穩中培優計算、實驗練習（四）

1、駿馳汽車賽車場有一段賽道可簡化為這樣：平直的賽道中間有一段拱形路面，其最高點P與水平路面的高度差為1.25 m，拱形路面前后賽道位于同一水平面上．以54 km/h的初速進入直道的賽車，以90 kW的恒定功率運動10 s到達P點，并恰好從P點水平飛出后落到水平賽道上，其飛出的水平距離為10 m．將賽車視為質點，不考慮賽車受到的空氣阻力．已知賽車的質量為1.6×103 kg，取g＝10 m/s2，求：
(1)賽車到達P點時速度的大小．
(2)拱形路面頂點P的曲率半徑．
(3)從進入直道到P點的過程中汽車克服阻力做的功．
【參考答案】(1)20 m/s　(2)40 m　(3)7.4×105 J
解析：(1)賽車到達P點后做平拋運動．
水平方向上，x＝vpt.
豎直方向上，h＝12gt2.
聯立解得，vp＝20 m/s.
(2)賽車運動到拱形路面頂點P時，重力提供向心力．
mg＝mvPR.
解得曲率半徑R＝40 m.
(3)從進入直道到P點的過程中，汽車牽引力做功，重力做功，克服阻力做功．
根據動能定理可知，Pt－mgh－Wf＝12mv2P－0.
解得，Wf＝7.4×105 J.
2、如圖所示，兩平行金屬板AB中間有互相垂直的勻強電場和勻強磁場．A板帶正電荷，B板帶等量負電荷，電場強度為E；磁場方向垂直紙面向里，磁感應強度為B1.平行金屬板右側有一擋板M，中間有小孔O′，OO′是平行于兩金屬板的中心線．擋板右側有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為B2.CD為磁場B2邊界上的一絕緣板，它與M板的夾角θ＝45°，O′C＝a，現有大量質量均為m，含有各種不同電荷量、不同速度的帶電粒子(不計重力)，自O點沿OO′方向進入電磁場區域，其中有些粒子沿直線OO′方向運動，并進入勻強磁場B2中，求：
(1)進入勻強磁場B2的帶電粒子的速度；
(2)能擊中絕緣板CD的粒子中，所帶電荷量的最大值；
(3)絕緣板CD上被帶電粒子擊中區域的長度．

【參考答案】(1)EB1　(2)?2＋1?mEB1B2a　(3)2a
解析：(1)平行金屬板間存在相互垂直的勻強電場和勻強磁場，沿直線OO′運動的帶電粒子，處于受力平衡狀態，qvB1＝qE.
解得，v＝EB1.
(2)帶電粒子進入勻強磁場B2后做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力．
qvB2＝mv2r.
電荷量最大的帶電粒子，運動的軌跡半徑最小，帶正電，軌跡向下偏轉，與CD板相切，如圖所示：

根據幾何關系可知，r1＋2r1＝a.
依題意解得，r1＝a1＋2，q＝?2＋1?mEB1B2a.
(3)帶負電的粒子在磁場B2中向上偏轉，擊中絕緣板CD的臨界情況是軌跡與CD相切．
根據幾何關系可知，r2＋a＝2r2.
解得，r2＝a2－1.
CD板上被帶電粒子擊中區域的長度為x＝r2－r1＝2a.
3、（實驗）一個噴漆桶能夠向外噴射不同速度的油漆霧滴，某同學決定測量霧滴的噴射速度，他采用如圖1所示的裝置，一個直徑為d＝40 cm的紙帶環，安放在一個可以按照不同轉速轉動的固定轉臺上，紙帶環上刻有一條狹縫A，在狹縫A的正對面畫一條標志線，如圖1所示．在轉臺開始轉動達到穩定轉速時，向側面同樣開有狹縫B的固定紙盒中噴射油漆霧滴，當狹縫A轉至與狹縫B正對平行時，霧滴便通過狹縫A勻速運動打在紙帶的內側面留下痕跡(若此過程轉臺轉過不到一圈)．將紙帶從轉臺上取下來，展開平放，并與毫米刻度尺對齊，如圖2所示．

(1)設噴射到紙帶上的油漆霧滴痕跡到標志線的距離為s，則從圖2可知，其中速度最大的霧滴到標志線的距離s＝________cm.
(2)如果轉臺轉動的周期為T，則這些霧滴噴射速度的計算表達式為v0＝________________________________________________________________________(用字母表示)．
(3)如果以縱坐標表示霧滴的速度v0，橫坐標表示霧滴距標志線距離的倒數1s，畫出v0－1s圖線，如圖3所示，則可知轉臺轉動的周期為T＝________s.
【參考答案】(1)2.10　(2)πd2Ts　(3)1.6
解析：(1)霧滴運動一直徑的長度，速度越大，運行的時間越短，轉臺轉過的弧度越小，打在紙帶上的點距離標志線的距離越小．速度最大的霧滴到標志線的距離s＝2.10 cm.
(2)如果轉臺轉動的周期為T，則霧滴運動的時間為t＝sv＝sTπd，噴槍噴出霧滴的速度v0＝dt＝πd2Ts.
(3)由上式變形為，v0＝πd2Ts＝πd2T•1s，v0－1s圖象中斜率k＝πd2T＝0.7π7，解得，T＝1.6 s.
4、兩小木塊A、B，通過輕質彈簧連接，小木塊B處在固定于地面的光滑斜面底端的擋板上，小木塊A壓縮彈簧處于平衡狀態．現對木塊A施加一平行于斜面向上的恒力F作用，小木塊A從靜止開始沿斜面向上運動，如圖所示．已知mA＝mB＝2 kg，F＝30 N，斜面傾角θ＝37°，彈簧勁度系數k＝4 N/cm.設斜面足夠長，整個過程彈簧處于彈性限度內，重力加速度取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.求：
(1)從小木塊A開始運動到小木塊B剛開始運動的過程中，恒力F對小木塊A做的功；
(2)當小木塊B的加速度aB＝1 m/s2 時，小木塊A的加速度的大小．

【參考答案】(1)1.8 J　(2)2 m/s2
解析：(1)初態時，小木塊A壓縮彈簧，根據平衡條件可知，
kx1＝mAgsinθ.
末態時，小木塊B拉伸彈簧，
kx2＝mBgsinθ.
彈簧的形變量x＝x1＋x2.
恒力F對小木塊A做功W＝F•x.
聯立解得，W＝1.8 J.
(2)當小木塊B的加速度aB＝1 m/s2時，彈簧的拉力大小為F1，小木塊A的加速度的大小aA，根據牛頓第二定律可知，
F－F1－mAgsinθ＝mAaA.
F1－mBgsinθ＝mBaB.
聯立解得，aA＝2 m/s2.
5、磁流體發電是一種新型發電方式，圖甲和圖乙是其工作原理示意圖．圖甲中的A、B是電阻可忽略的導體電極，兩個電極間的間距為d，這兩個電極與負載電阻相連．假設等離子體(高溫下電離的氣體，含有大量的正負帶電粒子)垂直于磁場進入兩極板間的速度均為v0.整個發電裝置處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向如圖乙所示．

(1)開關斷開時，請推導該磁流體發電機的電動勢E的大小；
(2)開關閉合后，如果電阻R的兩端被短接，此時回路電流為I，求磁流體發電機的等效內阻r.
【參考答案】(1)Bdv0　(2)Bdv0I
解析：(1)等離子體垂直于磁場射入兩板之間，正、負離子受到洛倫茲力作用，正離子偏向A極板，負離子偏向B極板，兩板之間形成從A到B的勻強電場．
當粒子受的電場力與洛倫茲力相等時，qEd＝qv0B，粒子不再偏轉，兩極板間形成穩定的電勢差即發電機的電動勢，E＝Bdv0.
(2)如果電阻R的兩端被短接，此時回路電流為I.
根據閉合電路歐姆定律，磁流體發電機的等效內阻
r＝EI＝Bdv0I.

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