比定容比熱容公式推導涉及到一些物理概念和公式，以下是其中一些推導過程：
1. 理想氣體狀態方程：PV=nRT
2. 摩爾熱容的定義式：ΔQ=nmΔT
3. 摩爾熱容與溫度的關系：Cv=Cv(T) = Cp(T) = R
4. 能量守恒定律：Q=ΔU
5. 理想氣體比熱容的定義式：Cp，m=dU/dT
將以上公式結合在一起，可以得到比定容比熱容的公式：
Cv = dU/dT = (nRΔT)/(V) = (mR/M)ΔT = R/V
其中，Cv是比定容比熱容，V是氣體的體積，M是摩爾質量，m是氣體質量，R是氣體常數。這個公式表明，比定容比熱容等于氣體常數除以體積，與物質的量、溫度和體積的變化有關。
另外，還可以通過其他途徑推導比定容比熱容公式，例如使用克拉珀龍方程等。
假設有一個封閉的容器，其容積為V，內部充滿某種物質，其質量為m。在溫度變化ΔT的過程中，物質的體積變化了ΔV，物質的溫度變化了ΔT。根據熱力學第一定律，物質需要吸收或放出的熱量Q等于內能的變化量ΔU，即：
Q = ΔU
對于封閉容器內的物質來說，其內能的變化量ΔU等于其分子動能的變化量，即：
ΔU = ∑(k) n(i) (E_{i,max} - E_{i,min})
其中n(i)是物質分子i的數量，E_{i,max}和E_{i,min}分別是物質分子i的動能最大值和最小值。由于溫度變化ΔT時，分子動能的變化量ΔE與熱容Cv有關，即：
ΔE = Cv \Delta T
因此有：
Q = n(i) Cv \Delta T
其中n(i)是物質分子i的數量。將這個公式代入到初始的公式中，得到：
Q = ΔV \frac{m}{V} Cv \Delta T
由于物質的體積變化量ΔV與物質的密度ρ有關，即ΔV = \rho \Delta V，因此有：
Q = \rho \Delta V Cv \Delta T
將這個公式代入到比定容比熱容公式Cv = \frac{Q}{\rho \Delta V}中，得到：
Cv = \frac{\Delta V Cv \Delta T}{\rho}
