時間，同理，從O到C′所用的時間可由S2＝x22v2體現(xiàn)，所以四邊形BB′C′C面積可體現(xiàn)質(zhì)點從C到C′所用的時間，故C錯誤，D正確。
7．(多選)汽車A和汽車B（均可視為質(zhì)點）在平直的公路上沿兩平行車道同向行駛，A車在后（如圖甲所示）。以某時刻作為計時起點，此時兩車相距x0＝12 m。汽車A運動的x－t圖象如圖乙所示，汽車B運動的v－t圖象如圖丙所示。則下列說法正確的是(　　)

A．在t＝3 s時兩車相距最遠，且最遠距離為20 m
B．B車在0～6 s內(nèi)的位移為23 m
C．在t＝8 s時兩車相遇
D．若t＝1 s時A車緊急制動(視為勻變速)，要使A車追不上B車，則A車的加速度大小應(yīng)大于0.25 m/s2
【答案】AD
【解析】當兩車速度相等時，兩車相距最遠，由圖象可知，vA＝4 m/s，B車的加速度a＝－2m/s2，由vA＝vB＋at，得t＝2 s，即在3 s時二者相距最遠，此時xA＝vAt＝12 m，xB＝20 m，最遠距離Δx＝xB＋x0－xA＝20 m，故A正確；B車在0～6 s內(nèi)的位移等于在0～5 s內(nèi)的位移x＝24 m，故B錯誤；t＝8 s時A車位移xA＝vAt′＝4 m，因為xB＋x0>xA，兩車不相遇，故C錯誤；t＝1 s時，A勻速位移xA＝vAt＝1 m，B車勻速位移xB＝vBt＝8 m，兩車間的距離Δx′＝8 m＋12 m－4 m＝16 m，B車勻減速到停止的位移xB′＝16 m，當B停止時，A也停止時，A的加速度最小，A車勻減速運動的總位移xA總＝Δx′＋xB′＝32 m，對A車，根據(jù)速度位移公式vA2＝2axA總，可得A車的加速度至少為0.25 m/s2，故D正確。
8．有一人在平直馬路邊漫步(速度不變)，他發(fā)現(xiàn)每隔t1時間有一路公共汽車迎面開過，他還發(fā)現(xiàn)每隔t2時間有一輛這路公共汽車從身后開過(公共汽車勻速行駛)，于是他計算出這路車從汽車站發(fā)車的時間間隔是(　　)
A．2t1t2t1＋t2 B．2t1t22?t1＋t2? C．t1t22?t1＋t2? D．2t1t2t1＋t2
【答案】D
【解析】設(shè)車的速度是a，人的速度是b，每隔t時間發(fā)一輛車。兩輛車之間的距離是at，車從前面來是相遇問題，人與車之間的距離也是at，那么at＝t1(a＋b)①；車從背后超過是一個追及問題，那么at＝t2(a－b)②，則由①式和②式可知，t1(a＋b)＝t2(a－b)，化簡得b＝a?t2－t1?t1＋t2，所以，at＝t1(a＋b)＝t1a＋a?t2－t1?t1＋t2，化簡得t＝t11＋t2－t1t2＋t1，從而得出t＝2t1t2t1＋t2，故D正確，A、B、C錯誤。
9．隨著機動車數(shù)量的增加，交通安全問題日益凸顯，分析交通違法事例，將警示我們遵守交通法規(guī)，珍惜生命。如圖所示為某型號貨車緊急制動時(假設(shè)做勻減速直線運動)的v2－x圖象(v為貨車的速度，x為制動距離)，其中圖線1為滿載時符合安全要求的制動圖象，圖線2為嚴重超載時的制動圖象。某路段限速72 km/h，是根據(jù)該型號貨車滿載時安全制動時間和制動距離確定的，現(xiàn)有一輛該型號的貨車嚴重超載并以54 km/h的速度行駛。
通過計算求解：

(1)駕駛員緊急制動時，該型號嚴重超載的貨車制動時間和制動距離是否符合安全要求；
(2)若駕駛員從發(fā)現(xiàn)險情到采取緊急制動措施的反應(yīng)時間為1 s，則該型號貨車滿載時以72 km/h速度正常行駛的跟車距離至少應(yīng)為多遠。
【解析】(1)根據(jù)速度位移公式v2－v20＝2ax，有v2＝2ax＋v20，圖線斜率的一半表示加速度
根據(jù)題中圖象得到：滿載時，加速度為5 m/s2，嚴重超載時加速度為2.5 m/s2
設(shè)該型號貨車滿載時以72 km/h(20 m/s)的速度減速
制動距離x1＝v22a1＝4002×5 m＝40 m
制動時間為t1＝va1＝205 s＝4 s
設(shè)該型號貨車嚴重超載時以54 km/h(15 m/s)的速度減速，制動距離x2＝v′22a2＝1522×2.5 m＝45 m>x1
制動時間為t2＝v′a2＝152.5 s＝6 s>t1
所以駕駛員緊急制動時，該型號嚴重超載的貨車制動時間和制動距離均不符合安全要求。
(2)貨車在反應(yīng)時間內(nèi)做勻速直線運動
x3＝vt3＝20×1 m＝20 m
跟車距離最小值x＝v22a1＋x3＝40 m＋20 m＝60 m。
10．貨車A正在公路上以20 m/s的速度勻速行駛，因疲勞駕駛，司機注意力不集中，當司機發(fā)現(xiàn)正前方有一輛靜止的轎車B時，兩車距離僅有75 m。
(1)若此時B車立即以2 m/s2的加速度啟動，通過計算判斷：如果A車司機沒有剎車，是否會撞上B車；若不相撞，求兩車相距最近時的距離；若相撞，求出從A車發(fā)現(xiàn)B車開始到撞上B車的時間。
(2)若A車司機發(fā)現(xiàn)B車，立即剎車(不計反應(yīng)時間)做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2(兩車均視為質(zhì)點)，為避免碰撞，在A車剎車的同時，B車立即做勻加速直線運動(不計反應(yīng)時間)，問：B車加速度至少多大才能避免相撞。(這段公路很窄，無法靠邊讓道)
【解析】(1)當兩車速度相等時，設(shè)經(jīng)過的時間為t，則：vA＝vB
對B車，vB＝at
聯(lián)立可得：t＝10 s
A車的位移為：xA＝vAt＝200 m
B車的位移為：xB＝12at2＝100 m
因為xB＋x0＝175 m<xA
所以兩車會相撞，設(shè)經(jīng)過時間t相撞，有：vAt＝x0＋12at2
代入數(shù)據(jù)解得：t1＝5 s，t2＝15 s(舍去)。
(2)已知A車的加速度大小aA＝2 m/s2，初速度v0＝20 m/s
設(shè)B車的加速度為aB，B車運動經(jīng)過時間t，兩車相遇時，兩車速度相等，則有：
vA＝v0－aAt，vB＝aBt
且vA＝vB
在時間t內(nèi)A車的位移為：xA＝v0t－12aAt2
B車的位移為：xB＝12aBt2
又xB＋x0＝xA
聯(lián)立可得：aB≈0.67 m/s2。
11．甲、乙兩車從相距110 m的兩地相向運動，它們的v－t圖象如圖所示，忽略車掉頭所需時間。

(1)求t＝4 s時甲、乙兩車各自的位移大小。
(2)通過計算說明兩車是否相遇。如能相遇，則計算相遇點的位置；如不能相遇，則計算兩車間的最小距離。
【解析】(1)由v－t圖象可知，甲向乙做勻減速運動，加速度大小a1＝4 m/s2
乙向甲先做加速運動后做減速運動，加速度大小分別為
a2＝10 m/s2和a2′＝30 m/s2
t＝4 s時甲的位移大小為x1＝v0t－12a1t2＝48 m
乙的位移大小為x2＝12×4×30 m＝60 m。
(2)乙車在t＝4 s時掉頭開始做與甲同向的初速度為零的勻加速運動，甲、乙兩車此時相距Δx＝110 m－x1－x2＝2 m，甲的速度大小為v1＝v0－a1t＝4 m/s
假設(shè)兩車從t＝4 s時再經(jīng)t1時間能夠相遇
乙的位移大小x2′＝12a2′t12
甲的位移大小x1′＝v1t1－12a1t12
兩車相遇應(yīng)滿足x2′＝x1′－Δx
聯(lián)立并整理得17t12－4t1＋2＝0，由判別式可知方程無解，所以假設(shè)不成立，兩車不能相遇。
設(shè)從t＝4 s時再經(jīng)t2時間兩車速度相等，即兩車相距最近，有a2′t2＝v1－a1t2，可得t2＝217 s
即兩車間最小距離xmin＝12a2′t22＋Δx－v1t2－12a1t22＝1.76 m。

12．今年夏天南方暴雨多發(fā)，多地發(fā)生山體滑坡事故。假設(shè)某旅游區(qū)在發(fā)生山體滑坡時，山坡的底部B處正有一游客逗留，如圖所示，此時距坡底160 m的山坡A處有一圓形石頭正以2 m/s的速度、1 m/s2的加速度勻加速下滑，游客發(fā)現(xiàn)后，立即以0.4 m/s2的加速度由靜止開始做勻加速直線運動跑離坡底，石頭滑到B處前后速度大小不變，但開始以2 m/s2的加速度勻減速運動。已知游客從發(fā)現(xiàn)圓形石頭到開始逃跑的反應(yīng)時間為1 s，游客跑動的最大速度為6 m/s，且游客的運動與圓形石頭的運動在同一豎直平面內(nèi)。試求：

(1)圓形石頭滑到坡底B處時，游客前進的位移大小；
(2)該游客若能脫離危險，請計算石頭與游客間的最小距離，若不能脫離危險，請通過計算說明理由。
【解析】(1)設(shè)石頭從A處滑到坡底B處的時間為t1，到達坡底B處速度為v1，則：
x1＝v0t1＋12at12
代入數(shù)據(jù)解得t1＝16 s
游客加速到最大速度用時t2＝＝15 s
t1＝t2＋1 s，此過程游客一直在加速前進
游客前進的位移x2＝12a′t22＝45 m。
(2)石頭滑到坡底B處時，石頭的速度v1＝v0＋at1＝18 m/s
游客的速度v2＝a′t2＝6 m/s
此時游客剛好達到最大速度，此后石頭做勻減速運動，游客開始以vm做勻速運動，設(shè)又經(jīng)歷時間t3二者的速度相等，即：
v共＝v1－a石t3＝vm
解得：t3＝6 s
石頭在這段時間內(nèi)的位移x石＝ t3＝72 m
游客此時的總位移x游＝x2＋vmt3＝81 m
說明石頭此刻未能追上游客，游客能脫離危險
石頭與游客間的最小距離Δxmin＝81 m－72 m＝9 m。

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小題必練2：運動圖象與追擊相遇問題

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