放射性衰變相關例題

放射性衰變是指某些不穩定的原子核自發地轉變為其他原子核的過程，通常伴隨著能量的釋放。這種衰變過程可以分為α衰變、β衰變和γ衰變等類型。α衰變涉及到原子核釋放α粒子（即氦原子核），β衰變涉及到原子核釋放β粒子（即電子或正電子），而γ衰變則涉及到原子核從激發態躍遷到基態時釋放γ射線。

### 放射性衰變的數學模型

放射性衰變的速率可以用指數衰減模型來描述，這個模型的核心公式是：

\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \]

其中，\( N(t) \) 是時間 \( t \) 時刻的剩余數量，\( N_0 \) 是初始數量，\( \lambda \) 是衰變常數，\( e \) 是自然對數的底數。衰變常數 \( \lambda \) 與半衰期 \( T_{1/2} \) 之間的關系是：

\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]

半衰期是指一半的原始數量衰變所需的時間。

### 典型例題分析

#### 例題1：計算鈾-238的半衰期

已知鈾-238在一秒鐘內放出4.1024×10^24個α粒子，要求計算鈾-238的半衰期。

解：首先，我們需要找到衰變常數 \( \lambda \)。根據題目給出的數據，我們可以使用公式 \( \lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \) 來求解。但是，這里我們還需要知道衰變常數 \( \lambda \) 與單位時間內衰變的粒子數 \( n \) 之間的關系。這個關系是：

\[ n = \lambda \times N_0 \]

其中，\( N_0 \) 是初始數量。因此，我們可以將 \( \lambda \) 表達為：

\[ \lambda = \frac{n}{N_0} \]

現在我們可以代入已知的數值來求解 \( \lambda \)：

\[ \lambda = \frac{4.1024 \times 10^{24}}{238} \]

然后，我們可以使用 \( \lambda \) 來求解半衰期 \( T_{1/2} \)：

\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]

計算得到 \( T_{1/2} \) 的值，即可得出鈾-238的半衰期。

#### 例題2：計算氡的活度

已知1克鐳經過一段時間后衰變成氡，要求計算衰變后瓶內氡的活度。

解：這個問題需要考慮到衰變過程中的活度變化。活度是指單位體積內的放射性物質的數量，通常用貝克勒爾（Bq）作為單位。在衰變過程中，活度會隨著時間的推移而減小。如果我們知道初始活度和時間，我們可以使用上述的指數衰減模型來計算衰變后的活度。具體的計算方法是：

\[ N(t) = N_0 \times e^{-\lambda t} \]

其中，\( N(t) \) 是時間 \( t \) 時刻的剩余活度，\( N_0 \) 是初始活度，\( \lambda \) 是衰變常數，\( t \) 是時間。通過這個公式，我們可以計算出衰變后的活度。

以上例題僅供參考，實際解題時需要根據具體的題目條件和數據來進行計算。

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