【摘要】 隨著機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)在圖像識(shí)別、決策和邏輯推理等領(lǐng)域的高效應(yīng)用,機(jī)器學(xué)習(xí)算法越來越受到化學(xué)家的關(guān)注。 機(jī)器學(xué)習(xí)算法善于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在規(guī)律，而數(shù)學(xué)中的問題一般都是邏輯性、規(guī)律性的，因此機(jī)器學(xué)習(xí)算法非常適合用來解決數(shù)學(xué)中的問題。 在經(jīng)典數(shù)學(xué)領(lǐng)域，機(jī)器學(xué)習(xí)可以學(xué)習(xí)牛頓熱力學(xué)定律。 在量子化學(xué)領(lǐng)域，機(jī)器學(xué)習(xí)可以求解薛定諤多項(xiàng)式的能級(jí)波函數(shù)，找到相變的位置，表示量子多體系統(tǒng)的狀態(tài)，找到多體系統(tǒng)中的階熱阻， 等等。 機(jī)器學(xué)習(xí)算法分為監(jiān)督學(xué)習(xí)、非監(jiān)督學(xué)習(xí)和強(qiáng)化學(xué)習(xí)。 監(jiān)督學(xué)習(xí)是先用樣本訓(xùn)練機(jī)器，比如訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，然后用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)做預(yù)測(cè)。 在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，輸入樣本可能不在訓(xùn)練期間使用的樣??本中。 無監(jiān)督學(xué)習(xí)不需要訓(xùn)練樣本，而是直接針對(duì)一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化，最終可以根據(jù)類別區(qū)分?jǐn)?shù)據(jù)。 強(qiáng)化學(xué)習(xí)是通過反復(fù)嘗試訓(xùn)練一種反饋機(jī)制，從而得到最大的獎(jiǎng)勵(lì)。 這些算法適用于儀器控制。 即使機(jī)器學(xué)習(xí)算法的形成并不是為了解決數(shù)學(xué)問題而設(shè)計(jì)的，但合理地理解和使用機(jī)器學(xué)習(xí)算法可以幫助數(shù)學(xué)家從新的角度理解數(shù)學(xué)，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)。 同時(shí)，隨著量子估計(jì)的發(fā)展，人們開始嘗試在量子計(jì)算機(jī)上運(yùn)行機(jī)器學(xué)習(xí)算法，并獲得了較高的加速比。
因此，機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)將幫助化學(xué)家解決數(shù)學(xué)中的問題，數(shù)學(xué)可以更高效地推動(dòng)機(jī)器學(xué)習(xí)的發(fā)展。 在未來，機(jī)器學(xué)習(xí)和化學(xué)將相互驅(qū)動(dòng)，相得益彰。 本文介紹了我們?nèi)绾问褂脵C(jī)器學(xué)習(xí)來解決量子化學(xué)中的問題。 主要包括三個(gè)部分：第一部分重點(diǎn)介紹如何利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)生成玻色-愛因斯坦收斂（BEC）的能級(jí)波函數(shù)。 在BEC中量子物理的應(yīng)用范圍，所有粒子都具有相同的相位，BEC的能級(jí)波函數(shù)在空間上是一種概率分布。 能級(jí)波函數(shù)是通過求解Gross-（GP方程）得到的，我們可以借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建GP多項(xiàng)式到能級(jí)波函數(shù)的映射。 我們測(cè)試了兩種情況：1，勢(shì)場(chǎng)相同，敵意系數(shù)不同； 2、敵意系數(shù)相同，勢(shì)場(chǎng)不同。 借助深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行監(jiān)督學(xué)習(xí)，經(jīng)過訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以高精度地生成玻色-愛因斯坦聚集體的能級(jí)波函數(shù)。 當(dāng)輸入高斯隨機(jī)勢(shì)場(chǎng)的相干厚度小至σD=0.39時(shí)，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍能生成高精度的能級(jí)波函數(shù)。 同時(shí)，我們輸入不同類型的勢(shì)場(chǎng)，仍然得到高精度的波函數(shù)輸出，這表明用高斯隨機(jī)勢(shì)場(chǎng)訓(xùn)練的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)學(xué)會(huì)了求解GP多項(xiàng)式的技巧。 第二部分著重介紹如何設(shè)計(jì)合理的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為變分波函數(shù)來有效求解二維量子載流子多體系統(tǒng)。
目前對(duì)量子多體系統(tǒng)的求解依賴于張量網(wǎng)絡(luò)，張量網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)復(fù)雜度較高。 用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替張量網(wǎng)絡(luò)實(shí)際上是可以的。 因此，我們需要測(cè)試神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述非平凡多體能級(jí)的能力，例如具有較強(qiáng)抵抗力的J1-J2模型。 我們借助目前主流的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)元素：頻域?qū)?、最大池化層和反頻域?qū)?，?gòu)建了一個(gè)可以作為二維量子載體系統(tǒng)變分波函數(shù)的頻域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 為了盡可能避免局部最小值量子物理的應(yīng)用范圍，我們使用副本交換的動(dòng)力學(xué)技巧優(yōu)化。 優(yōu)化時(shí)，我們先設(shè)定一系列不同的水溫，然后用隨機(jī)值初始化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的各個(gè)參數(shù)，最后得到不需要體溫的解。 零溫度下的解就是我們認(rèn)為的能級(jí)解。 估計(jì)表明，我們?cè)O(shè)計(jì)的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在能級(jí)能量精度方面可以優(yōu)于現(xiàn)有的-Bond-State。 因此，可以使用頻域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來加速量子多體系統(tǒng)的求解。 第三部分重點(diǎn)描述雞尾酒會(huì)問題 (CPP) 的量子版本。 CPP是一個(gè)古老但非常重要的問題，它是借助多個(gè)檢測(cè)器的檢測(cè)信號(hào)來提取混合信號(hào)源。 對(duì)于經(jīng)典的CPP，可以使用獨(dú)立成分分析算法（ICA）來求解。 我們考慮 CPP 的量子版本，即信號(hào)源發(fā)射純態(tài)，每個(gè)純態(tài)彼此非正交。 這種純態(tài)的希爾伯特空間比探測(cè)器能夠響應(yīng)的希爾伯特空間要小，所以探測(cè)器探測(cè)到的是混合態(tài)。 我們?cè)诮?jīng)典的ICA算法的基礎(chǔ)上，重新設(shè)計(jì)了損失函數(shù)，通過只檢測(cè)混合態(tài)的密度矩陣來恢復(fù)純態(tài)密度矩陣。 經(jīng)過數(shù)值估算和驗(yàn)證，牛頓法還原得到的純態(tài)保真度在0.99以上。 同時(shí)，我們將損失函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)自旋1/2的多體載流子耦合，這個(gè)的能級(jí)就是損失函數(shù)達(dá)到最小值的解。 通過模擬固溶體，純態(tài)的還原保真度仍在0.99以上。