(1)功的理解與計算；(2)恒力及合力做功的計算、變力做功；(3)機車啟動問題；(4)功、功率與其他力學知識的綜合。

例1．(2018?全國III卷?19)地下礦井中的礦石裝在礦車中，用電機通過豎井運送至地面。某豎井中礦車提升的速度大小v隨時間t的變化關系如圖所示，其中圖線①②分別描述兩次不同的提升過程，它們變速階段加速度的大小都相同；兩次提升的高度相同，提升的質量相等。不考慮摩擦阻力和空氣阻力。對于第①次和第②次提升過程( )

A．礦車上升所用的時間之比為4∶5
B．電機的最大牽引力之比為2∶1
C．電機輸出的最大功率之比為2∶1
D．電機所做的功之比為4∶5
【答案】AC
【解析】根據位移相同可得兩圖線與時間軸圍成的面積相等，12v0×2t0＝12×12v0×[2t0＋t′＋(t0＋t′)]，解得t′＝12t0，則對于第①次和第②次提升過程中，礦車上升所用的時間之比為2t0∶(2t0＋12t0)＝4∶5，A正確；加速過程中的牽引力最大，且已知兩次加速時的加速度大小相等，故兩次中最大牽引力相等，B錯誤；由題知兩次提升的過程中礦車的最大速度之比為2∶1，由功率P＝Fv，得最大功率之比為2∶1，C正確；兩次提升過程中礦車的初、末速度都為零，則電機所做的功等于克服重力做的功，重力做的功相等，故電機所做的功之比為1∶1，D錯誤。
【點睛】本題考查速度圖象，牛頓運動定律、功和功率及其相關的知識點。此題以速度圖象給出解題信息。解答此題常見錯誤主要有四方面：一是對速度圖象面積表示位移掌握不到位；二是運用牛頓運動定律求解牽引力錯誤；三是不能找出最大功率；四是不能得出兩次提升電機做功。

1．如圖所示，木板可繞固定水平軸O轉動。木板從水平位置OA緩慢轉到OB位置，木板上的物塊始終相對于木板靜止。在這一過程中，物塊的重力勢能增加了2 J。用N表示物塊受到的支持力，用f表示物塊受到的摩擦力。在此過程中，以下判斷正確的是(　　)

A．N和f對物塊都不做功
B．N對物塊做功為2 J，f對物塊不做功
C．N對物塊不做功，f對物塊做功為2 J
D．N和f對物塊所做功的代數和為零
【答案】B
【解析】由做功的條件可知：只要有力，并且物塊沿力的方向有位移，那么該力就對物塊做功。由受力分析知，支持力N做正功，但摩擦力f方向始終和速度方向垂直，所以摩擦力不做功。由動能定理知WN－WG＝0，故支持力N做功為2 J。
2．(多選)物體受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直線運動。通過力和速度傳感器監測到推力F、物體速度v隨時間t變化的規律分別如圖甲、乙所示。取g＝10 m/s2，則下列說法正確的是(　　)

A．物體的質量m＝0.5 kg
B．物體與水平面間的動摩擦因數μ＝0.4
C．第2 s內物體克服摩擦力做的功W＝2 J
D．前2 s內推力F做功的平均功率P＝3 W
【答案】ABC
【解析】由題圖甲、乙可知，在1～2 s，推力F2＝3 N，物體做勻加速直線運動，其加速度a＝2 m/s2，由牛頓運動定律可得，F2－μmg＝ma；在2～3 s，推力F3＝2 N，物體做勻速直線運動，由平衡條件可知，μmg＝F3；聯立解得物體的質量m＝0.5 kg，物體與水平面間的動摩擦因數μ＝0.4，選項A、B正確；由速度—時間圖象所圍的面積表示位移可得，第2 s內物體位移x＝1 m，克服摩擦力做的功Wf＝μmgx＝2 J，選項C正確；第1 s內，由于物體靜止，推力不做功；第2 s內，推力做功W＝F2x＝3 J，即前2 s內推力F做功為W′＝3 J，前2 s內推力F做功的平均功率P＝W′t＝32 W＝1.5 W，選項D錯誤。
3．(多選)一質點在光滑水平面上處于靜止狀態，現對該質點施加水平力F，力F隨時間t按如圖所示的正弦規律變化，力F的方向始終在同一直線上，在0～4 s內，下列說法正確的是(　　)

A．第2 s末，質點距離出發點最遠
B．第2 s末，質點的動能最大
C．0～2 s內，力F瞬時功率一直增大
D．0～4 s內，力F做功為零
【答案】BD
【解析】從圖象可以看出在前2 s力的方向和運動的方向相同，物體經歷了一個加速度逐漸增大的加速運動和加速度逐漸減小的加速運動，第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不變，所以2 s后，質點離出發點距離還在增大，故A項錯誤；第2 s末，拉力F方向反向，速度方向不變，物體要做減速運動，所以第2 s末，質點的速度最大，動能最大，故B項正確；0～1 s內，速度在增大，力F增大，根據瞬時功率P＝Fv得力F瞬時功率一直增大，1～2 s內，速度在增大，但是隨時間變化速度增大變慢，而力F隨時間減小變快，所以力F瞬時功率有減小的過程，故C項錯誤；0～4 s內，初末速度都為零，根據動能定理得合力做功為零，所以力F做功為零，故D項正確。
4．(多選)如圖所示為汽車的加速度a和車速的倒數1v的關系圖象。若汽車質量為2×103 kg，它由靜止開始沿平直公路行駛，且行駛中阻力恒定，最大車速為30 m/s，則(　　)

A．車所受阻力為2×103 N
B．汽車在車速為5 m/s時，功率為6×104 W
C．汽車的額定功率為6×104 W
D．汽車勻加速所需時間為5 s
【答案】ACD
【解析】由圖可知，勻加速直線運動的加速度為2 m/s2，汽車的最大速度為30 m/s，勻加速直線運動的末速度為10m/s。汽車勻加速直線運動的時間，故D正確；設汽車的額定功率為P，車所受阻力為f。當汽車速度最大時，汽車做勻速直線運動，根據功率公式，有汽車的額定功率為P＝Fvm＝fvm，當1v＝110s/m時，a＝2 m/s2，根據牛頓第二定律得Pv－f＝ma，解得f＝2×103 N，P＝6×104 W，故AC正確；因為5 m/s<10 m/s，所以汽車速度為5 m/s時，功率未達到額定功率6×104 W，故B錯誤。
5．(多選)在傾角為θ的光滑斜面上有兩個用輕彈簧相連接的物塊A、B，它們的質量分別為m1、m2，彈簧勁度系數為k，C為一固定擋板，系統處于靜止狀態。現開始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運動，當物塊B剛要離開C時，物塊A運動的距離為d，速度為v，重力加速度大小為g，則此時(　　)

A．m2gsin θ＝kd
B．物塊A加速度大小為F－kdm1
C．重力對物塊A做功的功率為(kd－m2gsin θ)v
D．彈簧的彈力對物塊A做功的功率為(kd－m2gsin θ)v
【答案】BC
【解析】開始系統處于靜止狀態，彈簧彈力等于A的重力沿斜面向下的分力，當B剛離開C時，彈簧的彈力等于B的重力沿斜面向下的分力，故m2gsin θ＝kx2，但由于開始時彈簧是壓縮的，故d＞x2，故m2gsin θ＜kd，故A錯誤；物塊A的加速度a＝F－kx2－m1gsin θm1，開始彈簧處于壓縮狀態，壓縮量x1＝m1gsin θk，又x1＋x2＝d，解得a＝F－kdm1，故B正確；由于速度v與重力夾角不為零，故重力的瞬時功率等于m1gvsin θ，則由m1gsin θ＝kx1、m2gsin θ＝kx2及x1＋x2＝d得，m1gsin θ＋m2gsin θ＝kd，所以重力做功的功率P＝(kd－m2gsin θ)v，故C正確；當物塊B剛要離開C時，彈簧的彈力為m2gsin θ，則彈力對物塊A做功的功率為m2sin θ•v，故D錯誤。
6．(多選)如圖所示，光滑水平地面上固定一帶有光滑定滑輪的豎直桿，用輕繩一端系著小滑塊，另一端繞過定滑輪，現用恒力F1水平向左拉滑塊的同時，用恒力F2拉右側繩端，使滑塊從A點由靜止開始向右運動，經過B點后到達C點，若AB＝BC，則滑塊(　　)

A．從A點至B點F2做的功等于從B點至C點F2做的功
B．從A點至B點F2做的功小于從B點至C點F2做的功
C．從A點至C點F2做的功可能等于滑塊克服F1做的功
D．從A點至C點F2做的功可能大于滑塊克服F1做的功
【答案】CD
【解析】由題意知，滑塊從A點至B點時右側繩端的位移大于滑塊從B點至C點時右側繩端的位移，F2是恒力，則滑塊從A點至B點F2做的功大于從B點至C點F2做的功，A、B項錯誤；滑塊從A點至C點過程中，可能先加速后減速，滑塊在C點速率大于或等于零，根據動能定理得知，滑塊從A點運動到C點過程中動能的變化量大于或等于零，總功大于或等于零，則從A點至C點F2做的功大于或等于滑塊克服F1做的功，C、D項正確。
7．一物體在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段時間內的速度隨時間變化情況如圖所示。則拉力的功率隨時間變化的圖象可能是(g取10 m/s2)(　　)

【答案】D
【解析】由圖知在0～t0時間內，物體做初速度為零的勻加速運動，v＝at；由牛頓第二定律得F－f＝ma，則拉力的功率P＝Fv＝(f＋ma)v＝(f＋ma)at；在t0時刻以后，物體做勻速運動，v不變，則F＝f，P＝Fv＝fv，P不變，故D項正確。
8．(多選)兩實心小球甲和乙由同一種材料制成，甲球質量大于乙球質量。兩球在空氣中由靜止下落，假設它們運動時受到的阻力與球的半徑成正比，與球的速率無關。若它們下落相同的距離，則(　　)
A．甲球用的時間比乙球長
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
【答案】BD
【解析】設f＝kR，則由牛頓第二定律得F合＝mg－f＝ma，而m＝43πR3•ρ，故a＝g－k43πR2•ρ，由m甲>m乙、ρ甲＝ρ乙可知a甲>a乙，故C項錯誤；因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v甲>v乙，B項正確；由x＝12at2可知，t甲<t乙，A項錯誤；由功的定義可知，W克服＝f•x，又f甲>f乙，則W甲克服>W乙克服，D項正確。
9．如圖所示，一長為L的輕桿一端固定在光滑鉸鏈上，另一端固定一質量為m的小球。一水平向右的拉力作用于桿的中點，使桿以角速度ω勻速轉動，當桿與水平方向成60°時，拉力的功率為(　　)

A．mgLω B．32mgLω
C．12mgLω D．36mgLω
【答案】C
【解析】由于桿做勻速轉動，拉力的功率等于克服重力做功的功率，P＝mgωLcos 60°＝12mgLω，C項正確。
10．為了緩解城市交通擁堵問題，某市交通部門在禁止行人步行的十字路口增設了長度為12 m的“直行待行區”。如圖所示，當其他車道的車輛右轉時，直行道上的車輛可以提前進入“直行待行區”；當直行綠燈亮起時，可從“直行待行區”直行通過十字路口。如果該路段的限速為60 km/h，從提示進入“直行待行區”到直行綠燈亮起的時間為4 s。現某汽車司機駕駛著質量為1.5 t的小汽車，汽車的額定功率為63 kW，汽車的前端剛好停在停車線處，當司機看到上述提示時，立即由靜止開始做勻加速直線運動，當汽車的前端運動到“直行待行區”的前端線時，正好直行的綠燈亮起，司機保持該加速度繼續運動到額定功率后保持功率不變，汽車在運動中受到的阻力為車重的0.2倍，重力加速度g取10 m/s2，則：

(1)在前4 s時間內，汽車發動機所做的功是多少？
(2)從開始運動計時，經過12 s達到該路段限速，汽車經過的總位移是多少？(結果保留兩位有效數字)
【解析】(1)在這段時間內，汽車前進的位移為x＝12at2
汽車的加速度為a＝2xt2＝1.5 m/s2
汽車受到的阻力f＝kmg＝3×103 N
根據牛頓第二定律F－f＝ma
牽引力做功WF＝F•x
由以上兩式得WF＝6.3×104 J。
(2)設汽車達到額定功率時的速度為v′，時間為t′，位移為x1，則
P額＝F•v′
v′＝a•t′
x1＝12at′2
設汽車以額定功率行駛的位移為x2，根據動能定理
P額(t－t′)－f•x2＝12mv2－12mv′2
由以上各式解得x1＝48 m，x2＝50.55 m
汽車經過的位移x＝x1＋x2≈99 m。
11．某品牌汽車在某次測試過程中數據如下表所示，請根據表中數據回答問題。
整車行駛質量   1 500 kg
額定功率   75 kW
加速過程   車輛從靜止加速到108 km/h所需時間為10 s
制動過程   車輛以36 km/h行駛時的制動距離為5.0 m
已知汽車在水平公路上沿直線行駛時所受阻力f跟行駛速率v和汽車所受重力mg的乘積成正比，即f＝kmgv，其中k＝2.0×10－3 s/m。重力加速度g取10 m/s2。
(1)若汽車加速過程和制動過程都做勻變速直線運動，求這次測試中加速過程的加速度大小a1和制動過程的加速度大小a2。
(2)求汽車在水平公路上行駛的最大速率vm。
(3)把該汽車改裝成同等功率的純電動汽車，其他參數不變。若電源功率轉化為汽車前進的機械功率的效率η＝90%。假設1 kW•h電能的售價為0.50元(人民幣)，求電動汽車在平直公路上以最大速度行駛的距離s＝100 km時所消耗電能的費用。結合此題目，談談你對電動汽車的看法。
【解析】(1)加速過程的加速度大小a1＝ΔvΔt＝3010 m/s2＝3 m/s2
制動過程滿足2a2x＝v2t－v20
解得加速度大小a2＝10 m/s2。
(2)當汽車的速度達到最大時，汽車受到牽引力與阻力相等。滿足Pm＝fvm
即Pm＝kmgv2m
解得vm＝50 m/s。
(3)以最大速度行駛過程中，克服阻力所做的功
Wf＝fs＝kmgvms
代入數據，解得Wf＝1.5×108 J
消耗電能E＝Wfη＝1.67×108 J＝46.4 kW•h
所以，以最大速度行駛100 km的費用Y＝46.4×0.5＝23.2(元)。
由以上數據可以看出，純電動汽車比燃油汽車行駛費用低得多，而且無環境污染問題。

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小題必練8：功和功率

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