熱點5　萬有引力定律的應用
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1．某行星的同步衛星下方的行星表面上有一觀察者，行星的自轉周期為T，他用天文望遠鏡觀察被太陽照射的此衛星，發現日落的 T2 時間內有T6的時間看不見此衛星，不考慮大氣對光的折射，則該行星的密度為(　　)
A.24πGT2　　　　　　　　　   B.3πGT2
C.8πGT2    D.16πGT2
2．(2019•青島模擬)2019年1月12日，我國以“一箭雙星”方式成功發射第26、第27顆北斗導航衛星，拉開2019年將發射16顆北斗衛星的序幕．北斗導航衛星的軌道有三種：地球靜止軌道(高度35 809 km)、傾斜地球同步軌道(高度35 809 km)、中圓地球軌道(高度21 607 km)，如圖所示．下列說法正確的是(　　)

A．中圓軌道衛星的周期一定比靜止軌道衛星的周期長
B．中圓軌道衛星受到的萬有引力一定比靜止軌道衛星受到的萬有引力大
C．傾斜同步軌道衛星始終位于地球表面某點的正上方
D．傾斜同步軌道衛星每天在固定的時間經過同一地區的正上方
3．(多選)近年來，我國航天與深海潛水事業交相輝映，“可上九天攬月，可下五洋捉鱉”已經不再是夢想．處于7 062 m深海處隨地球自轉的蛟龍號的向心加速度為a1，轉動角速度為ω1；處于393 km高空圓軌道的神舟十一號向心加速度為a2，轉動角速度為ω2；處于36 000 km高空圓軌道的地球同步衛星的向心加速度為a3，轉動角速度為ω3.下列說法正確的是(　　)
A．a2>a3>a1    B.a1<a2<a3
C．ω2>ω3＝ω1    D.ω2<ω3＝ω1
4．(2019•煙臺模擬)2019年1月3日，“嫦娥四號”成功著陸在月球背面南極，由前期發射的“鵲橋”號中繼星為其探測器提供地月中繼通信支持，“鵲橋”號中繼星于“地月系統拉格朗日－2點”(簡稱地月L2點)附近運動，地月L2點位于地球和月球兩點連線的延長線上的某點，在月球背對地球的一側，探測器處于該點可在幾乎不消耗燃料的情況下與月球同步繞地球做圓周運動，關于定點于地月L2點的探測器的說法正確的是(　　)
A．探測器與月球繞地球做圓周運動的周期之比等于它們的軌道半徑的二分之三次方之比
B．探測器與月球繞地球做圓周運動的向心加速度與它們的軌道半徑的平方成反比
C．探測器與月球繞地球做圓周運動的線速度之比等于它們的軌道半徑之比
D．不可能有探測器能定點于地月連線之間某點
5．在人類太空征服史中，讓人類遺憾的是“太空加油站”的缺乏．當通信衛星軌道校正能源耗盡的時候，它的生命就走到了盡頭，有很多成了太空垃圾．如今“軌道康復者”是救助此類衛星的新型太空航天器，圖甲是“軌道康復者”航天器在給太空中“垃圾”衛星補充能源，可簡化為圖乙所示的模型，讓“軌道康復者”N對已偏離原來正常工作軌道的衛星M進行校正，則(　　)

A．“軌道康復者”N從圖乙所示軌道上加速，與衛星M對接補充能源后開動M上的小發動機向前噴氣，能校正衛星M到較低的軌道運行
B．讓M降低到N所在軌道上，補充能源后再開啟衛星M上的小發動機校正
C．在圖乙中M的動能一定小于N的動能
D．在圖乙中，M、N和地球球心三者不可能處在同一直線上
6．(2019•棗莊模擬)某行星的質量約為地球質量的12，半徑約為地球半徑的18，那么在此行星上的“第一宇宙速度”與地球上的第一宇宙速度之比為(　　)
A．2∶1    B.1∶2
C．1∶4    D.4∶1
7．(2019•濟寧二模)如圖所示，1、3軌道均是衛星繞地球做圓周運動的軌道示意圖，1軌道的半徑為R，2軌道是一顆衛星繞地球做橢圓運動的軌道示意圖，3軌道與2軌道相切于B點，O點為地球球心，AB為橢圓的長軸，三軌道和地心都在同一平面內．已知在1、2兩軌道上運動的衛星的周期相等，引力常量為G，地球質量為M，三顆衛星的質量相等，則下列說法正確的是(　　)
A．衛星在3軌道上的機械能小于在2軌道上的機械能
B．若衛星在1軌道上的速率為v1，衛星在2軌道A點的速率為vA，則v1＜vA
C．若衛星在1、3軌道上的加速度大小分別為a1、a3，衛星在2軌道A點的加速度大小為aA，則aA＜a1＜a3
D．若OA＝0.4R，則衛星在2軌道B點的速率vB＞ 5GM8R
8.如圖所示，宇航員站在某質量分布均勻的星球表面一斜坡上P點沿水平方向以初速度v0拋出一個小球，測得小球經時間t落到斜坡上另一點Q，斜坡的傾角為θ，已知該星球半徑為R，
引力常量為G，下列說法錯誤的是(　　)
A．星球表面的重力加速度為v0tan θt
B．該星球的質量為2v0R2tan θGt
C．在該星球上發射衛星的發射速度一定大于　2v0Rtan θt
D．在該星球上不可能發射周期小于π　2Rtv0tan θ的衛星
熱點5　萬有引力定律的應用
1．解析：選A.設行星質量為M，半徑為R，密度為ρ，衛星質量為m，如圖所示，發現日落的T2時間內有T6的時間看不見同步衛星，則θ＝360°6＝60°，故φ＝60°，r＝Rcos φ＝2R，根據GMm（2R）2＝m2πT2•2R，M＝ρ43πR3，解得ρ＝24πGT2.

2．解析：選D.中圓軌道衛星的軌道半徑比地球靜止同步軌道半徑小，做圓周運動的周期短，選項A錯誤；由于不知道中圓軌道衛星與靜止軌道衛星的質量，無法比較二者與地球之間的萬有引力大小，選項B錯誤；地球靜止軌道衛星始終位于地球表面某點的正上方，選項C錯誤；傾斜同步軌道衛星的周期與地球的自轉周期相同，都是24小時，所以傾斜同步軌道衛星每天在固定的時間經過同一地區的正上方，選項D正確．
3．解析：選AC.由題意可知ω3＝ω1，由GMmr2＝mω2r知，ω2>ω3，C正確，D錯誤；由于地球同步衛星比蛟龍號的軌道半徑大，根據a＝rω2，可知a3>a1，由GMmr2＝ma知，a2>a3，A正確，B錯誤．
4．解析：選C.定點于L2處的探測器與月球公轉同周期，因此A錯；由a＝ω2r知B錯；由v＝ωr知C對；在地月連線之間會有一處滿足F地－F月＝mω2r，D錯．
5．解析：選A.根據向心運動條件知，衛星M減速，即開啟的發動機向前噴氣，萬有引力大于圓周運動所需的向心力，故衛星M會降低軌道運行，A正確；衛星M在沒有補充能源情況下，不能降低到“軌道康復者”N所在軌道上，B錯誤；根據萬有引力定律和牛頓第二定律知GMmr2＝mv2r，得v＝ GMr，雖然M運行的軌道半徑大于N的軌道半徑，M的運行速率小于N的運行速率，但二者質量的大小關系不確定，所以不能判斷動能大小，C錯誤；在題圖乙中M繞地球的運行周期大于N繞地球的運行周期，所以經過一段時間衛星M、康復者N和地球球心三者是有可能處在同一直線上的，D錯誤．
6．解析：選A.設地球質量為M，地球半徑為R，由GMmR2＝mv2R，可知地球上的第一宇宙速度v地＝ GMR，同理可得，行星上的第一宇宙速度v行＝12GM18R＝2GMR，所以v行∶v地＝2∶1，則A正確，B、C、D錯誤．
7．解析：選B.2、3軌道在B點相切，衛星在3軌道相對于2軌道是做離心運動的，衛星在3軌道上的線速度大于在2軌道上B點的線速度，因衛星質量相同，所以衛星在3軌道上的機械能大于在2軌道上的機械能，A錯誤；以OA為半徑作一個圓軌道4與2軌道相切于A點，則v4＜vA，又因v1＜v4，所以v1＜vA，B正確；加速度是萬有引力產生的，只需要比較衛星到地心的高度即可，應是aA＞a1＞a3，C錯誤；由開普勒第三定律可知，2軌道的半長軸為R，OB＝1.6R，3軌道上的線速度v3＝5GM8R，又因vB＜v3，所以vB＜ 5GM8R，D錯誤．
8．解析：選A.根據tan θ＝12gt2v0 t解得，星球表面的重力加速度g＝2v0tan θt，A錯誤；在星球表面，有GMmR2＝mg，解得M＝gR2G＝2v0R2tan θGt，B正確；根據重力提供向心力，有mg＝mv2R，解得第一宇宙速度為v＝gR＝ 2v0Rtan θt，因此發射衛星的速度一定大于 2v0Rtan θt，C正確；根據GMmr2＝m2πT2r可得T2∝r3，當r＝R時，最小周期為π 2Rtv0tan θ，故在該星球上不可能發射周期小于π 2Rtv0tan θ的衛星，D正確．

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