前言：
本文節選自人民郵電出版社《大話量子通信》（作者：張文卓）
量子糾纏是許多粒子的量子疊加態。 以兩個粒子為例，一個粒子A可以處于某個數學量的疊加態，可以用一個量子比特來表示，另一個粒子B也可以處于疊加態。 當兩個粒子發生糾纏時，會產生兩個粒子的疊加態，即糾纏態。 例如，有一種糾纏態，無論兩個粒子相距多遠，只要沒有外界干擾，當粒子A處于狀態0時，粒子B必定處于狀態1； 相反，當粒子 A 處于狀態 1 時，粒子 B 必須處于狀態 0 。
用薛定諤的貓做類比，如果兩只貓A和B在內部產生糾纏態：
無論兩只貓相距多遠，即使在宇宙的兩端，當貓A“死”時，貓B一定是“活”的； 當貓A“活著”時，貓B必須“活著”。 死亡”（事實上，真實情況是貓等宏觀物體無法維持這么長時間的量子糾纏，會在幾十億億億億秒內因“退相干”而成為經典態。而基本粒子可以，例如光子。）
2016 年 11 月 30 日，來自世界各地的互聯網用戶加入了一項有趣的實驗：捐贈自由意志的隨機數來檢驗貝爾不等式。 一年半后，這項實驗的結果將發表在《時事通訊》上。 實驗結果再次違背了貝爾不等式，再次驗證了量子熱學的正確性，即在更臨界的條件下驗證了量子糾纏的存在。
那么貝爾不等式有哪些？ 為什么它可以驗證量子糾纏？ 我們的故事始于愛因斯坦。
1.EPR悖論
愛因斯坦是 20 世紀最偉大的數學家。 他獨自提出相對論，也是早期量子論的開創者之一。 量子熱和相對論是現代數學的兩大支柱理論，愛因斯坦的偉大不用多說。 而偉大的愛因斯坦也會犯錯誤，其中最著名的就是他不接受量子熱，而“上帝不擲骰子”這句名言就出自愛因斯坦。
早期的量子理論在普朗克、愛因斯坦、玻爾等化學家構建的時候，還不是一個體系，所以化學家并沒有注意這些不能接受的地方。 直到1925年至1927年，海森堡、薛定諤、狄拉克等化學家構建了完整的量子熱理論，這些違背人類直覺的推論才逐漸浮出水面。
1935年，愛因斯坦和他的兩個研究生波多爾斯基（B.）和羅森（N. Rosen）合寫了一篇論文，用思想實驗的方法批判了量子熱的合理性。 這就是著名的EPR悖論（兩個姓氏首字母的縮寫）。
愛因斯坦首先從相對論的角度提出局域實在論觀點量子物理糾纏諾貝爾獎，即：
1. 物質獨立于觀察者而客觀存在（實在論）。
2. 兩個粒子之間的任何聯系都不能超過光速（局域理論）。
愛因斯坦等人考慮一對總動量為零的粒子（稱為 EPR 對），由兩個粒子 A 和 B 組成，這兩個粒子在空間中相距很遠。 如果是復合局部理論，那么兩者之間就不會有任何影響。 如果某時刻測得的粒子A的位置為x，則說明測得的粒子B的位置為-x； 如果粒子 B 的測量動量為 p，則意味著粒子 A 的測量動量為 -p。 也就是說，只有知道粒子A的確切位置后，才能知道粒子A的確切動量，粒子B也一樣。所以這就違反了量子熱的測不準原理，即與“一個粒子的位置和動量不能同時確定”。
但是量子熱呢？ 在量子熱中，這兩個粒子是一對量子糾纏粒子。 檢測粒子A的位置時，其動量是不確定的，B的動量也是不確定的，它們是相互關聯的。 之后，當測得B的動量為p時，A的動量急劇變為-p，但這并不意味著之前測到A的位置時A的動量為-p，只是這次檢測提示A B 的動量波函數概率性地“坍縮”在 p 和 -p 之上。 如果 A 粒子仍然存在，檢測還會使 A 和 B 的位置不確定。 這些跨越時空的關聯超過了光速，即使違反了愛因斯坦的“局域理論”，所以愛因斯坦稱之為“幽靈般的超距相互作用（ata）”量子物理糾纏諾貝爾獎，也就是量子糾纏。
愛因斯坦覺得在量子熱背后一定隱藏著一條決定粒子行為的數學定律。 這個定律應該符合局域實在論，但是量子熱不符合局域實在論，所以是不完備的。 于是他和玻爾之間曠日持久的爭論開始了。
2. 貝爾不等式
在愛因斯坦和玻爾的爭論中，化學家自然分為兩派。 一派站在愛因斯坦一邊，認為量子熱背后隱藏著一個符合局域實在論的理論，像經典化學一樣被嚴格確定。 量子隨機性只是一種不完整的現象。 這個理論被稱為“隱藏變量理論”； 另一派站在玻爾一邊，認為量子熱是正確的，背后沒有所謂的“隱變量理論”。 上帝的描述是骰子。
能否設計一個實驗來判斷是否存在這種局部隱變量理論？ 貝爾在沒有等式的情況下首次亮相。 這個方程是化學家約翰貝爾在1964年提出的。貝爾假設如果存在局部隱變量理論，那么根據該理論，如果檢測到兩個相距很遠的粒子A和B，它們的間隔乘以檢測時間小于光速，則 A 和 B 觸點之間不會發生任何事情，它們的行為是預先確定的，應該符合規范的概率約束。 貝爾然后導出以下不等式：
|h(a,b)-h(a,c)|-h(b,c)≤1
其中，a、b、c表示兩個檢測器檢測A和B所使用的三種模式，h(a,b)=(Naa+Nbb-Nab-Nba)/(Naa+Nbb+Nab+Nba)表示根據局部隱變量理論的檢測計數關聯結果（Nab表示檢測器檢測A為模式a，檢測器檢測B為模式b時檢測到的粒子數，這樣）。 如果存在局部隱變量，則必須滿足上述不等式，否則，如果實驗違反上述不等式，則可以排除局部隱變量理論。
三年后，四位化學家John、Horne、Abner和進一步推廣貝爾方程，提出了更有利于實驗驗證的CHSH方程：
今天說的驗證貝爾不等式的實驗，主要是驗證CHSH不等式。 由于實驗技術的限制，直到1982年，第一個驗證貝爾不等式（即CHSH不等式）的實驗才誕生。 得益于激光技術和單光子探測技術的發展（激光和單光子探測器歸功于對量子熱的預測和發現），美國化學家阿蘭（Alain）領導的團隊使用量子光學解決方案，結果違反貝爾不等式在實驗上被清楚地觀察到（即通過檢測一系列糾纏光子得到的實驗統計結果 > 2），此后世界上許多以 (A.) 組為代表的團隊做了一系列實驗，都明顯違反了貝爾不等式。 所以可以說，實驗基本宣告了隱變量理論的死亡，量子熱是對的，定域性必須放棄，即愛因斯坦派輸了，玻爾派贏了。
貝爾不等式檢驗的實驗已經走出實驗室，在更遠的地方開展。 2016年8月，我國成功發射的“墨子號”量子科學實驗衛星，在國際上首次在星地1000公里的距離上借助“量子糾纏分布”對貝爾不等式進行了檢驗，得到的結果是違反了貝爾不等式，驗證了量子糾纏在 1,200 公里的距離內持續存在。