數學學是一門探求自然界規律的科學，它涉及到從微觀到宏觀的各類現象。在數學學的發展歷史中，有一些實驗結果造成了人們的極大關注，它們除了挑戰了我們對化學世界的認知，也迸發了我們對化學學本質的探求。其中一個典型的反例就是貝爾不方程。
貝爾不方程是由美國化學學家約翰·斯圖爾特·貝爾（JohnBell）在1964年提出的一種物理公式，它拿來檢驗量子熱學中一個十分獨特的現象——量子糾纏。量子糾纏是指兩個或多個粒子之間存在著一種趕超時空距離的聯系，雖然它們相隔很遠，它們的狀態也會同時改變。這些現象與我們日常經驗中的數學規律脫節，也與精典數學學中的因果關系相違逆。
貝爾不方程企圖解釋量子糾纏是否存在“隱藏變量”，即一些未被觀測到的精典屬性，來說明量子糾纏的行為。假如存在隱藏變量，這么量子糾纏就可以用精典數學學來描述；若果不存在隱藏變量，這么量子糾纏就是一種真正的非精典現象，須要藥量子力學來解釋。
本文將帶您一起揭露貝爾不方程的神秘面紗，探求其背后的原理和意義。
量子糾纏和貝爾不方程的基本概念
要了解貝爾不方程，我們首先須要了解量子糾纏是哪些。量子糾纏是指兩個或多個粒子之間存在著一種特殊的關聯，促使它們共享一個量子態。這意味著當我們檢測其中一個粒午時，我們就可以曉得另一個粒子的狀態，雖然它們之間沒有任何化學聯系。諸如，假如兩個粒子是糾纏的，但是它們都有一個屬性稱作載流子（spin），這么當我們檢測其中一個粒子的載流子時，我們就可以確定另一個粒子的載流子是相反的。這些關聯是瞬時發生的，并不受時間和空間的限制。
量子糾纏是由知名化學學家愛因斯坦、波多爾斯基和羅森在1935年提出來指責量子力學完備性的一個思想實驗。她們覺得，假若量子熱學是完備的，這么它應當就能描述所有的化學現象，包括量子糾纏。可是，量子熱學卻難以解釋量子糾纏的機制，也未能預檢測子糾纏的結果。她們覺得，這是由于量子熱學忽視了一些隱藏變量，即一些未被觀測到的經典屬性，來決定量子糾纏的行為。假如我們能否曉得那些隱藏變量，這么我們就可以用精典數學學來描述量子糾纏，而不須要藥量子力學。
貝爾不方程就是拿來檢驗這個假定的一種物理工具。貝爾不方程是由貝爾在1964年提出的一種不方程關系，它拿來限制隱藏變量理論對于量子糾纏的預測。貝爾不方程的基本思想是，假如存在隱藏變量，這么量子糾纏的結果應當滿足一定的統計規律，即貝爾不方程；若果不存在隱藏變量，這么量子糾纏的結果應當遵守貝爾不方程。為此，通過實驗檢測量子糾纏的結果，并與貝爾不方程進行比較，我們就可以判定是否存在隱藏變量。
貝爾不方程的具體方式有好多種，其中一種常見的方式是CHSH不方程，它由克勞澤、霍恩、希米尼和霍爾特在1969年提出的。CHSH不方程涉及到兩個糾纏粒子A和B，以及兩個檢測裝置X和Y。X和Y可以分別對A和B進行兩種不同的檢測，記為X1、X2和Y1、Y2。每次檢測就會得到一個結果，記為+1或-1。CHSH不方程表明，假若存在隱藏變量，這么表達式的絕對值應當大于或等于2：
其中E表示期望值，即平均值。若果不存在隱藏變量，這么這個表達式的絕對值可以小于2，最大可以達到2根號2。
貝爾不方程的實驗驗證
為了驗證貝爾不方程是否創立，科學家們設計了一系列精密的實驗。這種實驗一般使用糾纏的光子或電子作為粒子對，并使用特殊的偏振光器或磁場作為檢測裝置。實驗中須要保證兩個粒子之間沒有任何化學聯系，而且檢測過程是隨機和獨立的。
最早的貝爾不方程實驗是由弗里德曼和克勞澤在1972年進行的。她們使用了兩個糾纏光子，并用偏振光器來檢測它們的偏振光方向。她們發覺了貝爾不方程被違反的證據，然而因為實驗偏差和效率問題，并沒有得到決定性的推論。
后來，隨著技術的進步和實驗條件的改善，更多更精確的貝爾不方程實驗被進行。其中一個知名的實驗是由阿斯佩克特、達利巴爾和羅杰在1982年進行的。她們使用了兩個糾纏光子，并用快速開關來隨機改變偏振光器的方向。她們發覺了貝爾不方程被違反的顯著證據，這被覺得是對量子糾纏的最強有力的實驗驗證。
貝爾不方程的實驗驗證仍然持續到現今，不斷地去除各類可能的漏洞和偏差。比如，有些人可能覺得，兩個粒子之間存在著一種未知的訊號大學物理量子力學公式，來傳遞信息并影響檢測結果。這些訊號必須是超光速的，能夠在頓時跨越很遠的距離。并且，按照相對論，超光速的訊號是不可能存在的。為了排除這些可能性，科學家們使用了更遠的距離和更快的開關來進行實驗，確保兩個粒子之間沒有足夠的時間來交換任何訊號。結果依然顯示了貝爾不方程被遵守的情況。
貝爾不方程的意義和啟示
貝爾不方程的違反對化學學和其他領域形成了深遠的影響。它表明，量子熱學中的非局域性和不確定性是真實存在的，而不只是因為我們的檢測限制。這一發覺推進了對量子熱學本質的深入研究，拓展了我們對自然界的理解。
貝爾不方程的研究還為量子信息科學和量子估算提供了新的可能性。量子信息科學是一門借助量子力學原理來處理和傳輸信息的科學，它涉及到量子通訊、量子密碼學和量子估算等領域。量子糾纏是量子信息科學中的一個重要資源，它可以實現一些精典信息科學難以實現或無法實現的功能。比如，通過借助量子糾纏，我們可以實現超密編碼，即用一個糾纏光子來傳輸兩比特（bit）的信息；或則實現量子隱型傳態，即用兩個糾纏光子來傳輸一個未知光子的狀態；或則實現量子秘鑰分發，即用糾纏光子來世成和傳輸安全的秘鑰。這種功能都可以提升我們的通訊效率和安全性。
量子估算是一種借助量子力學原理來進行估算的技術，它使用了一種稱作量子比特（qubit）的基本單元，來取代精典估算中的比特。量子比特可以同時處于0和1兩種狀態大學物理量子力學公式，并且可以與其他量子比特產生糾纏。這促使量子估算具有更高的并行性和靈活性，可以解決一些精典估算未能解決或無法解決的問題。比如，通過借助量子糾纏，我們可以實現Shor算法，即用量子估算來分解大整數；或則實現算法，即用量子估算來搜索無序數據庫；或則實現BQP復雜度類，即用量子估算來解決一些機率方程時間內可解決但NP復雜度類內無法解決的問題。
這種功能都可以提升我們的估算能力和速率。貝爾不方程的發覺也對我們對自由意志的理解形成了影響。一些學者覺得，貝爾不方程的違反表明了化學世界的決定論性，即我們的行為可能遭到量子糾纏的影響，而不完全由自由意志決定。她們覺得，假如兩個人之間存在著一種量子糾纏的聯系，這么她們的選擇可能是由這些聯系決定的，而不是由她們自己的意愿決定的。這些觀點引起了一些哲學和倫理上的爭辯，關于我們是否真正擁有自由意志，以及我們是否應當為我們的行為負責。