本專題主要考查波的特性、振動圖象與波動圖象，注意振動方程和波的圖象有機結合的考查，題型在選擇題和計算題中均有涉及。

一、機械振動
1．簡諧運動表達式
(1)動力學表達式：F＝－kx，其中“－”表示回復力與位移的方向相反。
(2)運動學表達式：x＝Asin(ωt＋φ0)，其中A代表振幅，ω＝2πf代表簡諧運動的快慢，ωt＋φ0代表簡諧運動的相位，φ0叫做初相。
2．簡諧運動圖像
(1)從平衡位置開始計時，函數表達式為x＝Asin ωt，圖像如圖甲所示。
(2)從最大位移處開始計時，函數表達式為x＝Acos ωt，圖像如圖乙所示。

二、機械波
1．波的傳播問題
(1)沿波的傳播方向上各質點的起振方向與波源的起振方向一致。
(2)介質中各質點隨波振動，但并不隨波遷移。
(3)沿波的傳播方向上波每個周期傳播一個波長的距離。
(4)在波的傳播過程中，同一時刻如果一個質點處于波峰，而另一質點處于波谷，則這兩個質點一定是反相點。
2．波的疊加問題
(1)兩個振動情況相同的波源形成的波，在空間某點振動加強的條件為Δx＝nλ(n＝0，1，2，…)，振動減弱的條件為Δx＝nλ＋λ2(n＝0，1，2，…)。兩個振動情況相反的波源形成的波，在空間某點振動加強的條件為Δx＝nλ＋λ2(n＝0，1，2，…)，振動減弱的條件為Δx＝nλ(n＝0，1，2，…)。
(2)振動加強點的位移隨時間而改變，振幅最大。

1．(2019•全國卷Ⅱ)如圖，長為l的細繩下方懸掛一小球a，繩的另一端固定在天花板上O點處，在O點正下方34l的O′處有一固定細鐵釘。將小球向右拉開，使細繩與豎直方向成一小角度(約為2°)后由靜止釋放，并從釋放時開始計時。當小球a擺至最低位置時，細繩會受到鐵釘的阻擋。設小球相對于其平衡位置的水平位移為x，向右為正。下列圖像中，能描述小球在開始一個周期內的x－t關系的是(　　)

2．(多選)(2019•天津高考)一列簡諧橫波沿x軸傳播，已知x軸上x1＝1 m和x2＝7 m 處質點的振動圖像分別如圖甲、乙所示，則此列波的傳播速率可能是(　　)

A．7 m/s B．2 m/sC．1.2 m/s D．1 m/s

1．(多選)一列簡諧橫波沿x軸的負方向傳播，振幅為4 cm，周期為T。已知在t＝0時刻波上平衡位置相距40 cm的兩質點a、b的位移都是2 cm，但運動方向相反，其中質點a沿y軸正方向運動，如圖所示，下列說法正確的是(　　)

A．該列簡諧橫波波長可能為7.5 cm
B．質點a振動周期是1.2 s
C．當質點a的位移為＋4 cm時，質點b的位移為0
D．在t＝T3時刻質點b的位移是－4 cm
2．一列簡諧橫波，某時刻的波形圖象如圖甲所示，從該時刻開始計時，波上A質點的振動圖象如圖乙所示，則：

(1)從該時刻起，再經過Δt＝0.4 s，P質點的位移、通過的路程和波傳播的距離分別為多少？
(2)若t＝0時振動剛剛傳到A質點，從該時刻起再經多長時間坐標為45 m的質點(未畫出)第二次位于波峰？

1．某一列沿x軸傳播的簡諧橫波，在t＝T4時刻的波形圖如圖所示，P、Q為介質中的兩質點，質點P正在向動能增大的方向運動。下列說法正確的是(　　)

A．波沿x軸正方向傳播
B．t＝T4時刻，Q的速度比P的速度大
C．t＝3T4時刻，Q到達平衡位置
D．t＝3T4時刻，P向y軸正方向運動
2．(多選)由波源S形成的簡諧橫波在均勻介質中向左、右傳播．波源振動的頻率為10 Hz，波速為12 m/s.已知介質中P、Q兩質點位于波源S的兩側，如圖所示，且P、Q和S的平衡位置在一條直線上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之間的距離分別為12.3 m、10.5 m，P、Q開始振動后，下列判斷正確的是(　　)

A．P、Q兩質點運動的方向始終相同
B．當S恰好通過平衡位置時，P、Q兩點也正好通過平衡位置
C．當S恰好通過平衡位置向上運動時，P在波谷
D．當S恰好通過平衡位置向上運動時，Q在波峰
3．圖甲為演示單擺共振的裝置，實驗時依次讓不同的單擺先擺起來，觀察單擺P(圖中未標出)能達到的最大振幅A和穩定時的振動頻率f，并描點記錄在圖乙中，用光滑曲線連接各點得到如圖乙所示曲線。取重力加速度g＝π2 m/s2，下列說法正確的是(　　)

A．單擺P的固有頻率約為1 Hz
B．裝置甲中只有一個單擺的擺長約為1.0 m
C．當單擺P穩定時的振動頻率為1.0 Hz時，先振動的單擺擺長約為0.25 m
D．單擺P的振動周期總為2 s
4．(多選)一列簡諧橫波在某均勻介質中沿x軸傳播，從x＝3 m處的質點a開始振動時計時，質點a的振動方程為y＝－5sin 5πt cm，t0時刻該波的波形如圖所示，質點a正沿y軸正方向運動，則下列說法正確的是(　　)

A．該波的傳播速度為20 m/s
B．該波是沿x軸負方向傳播的
C．從t0時刻起，經0.1 s質點b通過的路程為5 cm
D．從t0時刻起，經0.15 s質點a回到平衡位置
5．如圖所示，圖甲是t＝5 s時刻一簡諧橫波沿x軸正方向傳播的波形圖，圖乙為這列波上某質點的振動圖象，則(　　)

A．該列波的波速為4 m/s
B．圖乙可能是質點b的振動圖象
C．質點c的振動方程為y＝6sinπt2＋π cm
D．t＝10 s時，a點的振動方向向上
6．兩列簡諧橫波a、b在同一均勻介質中沿x軸同一方向傳播，t＝0時刻各自的波形圖如圖甲所示，橫波b上x＝0處的質點的振動圖象如圖乙所示，下列說法正確的是(　　)

A．橫波b沿x軸正方向傳播
B．t＝0時刻橫波b上x＝0處的質點的位移為－5 cm
C．橫波a在介質中傳播的速度為2 m/s
D．t＝13.5 s時x＝1.0 m處的質點的位移為20 cm
7．(多選)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，波剛傳到x1＝5 m的質點P處時的波形如圖所示，已知質點P連續兩次位于波峰的時間間隔為0.2 s，質點Q位于x2＝6 m處。若從圖示時刻開始計時，則下列說法正確的是(　　)

A．此列波的傳播速度是10 m/s
B．t＝0.2 s時質點Q第一次到達波谷位置
C．質點Q剛開始振動的方向為沿y軸正方向
D．當質點Q第一次到達波谷位置時，質點P通過的路程為15 cm
8．直角坐標系xOy的y軸為兩種均勻介質Ⅰ、Ⅱ的分界線，位于x＝0處的一波源發出的兩列機械波a、b同時分別在介質Ⅰ、Ⅱ中傳播，某時刻的部分波形圖如圖所示，此時刻a波恰好傳到x＝4 m處，下列說法正確的是(　　)

A．波源的起振方向沿y軸正方向
B．兩列波的頻率關系fa＝4fb
C．此時刻b波傳到x＝－16 m處
D．質點P在這段時間內的路程為30 cm
9．(多選)一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形如圖所示，波速大小為v＝0.6 m/s，此時波剛好傳到0.24 m的位置，P為0.60 m處的質點，下列說法正確的是(　　)

A．該波經過0.6 s傳播到P點
B．該波剛傳播到P點時P點由平衡位置向上振動
C．該波從t＝0時刻到剛傳播到P點過程中O處質點的路程為30 cm
D．x＝0.18 m處的質點的振動方程為y＝5sin5πt＋π2 cm
10．一簡諧橫波以4 m/s的波速沿水平繩向x軸正方向傳播。已知t＝0時的波形如圖所示，繩上兩質點M、N的平衡位置相距34波長。設向上為正，經時間t1(小于一個周期)，此時質點M向下運動，其位移仍為0.02 m。求：

(1)該橫波的周期；
(2)t1時刻質點N的位移。

11．一列簡諧波在t＝13 s時的波形圖如圖甲所示，P、Q是介質中的兩個質點。圖乙是質點Q的振動圖象。求

(1)波速及波的傳播方向；
(2)質點Q的平衡位置的x坐標。

12．同一種均勻介質中沿x軸正方向傳播的簡諧橫波上有兩個質點M和N，其平衡位置分別是xM＝10 cm和xN＝22 cm。t1＝14 s時刻，M離開平衡位置的位移是2 cm，N在波峰；t2＝16 s時刻，質點M第一次回到平衡位置；t3＝20 s時刻，質點N第一次回到平衡位置。求：
(1)簡諧橫波的波長：
(2)質點M離開平衡位置的位移y與時刻t的關系式。

1．【答案】A
【解析】擺長為l時單擺的周期T1＝2πlg，振幅A1＝lsin α(α為擺角)；擺長為14l時單擺的周期T2＝πlg＝T12，振幅A2＝14lsin β(β為擺角)。根據機械能守恒定律得mgl(1－cos α)＝mgl4(1－cos β)，利用cos α＝1－2sin2α2，cos β＝1－2sin2β2，以及sin α＝tan α＝α(α很小)，解得β＝2α，故A2＝12A1，故A正確。
2．(多選)
【答案】BC
【解析】由振動圖像可知周期T＝4 s，零時刻x1處質點在平衡位置且向下振動，而x2處質點在正的最大位移處。①若沿x軸正方向傳播，其波形如圖甲所示，x2處質點的平衡位置可能在A1或A2或A3……，則波長有x2－x1＝n＋14λ(n＝0，1，2，…)，得波速表達式v＝λT＝64n＋1(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，v＝6 m/s，當n＝1時，v＝1.2 m/s，C正確。

②若沿x軸負方向傳播，其波形如圖乙所示，則有x2－x1＝n＋34λ(n＝0，1，2，…)，得v＝λT＝64n＋3(n＝0，1，2，…)，當n＝0時，v＝2 m/s，當n＝1時，v≈0.86 m/s，B正確。

1．(多選)
【解析】設質點的起振方向向上，根據質點振動方程y＝Asin ωt，t＝0時對質點a、b有2＝4sin ωt，可得ωt＝π6＋nπ或5π6＋nπ(n＝0，1，2…)，因為質點b振動的時間比質點a長，所以質點a、b振動的時間差Δt＝5π6ω－π6ω＋nT＝T3＋nT(n＝0，1，2…)，質點a、b間的距離Δx＝vΔt＝vT3＋nvT＝λ3＋nλ(n＝0，1，2…)，則波長λ＝1203n＋1 cm(n＝0，1，2…)；當n＝5時，λ＝7.5 cm，故A正確；根據題給條件，無法求出質點的振動周期，故B錯誤；當質點a的位移為＋4 cm時，a到達正向最大位移處，a振動的最短時間為π2－π6ω＝T6，此時b的位移為4 cm•sinωT6＋5π6＝－2 cm，故C錯誤；在t＝T3時刻質點b的位移為4 cm•sinωT3＋5π6＝－4 cm，故D正確。
【答案】AD
【點評】解決波的多解問題，關鍵是分析哪種情況引起的多解：波的周期引起的多解，則寫出時間與周期的關系式或距離與波長的關系式進行求解；波傳播雙向性引起的多解，則應分兩種情況進行討論；對于有限制條件的問題，要在解出通式以后再限制解，這樣可以避免多解。
2．【解析】(1)由振動圖象可知，此波的周期為T＝0.8 s，Δt＝0.4 s＝T2
故經Δt＝0.4 s，P質點回到平衡位置，位移為0，P質點通過的路程為2A＝4 cm
波傳播的距離為λ2＝10 m。
(2)由波形圖象可知，此波的波長λ＝20 m，由A質點在t＝0 時刻向上振動知，波沿x軸正方向傳播。
波速v＝λT＝200.8 m/s＝25 m/s
由波的周期性可得，45 m處的質點第一次到達波峰的時間t1＝45－20v＝2525 s＝1 s
此質點第二次位于波峰的時間t＝t1＋T＝1.8 s。
【點評】解答本題的關鍵是弄清楚以下兩點：振動圖象和波動圖象有什么區別？兩種圖象分別提供哪些信息？

1．【答案】D
【解析】根據題述質點P正在向動能增大的方向運動可知，質點P正在向平衡位置運動，可判斷出波沿x軸負方向傳播，A錯誤；t＝T4時刻Q處于波谷，速度為零，Q的速度比P的速度小，B錯誤；在T4時刻Q處于波谷，再經過半個周期即t＝3T4時刻，Q到達波峰，C錯誤；在T4時刻P向y軸負方向運動(即向下運動)，再經過半個周期即t＝3T4時刻，P向y軸正方向運動，D正確。
2．【答案】CD
【解析】波源振動的頻率為10 Hz，波速為12 m/s，由波長公式λ＝vf＝1210 m＝1.2 m；P、Q兩質點距離波源的距離之差為：Δx＝12.3 m－10.5 m＝1.8 m＝32λ，為半個波長的奇數倍，所以P、Q兩質點振動步調相反，P、Q兩質點運動的方向始終相反，故A錯誤，因為SP＝12.3 m＝10＋14λ，SQ＝10.5 m＝8＋34λ，所以當S恰好通過平衡位置時，P、Q兩點都不在平衡位置；當S恰好通過平衡位置向上運動時，P在波谷，Q在波峰位置，故B錯誤，CD正確。
3．【答案】C
【解析】圖乙為單擺P的共振曲線，振幅最大時對應的頻率0.50 Hz接近或等于其固有頻率，A錯誤；單擺P振幅最大時，先振動的單擺與P的固有周期相近或相同，P的固有周期約為2.0 s，由T＝2πLg可求得其擺長約為1.0 m，說明裝置中至少還有一個單擺的擺長約為1.0 m，B錯誤；當單擺P穩定時的振動頻率為1.0 Hz時，先振動的單擺的固有頻率也為1.0 Hz，由T＝2πLg可得擺長約0.25 m，C正確；單擺P做受迫振動的周期與先振動的單擺周期相同，D錯誤。
4．(多選)
【答案】AD
【解析】由圖可知該波的波長為λ＝8 m，由振動方程知周期T＝0.4 s，該波的波速為v＝λT＝80.4 m/s＝20 m/s，故A正確；a點在t0時刻速度方向為沿y軸正方向，故波沿x軸正方向傳播，故B錯誤；從t0時刻起，經0.1 s即T4，質點b通過的路程大于一個振幅，C錯誤；t0時刻的x＝0處的波形傳播到x＝3 m處時，質點a回到平衡位置，所需時間t＝xv＝320 s＝0.15 s，故D正確。
5．【答案】C
【解析】由圖甲可知波長λ＝8 m，由圖乙可知周期T＝4 s，這列波的傳播速度v＝λT＝2 m/s，A錯誤；波沿x軸正方向傳播，由圖乙可知t＝5 s時該質點處于波峰(正最大位移處)，圖乙可能是質點a的振動圖象，B錯誤；由于t＝5 s時質點c處于波谷(負最大位移處)，振幅A＝6 cm，初相位為φ0，ω＝2πT，所以質點c的振動方程為y＝Asin(ωt＋φ0)＝6sinπ2t＋π cm，C正確；t＝10 s時，a點的振動方向沿y軸負方向，即振動方向向下，D錯誤。
6．【答案】D
【解析】根據圖乙振動圖象可知，t＝0時刻橫波b上x＝0處的質點振動方向沿y軸負方向，所以橫波b沿x軸負方向傳播，A錯誤；同一介質中簡諧波的傳播速度相同，則波速va＝vb＝0.5 m0.5 s＝1 m/s，選項C錯誤；由Tb＝λbvb＝4 s，t＝0.5 s時，yb＝－10 cm可知，橫波b上x＝0處質點的振動方程為y＝－10sinπ2t＋π4 cm，則t＝0時刻橫波b上x＝0處的質點的位移為－52 cm，B錯誤；根據圖甲可知橫波a的波長λa＝2.0 m，橫波b的波長λb＝4 m，要使x＝1.0 m處的質點的位移為20 cm，設所需時間為t，則t時刻兩列波波峰疊加，t＝1.5 m＋mλav＝1.5 m＋nλbv(m，n均為自然數)，得m＝2n(m，n均為自然數)，當m＝6，n＝3時，代入可得t＝13.5 s，符合題，D正確。
7．(多選)
【答案】BC
【解析】根據題意可知，該簡諧橫波的周期為0.2 s，波長為4 m，所以其波速為20 m/s，A錯誤。由題圖可知，質點P和Q剛開始振動時的方向都沿y軸正方向，而且質點Q比P晚四分之一周期，所以t＝0.2 s時，質點P正好完成了一次全振動，質點Q第一次到達波谷位置，而這一過程中質點P通過的路程為20 cm，BC正確，D錯誤。
8．【答案】C
【解析】題圖所示時刻，a波恰好傳到x＝4 m位置，位于x＝4 m的質點將要沿y軸負方向振動，即波源的起振方向沿y軸負方向，A錯誤。波的頻率等于波源的頻率，與介質無關，兩列波頻率相等，B錯誤。由圖可得波長λa＝1 m，λb＝4 m，由波速v＝λf和Δx＝vΔt知當a波向右傳播4 m時，b波向左傳播16 m，C正確。題圖所示時刻，質點P已經振動了212T，經過的路程為10×5 cm＝50 cm，D錯誤。]
9．(多選)
【答案】AC　
【解析】根據題意可知，該簡諧橫波的波速為0.6 m/s，波長為0.24 m，所以其周期為T＝λv＝0.4 s，起振方向向下，B錯誤。對質點P，Δx＝0.60 m－0.24 m＝0.36 m，所以該波經Δt＝Δxv＝0.6 s傳播到P點，A正確。從t＝0時刻到波傳到P的過程中，由于N＝ΔtT＝1.5，所以O處質點的路程為L＝1.5×4A＝30 cm，C正確。x＝0.18 m處的質點的振動方程為y＝5sin5πt－π2 cm，D錯誤。
10．【解析】(1)由波形圖象知，波長：λ＝4 m
又波長、波速和周期關系為：v＝λT
聯立得該波的周期為：T＝1 s。
(2)由已知條件知從t＝0時刻起，質點M做簡諧振動的位移表達式為：yM＝0.04sin2πt＋π6
經時間t1(小于一個周期)，M點的位移仍為0.02 m，運動方向向下。
可解得：t1＝13 s
由于N點在M點右側34波長處，所以N點的振動滯后34個周期，其振動方程為：
yN＝0.04sin2πTt－34T＋π6＝0.04sin2πt－4π3
當t1＝13 s時，yN＝0.04sin2π•13－4π3＝－0.023 m。
11．【解析】(1)由圖甲可以看出，該波的波長為λ＝36 cm   ①
由圖乙可以看出，周期為T＝2 s   ②
波速為v＝λT＝18 cm/s   ③
由圖乙知，當t＝13 s時，Q點向上運動，結合圖甲可得，波沿x軸負方向傳播。
(2)設質點P、Q平衡位置的x坐標分別為xP、xQ.由圖甲知，x＝0處y＝－A2＝Asin(－30°)
因此xP＝30°360°λ＝3 cm   ④
由圖乙知，在t＝0時Q點處于平衡位置，經Δt＝13 s，其振動狀態向x軸負方向傳播至P點處，由此及③式有：xQ－xP＝vΔt＝6 cm   ⑤
由④⑤式得，質點Q的平衡位置的x坐標為xQ＝9 cm。
12．【解析】(1)質點N，t1＝14 s時刻在波峰，t3＝20 s時刻第一次回到平衡位置，經過了四分之一個周期，設簡諧波的周期為T，則T4＝t3－t1
解得T＝24 s
t2＝16 s時刻，質點M第一次回到平衡位置，t3＝20 s時，質點N第一次回到平衡位置，即波從M到N經過的時間為t3－t2，設波速為v，則v＝xN－xMt3－t2
解得v＝3 cm/s
設簡諧橫波的波長為λ，則λ＝vT，解得λ＝72 cm。
(2)設質點M振幅為A，初相位為φ，則質點M離開平衡位置的位移x與時刻t的關系式是
y＝Asin(2πTt＋φ)
將質點M在t1＝14 s時刻位移2 cm，t2＝16 s時刻質點M第一次回到平衡位置，代入有
2＝Asin2π24×14＋φ
0＝Asin2π24×16＋φ
解得A＝4 cm，φ＝－π3
則y＝0(0≤t≤4 s)
所以y＝4sinπ12t－13πcm(t≥4 s)。

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