(1)以萬有引力定律為基礎的行星、衛星勻速圓周運動模型及其應用；(2)雙星模型、估算天體的質量和密度等；(3)以開普勒三定律為基礎的橢圓運行軌道及衛星的發射與變軌、能量等相關內容；(4)萬有引力定律與地理、數學、航天等知識的綜合應用。

例1．(2020?山東卷?7)我國將在今年擇機執行“天問1號”火星探測任務。質量為m的著陸器在著陸火星前，會在火星表面附近經歷一個時長為t0、速度由v0減速到零的過程。已知火星的質量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過程可視為一個豎直向下的勻減速直線運動，此過程中著陸器受到的制動力大小約為（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】忽略星球的自轉，根據萬有引力等于重力GMmr2＝mg，可得g火＝0.4g地＝0.4g，著陸器做勻減速直線運動，根據運動學公式可知0＝v0－at0，根據牛頓第二定律得f－mg＝ma，聯立解得著陸器受到的制動力大小， B正確。
【點睛】本題考查萬有引力定律與牛頓第二定律的綜合問題，關鍵是知道天體表面重力等于萬有引力，同時分析好運到情況和受力情況。
例2．(2020?全國I卷?15)火星的質量約為地球質量的110，半徑約為地球半徑的12，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為( )
A. 0.2 B. 0.4 C. 2.0 D. 2.5
【答案】B
【解析】根據F＝GMmR2得，故選B。
【點睛】本題考查萬有引力公式的應用，比較簡單。

1．2019年5月17日，我國成功發射第45顆北斗導航衛星，該衛星屬于地球靜止軌道衛星(同步衛星)。該衛星(　　)
A．入軌后可以位于北京正上方
B．入軌后的速度大于第一宇宙速度
C．發射速度大于第二宇宙速度
D．若發射到近地圓軌道所需能量較少
【答案】D
【解析】同步衛星只能位于赤道正上方，A項錯誤；由GMmr2＝mv2r知，衛星的軌道半徑越大，衛星做勻速圓周運動的線速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛星的速度)，B項錯誤；同步衛星的發射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項錯誤；若發射到近地圓軌道，所需發射速度較小，所需能量較小，D項正確。
2．(多選)2020年6月23日，我國在西昌衛星發射中心成功發射北斗系統第55顆導航衛星，至此北斗全球衛星導航系統星座部署全面完成。北斗導航系統第41顆衛星為地球同步軌道衛星，第49顆衛星為傾斜地球同步軌道衛星，它們的軌道半徑約為4.2×107 m，運行周期都等于地球的自轉周期24 h。傾斜地球同步軌道平面與地球赤道平面成一定夾角，如圖所示。已知引力常量G＝6.67×10－11 N?m2/kg2，則下列說法正確的是(　　)

A．根據題目數據可估算出地球的質量
B．同步軌道衛星可能經過北京上空
C．傾斜地球同步軌道衛星一天2次經過赤道正上方同一位置
D．傾斜地球同步軌道衛星的運行速度大于第一宇宙速度
【答案】AC
【解析】根據GMmr2＝m4π2T2r，可得M＝4π2r3GT2，可估算出地球的質量。A正確；由于地球同步衛星相對地面靜止，因此一定自西向東運動，且軌道的圓心一定在地心上，故同步衛星一定在地球赤道的正上方，不可能運動到北京的正上方，B錯誤；傾斜同步衛星若某時刻經過赤道正上方某位置，經過半個周期，恰好地球也轉了半個周期，因此又會經過赤道上方的同一位置，C正確；由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，由于軌道半徑越大，運動速度越小，第一宇宙速度是貼近地球表面運動的衛星的速度，同步衛星的運動速度小于第一宇宙速度，D錯誤。
3．若地球同步衛星在赤道上空約為36000 km，地球的半徑約為6000 km，位于東經121度赤道上空的同步衛星把信息傳送到大興安嶺的某個接受站（處于東經121度，北緯60度）大約用時（光速為3×108 m/s）(　　)
A．0.12 s B．0.14 s C．0.014 s D．0.13 s
【答案】D
【解析】設大興安嶺的該接受站到同步衛星的距離為s，如圖所示，根據余弦定理可得，則所用時間，故選D。

4．(多選)2020年7月21日發生了土星沖日現象，如圖所示，土星沖日是指土星、地球和太陽幾乎排列成一線，地球位于太陽與土星之間。此時土星被太陽照亮的一面完全朝向地球，所以明亮而易于觀察。地球和土星繞太陽公轉的方向相同，軌跡都可近似為圓，地球一年繞太陽一周，土星約29.5年繞太陽一周。則（　　）

A．地球繞太陽運轉的向心加速度大于土星繞太陽運轉的向心加速度
B．地球繞太陽運轉的運行速度比土星繞太陽運轉的運行速度小
C．2019年沒有出現土星沖日現象
D．土星沖日現象下一次出現的時間是2021年
【答案】AD
【解析】地球的公轉周期比土星的公轉周期小，由GMmr2＝m4π2T2r，得T＝2πr3GM，可知地球的公轉軌道半徑比土星的公轉軌道半徑小；又GMmr2＝ma，解得a＝GMr2，可知行星的軌道半徑越大，加速度越小，則土星的向心加速度小于地球的向心加速度，選項A正確；由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，知土星的運行速度比地球的小，選項B錯誤；設T地＝1年，則T土＝29.5年，出現土星沖日現象則有(ω地－ω土)t＝2π，又ω＝2πT，解得距下一次土星沖日所需時間t≈1.04年，選項C錯誤、D正確。
5．我國首顆量子科學實驗衛星于2016年8月16日1點40分成功發射。量子衛星成功運行后，我國將在世界上首次實現衛星和地面之間的量子通信，構建天地一體化的量子保密通信與科學實驗體系。假設量子衛星軌道在赤道平面，如圖所示。已知量子衛星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點是地球赤道上一點，由此可知(　　)

A．同步衛星與量子衛星的運行周期之比為n3m3
B．同步衛星與P點的速度之比為1n
C．量子衛星與同步衛星的速度之比為nm
D．量子衛星與P點的速度之比為n3m
【答案】D
【解析】由開普勒第三定律得r量3T量2＝r同3T同2，又由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以T同T量＝r同3r量3＝?nR?3?mR?3＝n3m3，故A錯誤；P為地球赤道上一點，P點角速度等于同步衛星的角速度，根據v＝ωr，所以有v同vP＝r同rP＝nRR＝n1，故B錯誤；根據GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，所以v量v同＝r同r量＝nRmR＝nm，故C錯誤；綜合B、C，有v同＝nvP，v量nvP＝nm，得v量vP＝n3m，故D正確。
6．假設宇宙中有兩顆相距無限遠的行星A和B，半徑分別為RA和RB。這兩顆行星周圍衛星的軌道半徑的三次方(r3)與運行周期的平方(T2)的關系如圖所示，T0為衛星環繞行星表面運行的周期。則(　　)

A．行星A的質量大于行星B的質量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度小于行星B的第一宇宙速度
D．當兩行星的衛星軌道半徑相同時，行星A的衛星向心加速度小于行星B的衛星向心加速度
【答案】A
【解析】根據GMmr2＝m4π2rT2，可得M＝4π2r3GT2，r3＝GM4π2T2，由圖象可知，A的斜率大，所以A的質量大，A項正確；由圖象可知當衛星在兩行星表面運行時，周期相同，將M＝ρV＝ρ•43πR3代入上式可知兩行星密度相同，B項錯誤；根據萬有引力提供向心力，則GMmR2＝mv2R，所以v＝GMR＝43πρGR2，行星A的半徑大，所以行星A的第一宇宙速度也大，C項錯誤；兩衛星的軌道半徑相同時，它們的向心加速度a＝GMr2，由于A的質量大于B的質量，所以行星A的衛星向心加速度大，D項錯誤。
7．引力波的發現證實了愛因斯坦100年前所做的預測。1974年發現了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統簡化為理想的圓周運動模型，如圖所示，兩星球在相互的萬有引力作用下，繞O點做勻速圓周運動。由于雙星間的距離減小，則(　　)

A．兩星的運動周期均逐漸減小
B．兩星的運動角速度均逐漸減小
C．兩星的向心加速度均逐漸減小
D．兩星的運動線速度均逐漸減小
【答案】A
【解析】雙星做勻速圓周運動具有相同的角速度，靠相互間的萬有引力提供向心力。根據Gm1m2L2＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據萬有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯誤；根據Gm1m2L2＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯誤；根據Gm1m2L2＝m1v12r1，解得v1＝Gm2r1L2，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯誤。
8．(多選)如圖所示，有甲、乙兩顆衛星分別在不同的軌道圍繞一個半徑為R、表面重力加速度為g的行星運動，衛星甲、衛星乙各自所在的軌道平面相互垂直，衛星甲的軌道為圓，距離行星表面的高度為R，衛星乙的軌道為橢圓，M、N兩點的連線為其橢圓軌道的長軸且M、N兩點間的距離為4R。則以下說法正確的是(　　)

A．衛星甲的線速度大小為2gR
B．衛星乙運行的周期為4π2Rg
C．衛星乙沿橢圓軌道運行經過M點時的速度大于衛星甲沿圓軌道運行的速度
D．衛星乙沿橢圓軌道運行經過N點時的加速度小于衛星甲沿圓軌道運行的加速度
【答案】BCD
【解析】衛星甲繞中心天體做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，可計算出衛星甲環繞中心天體運動的線速度大小為v＝gR2，A錯誤；同理可計算出衛星甲環繞的周期為T甲＝4π2Rg，由衛星乙橢圓軌道的半長軸等于衛星甲圓軌道的半徑，根據開普勒第三定律可知，衛星乙運行的周期和衛星甲運行的周期相等，則T乙＝T甲＝4π2Rg，B正確；衛星乙沿橢圓軌道經過M點時的速度大于沿軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛星的線速度，而軌道半徑為M至行星中心距離的圓軌道的衛星的線速度大于衛星甲在圓軌道上的線速度，C正確；衛星運行時只受萬有引力，向心加速度a＝GMr2，r越大，a越小，D正確。
9．(多選)宇航員在某星球表面以初速度2.0 m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運動軌跡，如圖所示，O為拋出點，若該星球半徑為4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N•m2•kg－2，則下列說法正確的是(　　)

A．該星球表面的重力加速度為4.0 m/s2
B．該星球的質量為2.4×1023 kg
C．該星球的第一宇宙速度為4.0 km/s
D．若發射一顆該星球的同步衛星，則同步衛星的繞行速度一定大于4.0 km/s
【答案】AC
【解析】根據平拋運動的規律：h＝12gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正確；在星球表面，重力近似等于萬有引力，得M＝gR2G≈9.6×1023 kg，B錯誤；由mv2R＝mg得第一宇宙速度為v＝gR＝4.0 km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環繞速度，D錯誤。
10．開普勒第三定律指出：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等。該定律對一切具有中心天體的引力系統都成立。如圖，嫦娥三號探月衛星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時刻嫦娥三號衛星在A點變軌進入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點著陸。A、O、B三點在一條直線上。求：

(1)月球的密度；
(2)在軌道Ⅱ上運行的時間。
【解析】(1)由萬有引力充當向心力：GMmr2＝m2πT2r
月球的密度：ρ＝M43πR3
聯立解得：ρ＝3πr3GT2R3。
(2)橢圓軌道的半長軸：a＝R＋r2
設橢圓軌道上運行周期為T1，由開普勒第三定律有：a3T12＝r3T2
在軌道Ⅱ上運行的時間為t＝T12
解得：。
11．由于地球的自轉，物體在地球上不同緯度處隨地球自轉所需向心力的大小不同，因此同一個物體在地球上不同緯度處重力大小也不同，在地球赤道上的物體受到的重力與其在地球兩極點受到的重力大小之比約為299∶300，因此我們通常忽略兩者的差異，可認為兩者相等．而有些星球，卻不能忽略。假如某星球因為自轉的原因，一物體在該星球赤道上的重力與其在兩極點受到的重力大小之比為7∶8，已知該星球的半徑為R。(引力常量為G)
(1)求繞該星球運動的同步衛星的軌道半徑r；
(2)若已知該星球赤道上的重力加速度大小為g，求該星球的密度ρ。
【解析】(1)設物體質量為m，星球質量為M，星球的自轉周期為T，物體在星球兩極時，萬有引力等于重力，即F萬＝GMmR2＝G極
物體在星球赤道上隨星球自轉時，向心力由萬有引力的一個分力提供，另一個分力就是重力G赤，有
F萬＝G赤＋Fn
因為G赤＝78G極，所以Fn＝18•GMmR2＝m2πT2R
該星球的同步衛星的周期等于星球的自轉周期T，則有GMm′r2＝m′4π2T2r
聯立解得r＝2R。
(2)在星球赤道上，有78•GMmR2＝mg
解得M＝8gR27G
又因星球的體積V＝43πR3
所以該星球的密度ρ＝MV＝6g7GπR。

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小題必練7：萬有引力與航天

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