小題必練2：運(yùn)動(dòng)圖象與追擊相遇問(wèn)題
(1)對(duì)直線運(yùn)動(dòng)圖象的進(jìn)一步理解，x－t圖象與v－t圖象的區(qū)別，如：點(diǎn)、線、斜率、截距、面積的物理意義；(2)追及、相遇問(wèn)題。
例1．( 2020山東卷?1)一質(zhì)量為m的乘客乘坐豎直電梯下樓，其位移s與時(shí)間t的關(guān)系圖像如圖所示。乘客所受支持力的大小用FN表示，速度大小用v表示。重力加速度大小為g。以下判斷正確的是（ ）
A. 0～t1時(shí)間內(nèi)，v增大，F(xiàn)N＞m
B. t1～t2 時(shí)間內(nèi)，v減小，F(xiàn)N＜mg
C. t2～t3 時(shí)間內(nèi)，v增大，F(xiàn)N ＜mg
D. t2～t3時(shí)間內(nèi)，v減小，F(xiàn)N ＞mg
【答案】D
【解析】由于s－t圖像的斜率表示速度，可知在0～t1時(shí)間內(nèi)速度增加，即乘客的加速度向下，處于失重狀態(tài)，則FN＜mg，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在t1～t2時(shí)間內(nèi)速度不變，即乘客的勻速下降，則FN＝mg，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在t2～t3時(shí)間內(nèi)速度減小，即乘客的減速下降，超重，則FN＞mg，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。
【點(diǎn)睛】本題以位移圖象給出解題信息，考查對(duì)位移圖象的理解及其相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。在位移—時(shí)間圖象中，縱軸表示位移，橫軸表示時(shí)間，圖線的斜率表示運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度。
例2．( 2018全國(guó)II卷?19)甲、乙兩汽車(chē)在同一條平直公路上同向運(yùn)動(dòng)，其速度－時(shí)間圖象分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車(chē)在t2時(shí)刻并排行駛。下列說(shuō)法正確的是( )
A．兩車(chē)在t1時(shí)刻也并排行駛
B．在t1時(shí)刻甲車(chē)在后，乙車(chē)在前
C．甲車(chē)的加速度大小先增大后減小
D．乙車(chē)的加速度大小先減小后增大
【答案】BD
【解析】本題可巧用逆向思維分析，兩車(chē)在t2時(shí)刻并排行駛，根據(jù)題圖分析可知在t1～t2時(shí)間內(nèi)甲車(chē)運(yùn)動(dòng)的位移大于乙車(chē)運(yùn)動(dòng)的位移，所以在t1時(shí)刻甲車(chē)在后，乙車(chē)在前，B正確，A錯(cuò)誤；依據(jù)v－t圖象斜率表示加速度分析出C錯(cuò)誤，D正確。
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)圖象的理解及利用圖象解題的能力問(wèn)題。理解在v－t圖象中圖象包圍的面積代表了運(yùn)動(dòng)走過(guò)的位移，圖象的斜率代表加速度，是解答此題的關(guān)鍵。
1．(多選)一條東西方向的平直公路邊上有兩塊路牌A、B，A在西B在東，一輛勻速行駛的汽車(chē)自東向西經(jīng)過(guò)B時(shí)，一只小鳥(niǎo)恰自A向B勻速飛去，小鳥(niǎo)飛到汽車(chē)正上方立即折返，以原速率飛回A，過(guò)一段時(shí)間后，汽車(chē)也行駛到A。它們的位置—時(shí)間圖象如圖所示，圖中t2＝2t1，由圖可知( )
A．小鳥(niǎo)的速率是汽車(chē)速率的兩倍
B．第一次相遇時(shí)小鳥(niǎo)與汽車(chē)位移的大小之比是3∶1
C．小鳥(niǎo)飛行的總路程是汽車(chē)的1.5倍
D．小鳥(niǎo)和汽車(chē)在0～t2時(shí)間內(nèi)位移相等
【答案】BC
【解析】由題意可知，相遇所用時(shí)間t0＝12t1＝14t2，故相遇時(shí)汽車(chē)的位移為全程的14，所以小鳥(niǎo)與汽車(chē)的位移大小之比為3∶1，小鳥(niǎo)飛過(guò)的路程為全程的32倍，即汽車(chē)的1.5倍，所以BC正確；由題圖知，小鳥(niǎo)用時(shí)為汽車(chē)的12，根據(jù)v＝st可得，小鳥(niǎo)的速率為汽車(chē)的3倍，所以A錯(cuò)誤；位移是矢量，在此過(guò)程中，小鳥(niǎo)的位移為0，所以D錯(cuò)誤。
2．(多選)某時(shí)刻，兩車(chē)從同一地點(diǎn)、沿同一方向做直線運(yùn)動(dòng)，下列關(guān)于兩車(chē)的位移x、速度v隨時(shí)間t變化的圖象，能反映t1時(shí)刻兩車(chē)相遇的是( )
【答案】BD
【解析】x－t圖象中，x軸表示物體位移，則由題圖可知，兩車(chē)不會(huì)相遇，故A錯(cuò)誤；由題圖可知，t1時(shí)刻兩圖線相交，故兩車(chē)相遇，故B正確；v－t圖象表示物體的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律，圖象與時(shí)間軸圍成的面積表示物體通過(guò)的位移，由題圖可知，兩車(chē)通過(guò)的位移不同，故不會(huì)相遇，故C錯(cuò)誤；由題圖可知，兩車(chē)在t1時(shí)間內(nèi)通過(guò)的位移相同，故兩車(chē)相遇，故D正確。
3．(多選)在平直公路上，汽車(chē)以10 m/s的速度勻速駛向路口，當(dāng)行駛至距路口停車(chē)線20 m處時(shí)，還有3 s綠燈就要熄滅。而該汽車(chē)在綠燈熄滅時(shí)剛好停在停車(chē)線處，則汽車(chē)運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖象可能有( )
【答案】BC
【解析】由v－t圖象與時(shí)間軸圍成的圖形面積表示位移知sA＝10＋02×3 m≠20 m，A錯(cuò)誤；sB>15 m，可能為20 m，B正確；sC＝10×1＋10＋02×2 m＝20 m，C正確；sD＝10×0.5＋10＋02×2.5 m＝17.5 m<20 m，D錯(cuò)誤。
4．質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖所示，該圖線的斜率為k，圖中斜線部分面積為S，下列說(shuō)法正確的是( )
A．斜率k表示速度變化的快慢
B．斜率k表示速度變化的大小
C．面積S表示t1～t2的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)速度的變化量
D．面積S表示t1～t2的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)的位移
【答案】C
【解析】斜率k表示加速度變化的快慢，A、B項(xiàng)錯(cuò)誤；面積S表示t1～t2的過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)速度的變化量，C項(xiàng)正確、D項(xiàng)錯(cuò)誤。
5．(多選)甲、乙兩車(chē)某時(shí)刻由同一地點(diǎn)，沿同一方向開(kāi)始做直線運(yùn)動(dòng)，以該時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，得到兩車(chē)的位移—時(shí)間圖象，即x－t圖象如圖所示，甲圖象過(guò)O點(diǎn)的切線與AB平行，過(guò)C點(diǎn)的切線與OA平行，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A．在兩車(chē)相遇前，t1時(shí)刻兩車(chē)相距最遠(yuǎn)
B．t3時(shí)刻甲車(chē)在乙車(chē)的前方
C．0～t2時(shí)間內(nèi)甲車(chē)的瞬時(shí)速度始終大于乙車(chē)的瞬時(shí)速度
D．甲車(chē)的初速度等于乙車(chē)在t3時(shí)刻的速度
【答案】AD
【解析】題中圖象的縱坐標(biāo)表示物體所在的位置，由圖可知t1時(shí)刻兩圖線相距最大，即兩車(chē)的距離最大，故A正確；t3時(shí)刻兩車(chē)處在同一位置，故B錯(cuò)誤；圖線斜率表示速度，由題圖可知，0～t1時(shí)間內(nèi)甲圖線的斜率大于乙圖線的斜率，之后甲圖線的斜率小于乙圖線的斜率，故C錯(cuò)誤；圖線的斜率表示物體的速度，由題圖可知，甲車(chē)的初速度等于乙車(chē)在t3時(shí)刻的速度，故D正確。
6．某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速率的倒數(shù)1v與位移x的關(guān)系如圖所示，關(guān)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法正確的是( )
A．質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
B．1v－x圖線斜率等于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度
C．四邊形AA′B′B的面積可表示質(zhì)點(diǎn)從O到C′所用的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
D．四邊形BB′C′C的面積可表示質(zhì)點(diǎn)從C到C′所用的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
【答案】D
【解析】由題中1v－x圖象可知，1v與x成正比，即vx＝常數(shù)，質(zhì)點(diǎn)做減速直線運(yùn)動(dòng)，故A錯(cuò)誤；1v－x圖線斜率不等于質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度，故B錯(cuò)誤；由于三角形OBC的面積S1＝12OC•BC＝x12v1，體現(xiàn)了從O到C所用的時(shí)間，同理，從O到C′所用的時(shí)間可由S2＝x22v2體現(xiàn)，所以四邊形BB′C′C面積可體現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)從C到C′所用的時(shí)間，故C錯(cuò)誤，D正確。
7．(多選)汽車(chē)A和汽車(chē)B（均可視為質(zhì)點(diǎn)）在平直的公路上沿兩平行車(chē)道同向行駛，A車(chē)在后（如圖甲所示）。以某時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，此時(shí)兩車(chē)相距x0＝12 m。汽車(chē)A運(yùn)動(dòng)的x－t圖象如圖乙所示，汽車(chē)B運(yùn)動(dòng)的v－t圖象如圖丙所示。則下列說(shuō)法正確的是( )
A．在t＝3 s時(shí)兩車(chē)相距最遠(yuǎn)，且最遠(yuǎn)距離為20 m
B．B車(chē)在0～6 s內(nèi)的位移為23 m
C．在t＝8 s時(shí)兩車(chē)相遇
D．若t＝1 s時(shí)A車(chē)緊急制動(dòng)(視為勻變速)，要使A車(chē)追不上B車(chē)，則A車(chē)的加速度大小應(yīng)大于0.25 m/s2
【答案】AD
【解析】當(dāng)兩車(chē)速度相等時(shí)，兩車(chē)相距最遠(yuǎn)，由圖象可知，vA＝4 m/s，B車(chē)的加速度a＝－2m/s2，由vA＝vB＋at，得t＝2 s，即在3 s時(shí)二者相距最遠(yuǎn)，此時(shí)xA＝vAt＝12 m，xB＝20 m，最遠(yuǎn)距離Δx＝xB＋x0－xA＝20 m，故A正確；B車(chē)在0～6 s內(nèi)的位移等于在0～5 s內(nèi)的位移x＝24 m，故B錯(cuò)誤；t＝8 s時(shí)A車(chē)位移xA＝vAt′＝4 m，因?yàn)閤B＋x0>xA，兩車(chē)不相遇，故C錯(cuò)誤；t＝1 s時(shí)，A勻速位移xA＝vAt＝1 m，B車(chē)勻速位移xB＝vBt＝8 m，兩車(chē)間的距離Δx′＝8 m＋12 m－4 m＝16 m，B車(chē)勻減速到停止的位移xB′＝16 m，當(dāng)B停止時(shí)，A也停止時(shí)，A的加速度最小，A車(chē)勻減速運(yùn)動(dòng)的總位移xA總＝Δx′＋xB′＝32 m，對(duì)A車(chē)，根據(jù)速度位移公式vA2＝2axA總，可得A車(chē)的加速度至少為0.25 m/s2，故D正確。
8．有一人在平直馬路邊漫步(速度不變)，他發(fā)現(xiàn)每隔t1時(shí)間有一路公共汽車(chē)迎面開(kāi)過(guò)，他還發(fā)現(xiàn)每隔t2時(shí)間有一輛這路公共汽車(chē)從身后開(kāi)過(guò)(公共汽車(chē)勻速行駛)，于是他計(jì)算出這路車(chē)從汽車(chē)站發(fā)車(chē)的時(shí)間間隔是( )
A．2t1t2t1＋t2 B．2t1t22?t1＋t2? C．t1t22?t1＋t2? D．2t1t2t1＋t2
【答案】D
【解析】設(shè)車(chē)的速度是a，人的速度是b，每隔t時(shí)間發(fā)一輛車(chē)。兩輛車(chē)之間的距離是at，車(chē)從前面來(lái)是相遇問(wèn)題，人與車(chē)之間的距離也是at，那么at＝t1(a＋b)①；車(chē)從背后超過(guò)是一個(gè)追及問(wèn)題，那么at＝t2(a－b)②，則由①式和②式可知，t1(a＋b)＝t2(a－b)，化簡(jiǎn)得b＝a?t2－t1?t1＋t2，所以，at＝t1(a＋b)＝t1a＋a?t2－t1?t1＋t2，化簡(jiǎn)得t＝t11＋t2－t1t2＋t1，從而得出t＝2t1t2t1＋t2，故D正確，A、B、C錯(cuò)誤。
9．隨著機(jī)動(dòng)車(chē)數(shù)量的增加，交通安全問(wèn)題日益凸顯，分析交通違法事例，將警示我們遵守交通法規(guī)，珍惜生命。如圖所示為某型號(hào)貨車(chē)緊急制動(dòng)時(shí)(假設(shè)做勻減速直線運(yùn)動(dòng))的v2－x圖象(v為貨車(chē)的速度，x為制動(dòng)距離)，其中圖線1為滿(mǎn)載時(shí)符合安全要求的制動(dòng)圖象，圖線2為嚴(yán)重超載時(shí)的制動(dòng)圖象。某路段限速72 km/h，是根據(jù)該型號(hào)貨車(chē)滿(mǎn)載時(shí)安全制動(dòng)時(shí)間和制動(dòng)距離確定的，現(xiàn)有一輛該型號(hào)的貨車(chē)嚴(yán)重超載并以54 km/h的速度行駛。
通過(guò)計(jì)算求解：
(1)駕駛員緊急制動(dòng)時(shí)，該型號(hào)嚴(yán)重超載的貨車(chē)制動(dòng)時(shí)間和制動(dòng)距離是否符合安全要求；
(2)若駕駛員從發(fā)現(xiàn)險(xiǎn)情到采取緊急制動(dòng)措施的反應(yīng)時(shí)間為1 s，則該型號(hào)貨車(chē)滿(mǎn)載時(shí)以72 km/h速度正常行駛的跟車(chē)距離至少應(yīng)為多遠(yuǎn)。
【解析】(1)根據(jù)速度位移公式v2－v20＝2ax，有v2＝2ax＋v20，圖線斜率的一半表示加速度
根據(jù)題中圖象得到：滿(mǎn)載時(shí)，加速度為5 m/s2，嚴(yán)重超載時(shí)加速度為2.5 m/s2
設(shè)該型號(hào)貨車(chē)滿(mǎn)載時(shí)以72 km/h(20 m/s)的速度減速
制動(dòng)距離x1＝v22a1＝4002×5 m＝40 m
制動(dòng)時(shí)間為t1＝va1＝205 s＝4 s
設(shè)該型號(hào)貨車(chē)嚴(yán)重超載時(shí)以54 km/h(15 m/s)的速度減速，制動(dòng)距離x2＝v′22a2＝1522×2.5 m＝45 m>x1
制動(dòng)時(shí)間為t2＝v′a2＝152.5 s＝6 s>t1
所以駕駛員緊急制動(dòng)時(shí)，該型號(hào)嚴(yán)重超載的貨車(chē)制動(dòng)時(shí)間和制動(dòng)距離均不符合安全要求。
(2)貨車(chē)在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)
x3＝vt3＝20×1 m＝20 m
跟車(chē)距離最小值x＝v22a1＋x3＝40 m＋20 m＝60 m。
10．貨車(chē)A正在公路上以20 m/s的速度勻速行駛，因疲勞駕駛，司機(jī)注意力不集中，當(dāng)司機(jī)發(fā)現(xiàn)正前方有一輛靜止的轎車(chē)B時(shí)，兩車(chē)距離僅有75 m。
(1)若此時(shí)B車(chē)立即以2 m/s2的加速度啟動(dòng)，通過(guò)計(jì)算判斷：如果A車(chē)司機(jī)沒(méi)有剎車(chē)，是否會(huì)撞上B車(chē)；若不相撞，求兩車(chē)相距最近時(shí)的距離；若相撞，求出從A車(chē)發(fā)現(xiàn)B車(chē)開(kāi)始到撞上B車(chē)的時(shí)間。
(2)若A車(chē)司機(jī)發(fā)現(xiàn)B車(chē)，立即剎車(chē)(不計(jì)反應(yīng)時(shí)間)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為2 m/s2(兩車(chē)均視為質(zhì)點(diǎn))，為避免碰撞，在A車(chē)剎車(chē)的同時(shí)，B車(chē)立即做勻加速直線運(yùn)動(dòng)(不計(jì)反應(yīng)時(shí)間)，問(wèn)：B車(chē)加速度至少多大才能避免相撞。(這段公路很窄，無(wú)法靠邊讓道)
【解析】(1)當(dāng)兩車(chē)速度相等時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t，則：vA＝vB
對(duì)B車(chē)，vB＝at
聯(lián)立可得：t＝10 s
A車(chē)的位移為：xA＝vAt＝200 m
B車(chē)的位移為：xB＝12at2＝100 m
因?yàn)閤B＋x0＝175 m<xA
所以?xún)绍?chē)會(huì)相撞，設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t相撞，有：vAt＝x0＋12at2
代入數(shù)據(jù)解得：t1＝5 s，t2＝15 s(舍去)。
(2)已知A車(chē)的加速度大小aA＝2 m/s2，初速度v0＝20 m/s
設(shè)B車(chē)的加速度為aB，B車(chē)運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)時(shí)間t，兩車(chē)相遇時(shí)，兩車(chē)速度相等，則有：
vA＝v0－aAt，vB＝aBt
且vA＝vB
在時(shí)間t內(nèi)A車(chē)的位移為：xA＝v0t－12aAt2
B車(chē)的位移為：xB＝12aBt2
又xB＋x0＝xA
聯(lián)立可得：aB≈0.67 m/s2。
11．甲、乙兩車(chē)從相距110 m的兩地相向運(yùn)動(dòng)，它們的v－t圖象如圖所示，忽略車(chē)掉頭所需時(shí)間。
(1)求t＝4 s時(shí)甲、乙兩車(chē)各自的位移大小。
(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩車(chē)是否相遇。如能相遇，則計(jì)算相遇點(diǎn)的位置；如不能相遇，則計(jì)算兩車(chē)間的最小距離。
【解析】(1)由v－t圖象可知，甲向乙做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小a1＝4 m/s2
乙向甲先做加速運(yùn)動(dòng)后做減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小分別為
a2＝10 m/s2和a2′＝30 m/s2
t＝4 s時(shí)甲的位移大小為x1＝v0t－12a1t2＝48 m
乙的位移大小為x2＝12×4×30 m＝60 m。
(2)乙車(chē)在t＝4 s時(shí)掉頭開(kāi)始做與甲同向的初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，甲、乙兩車(chē)此時(shí)相距Δx＝110 m－x1－x2＝2 m，甲的速度大小為v1＝v0－a1t＝4 m/s
假設(shè)兩車(chē)從t＝4 s時(shí)再經(jīng)t1時(shí)間能夠相遇
乙的位移大小x2′＝12a2′t12
甲的位移大小x1′＝v1t1－12a1t12
兩車(chē)相遇應(yīng)滿(mǎn)足x2′＝x1′－Δx
聯(lián)立并整理得17t12－4t1＋2＝0，由判別式可知方程無(wú)解，所以假設(shè)不成立，兩車(chē)不能相遇。
設(shè)從t＝4 s時(shí)再經(jīng)t2時(shí)間兩車(chē)速度相等，即兩車(chē)相距最近，有a2′t2＝v1－a1t2，可得t2＝217 s
即兩車(chē)間最小距離xmin＝12a2′t22＋Δx－v1t2－12a1t22＝1.76 m。
12．今年夏天南方暴雨多發(fā)，多地發(fā)生山體滑坡事故。假設(shè)某旅游區(qū)在發(fā)生山體滑坡時(shí)，山坡的底部B處正有一游客逗留，如圖所示，此時(shí)距坡底160 m的山坡A處有一圓形石頭正以2 m/s的速度、1 m/s2的加速度勻加速下滑，游客發(fā)現(xiàn)后，立即以0.4 m/s2的加速度由靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)跑離坡底，石頭滑到B處前后速度大小不變，但開(kāi)始以2 m/s2的加速度勻減速運(yùn)動(dòng)。已知游客從發(fā)現(xiàn)圓形石頭到開(kāi)始逃跑的反應(yīng)時(shí)間為1 s，游客跑動(dòng)的最大速度為6 m/s，且游客的運(yùn)動(dòng)與圓形石頭的運(yùn)動(dòng)在同一豎直平面內(nèi)。試求：
(1)圓形石頭滑到坡底B處時(shí)，游客前進(jìn)的位移大小；
(2)該游客若能脫離危險(xiǎn)，請(qǐng)計(jì)算石頭與游客間的最小距離，若不能脫離危險(xiǎn)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由。
【解析】(1)設(shè)石頭從A處滑到坡底B處的時(shí)間為t1，到達(dá)坡底B處速度為v1，則：
x1＝v0t1＋12at12
代入數(shù)據(jù)解得t1＝16 s
游客加速到最大速度用時(shí)t2＝ ＝15 s
t1＝t2＋1 s，此過(guò)程游客一直在加速前進(jìn)
游客前進(jìn)的位移x2＝12a′t22＝45 m。
(2)石頭滑到坡底B處時(shí)，石頭的速度v1＝v0＋at1＝18 m/s
游客的速度v2＝a′t2＝6 m/s
此時(shí)游客剛好達(dá)到最大速度，此后石頭做勻減速運(yùn)動(dòng)，游客開(kāi)始以vm做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)又經(jīng)歷時(shí)間t3二者的速度相等，即：
v共＝v1－a石t3＝vm
解得：t3＝6 s
石頭在這段時(shí)間內(nèi)的位移x石＝ t3＝72 m
游客此時(shí)的總位移x游＝x2＋vmt3＝81 m
說(shuō)明石頭此刻未能追上游客，游客能脫離危險(xiǎn)
石頭與游客間的最小距離Δxmin＝81 m－72 m＝9 m。