【摘要】 隨著機器學習技術(shù)在圖像識別、決策和邏輯推理等領(lǐng)域的高效應用,機器學習算法越來越受到化學家的關(guān)注。 機器學習算法善于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)之間的內(nèi)在規(guī)律，而數(shù)學中的問題一般都是邏輯性、規(guī)律性的，因此機器學習算法非常適合用來解決數(shù)學中的問題。 在經(jīng)典數(shù)學領(lǐng)域，機器學習可以學習牛頓熱力學定律。 在量子化學領(lǐng)域，機器學習可以求解薛定諤多項式的能級波函數(shù)，找到相變的位置，表示量子多體系統(tǒng)的狀態(tài)，找到多體系統(tǒng)中的階熱阻， 等等。 機器學習算法分為監(jiān)督學習、非監(jiān)督學習和強化學習。 監(jiān)督學習是先用樣本訓練機器，比如訓練一個神經(jīng)網(wǎng)絡，然后用訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡做預測。 在進行預測時，輸入樣本可能不在訓練期間使用的樣??本中。 無監(jiān)督學習不需要訓練樣本，而是直接針對一個優(yōu)化目標對輸入數(shù)據(jù)進行優(yōu)化，最終可以根據(jù)類別區(qū)分數(shù)據(jù)。 強化學習是通過反復嘗試訓練一種反饋機制，從而得到最大的獎勵。 這些算法適用于儀器控制。 即使機器學習算法的形成并不是為了解決數(shù)學問題而設計的，但合理地理解和使用機器學習算法可以幫助數(shù)學家從新的角度理解數(shù)學，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學。 同時，隨著量子估計的發(fā)展，人們開始嘗試在量子計算機上運行機器學習算法，并獲得了較高的加速比。
因此，機器學習技術(shù)將幫助化學家解決數(shù)學中的問題，數(shù)學可以更高效地推動機器學習的發(fā)展。 在未來，機器學習和化學將相互驅(qū)動，相得益彰。 本文介紹了我們?nèi)绾问褂脵C器學習來解決量子化學中的問題。 主要包括三個部分：第一部分重點介紹如何利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡生成玻色-愛因斯坦收斂（BEC）的能級波函數(shù)。 在BEC中量子物理的應用范圍，所有粒子都具有相同的相位，BEC的能級波函數(shù)在空間上是一種概率分布。 能級波函數(shù)是通過求解Gross-（GP方程）得到的，我們可以借助神經(jīng)網(wǎng)絡構(gòu)建GP多項式到能級波函數(shù)的映射。 我們測試了兩種情況：1，勢場相同，敵意系數(shù)不同； 2、敵意系數(shù)相同，勢場不同。 借助深度神經(jīng)網(wǎng)絡進行監(jiān)督學習，經(jīng)過訓練的神經(jīng)網(wǎng)絡可以高精度地生成玻色-愛因斯坦聚集體的能級波函數(shù)。 當輸入高斯隨機勢場的相干厚度小至σD=0.39時，深度神經(jīng)網(wǎng)絡仍能生成高精度的能級波函數(shù)。 同時，我們輸入不同類型的勢場，仍然得到高精度的波函數(shù)輸出，這表明用高斯隨機勢場訓練的神經(jīng)網(wǎng)絡已經(jīng)學會了求解GP多項式的技巧。 第二部分著重介紹如何設計合理的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡作為變分波函數(shù)來有效求解二維量子載流子多體系統(tǒng)。
目前對量子多體系統(tǒng)的求解依賴于張量網(wǎng)絡，張量網(wǎng)絡的估計復雜度較高。 用神經(jīng)網(wǎng)絡代替張量網(wǎng)絡實際上是可以的。 因此，我們需要測試神經(jīng)網(wǎng)絡描述非平凡多體能級的能力，例如具有較強抵抗力的J1-J2模型。 我們借助目前主流的神經(jīng)網(wǎng)絡元素：頻域?qū)印⒆畲蟪鼗瘜雍头搭l域?qū)樱瑯?gòu)建了一個可以作為二維量子載體系統(tǒng)變分波函數(shù)的頻域神經(jīng)網(wǎng)絡。 為了盡可能避免局部最小值量子物理的應用范圍，我們使用副本交換的動力學技巧優(yōu)化。 優(yōu)化時，我們先設定一系列不同的水溫，然后用隨機值初始化神經(jīng)網(wǎng)絡中的各個參數(shù)，最后得到不需要體溫的解。 零溫度下的解就是我們認為的能級解。 估計表明，我們設計的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡在能級能量精度方面可以優(yōu)于現(xiàn)有的-Bond-State。 因此，可以使用頻域神經(jīng)網(wǎng)絡來加速量子多體系統(tǒng)的求解。 第三部分重點描述雞尾酒會問題 (CPP) 的量子版本。 CPP是一個古老但非常重要的問題，它是借助多個檢測器的檢測信號來提取混合信號源。 對于經(jīng)典的CPP，可以使用獨立成分分析算法（ICA）來求解。 我們考慮 CPP 的量子版本，即信號源發(fā)射純態(tài)，每個純態(tài)彼此非正交。 這種純態(tài)的希爾伯特空間比探測器能夠響應的希爾伯特空間要小，所以探測器探測到的是混合態(tài)。 我們在經(jīng)典的ICA算法的基礎(chǔ)上，重新設計了損失函數(shù)，通過只檢測混合態(tài)的密度矩陣來恢復純態(tài)密度矩陣。 經(jīng)過數(shù)值估算和驗證，牛頓法還原得到的純態(tài)保真度在0.99以上。 同時，我們將損失函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個自旋1/2的多體載流子耦合，這個的能級就是損失函數(shù)達到最小值的解。 通過模擬固溶體，純態(tài)的還原保真度仍在0.99以上。