每0.4秒投擲一個球，接住球后立即投擲。 已知除了投球和接球時外，空中共有四個球，以及球上升的最大高度。 分析：當手中沒有球時，空中的球數就是表演時所用的球數。 因此，本次表演共有4個球。 由于不計算球在手中停留的時間，因此可以得出，當第一個球正好回到手中時，每個球在空中的分布。 如圖所示高中物理競賽培訓，第三個球處于最高點，2號球和4號球處于同一高度。 由于上半場平均速度小，后半場平均速度大，2、4號球位于半高以上。 每個球在空中上升的時間是經過t=nt的時間后落回手中，經過t=T/2=nt/2的時間后上升到最高點，所以最大高度。 例：拍攝電影時，為了拍攝下落物體的特寫，制作了一條線長為1的線。 /49實際模型。 播放電影時，影片速度為每秒24幀。 為了使動畫逼真，拍攝時的膠片速度應該是多少？ 模型的速度應該是真實物體速度的多少倍？ 假設t時刻下落物體的高度為h，模型在t0時刻下落到對應的高度h0，則從自由落體公式應使用的輔助條件可以看出，模型運動時間應為放映電影時被“放大”7倍。 ，讓人們在觀看電影時能夠享受到逼真的畫面。 因此，拍攝電影時，拍攝速度應為投影時膠片速度的7倍。
又假設物理物體在一定時間t內以速度υ經過位移s，則模型對應的量為時間t0、速度υ0、位移s0。 既然存在最快路徑： 例1 2.什么是最快路徑問題？ 問題？ 著名的“伽利略最快路徑問題”： 伽利略的答案：圓弧曲線（錯誤） 伯努利兄弟的答案：部分滾子曲線（正確） 最快路徑問題就是從兩條路徑中找出一條運動時間最短的路徑。 一題運動時間短的題 1、如圖所示，地面上有一個固定的球面，在球面斜上方的P處有一個小球。 現在我們需要確定一條從P到球面的平滑傾斜直線軌道，使得小球從靜止到球面沿著軌道滑動的時間最短。 分析：先憑直覺猜一下結果？ 最快路徑：示例 1 讓我們首先討論預備知識。 如圖所示，靠近地面有一個空心球。 有許多光滑的直線軌跡經過頂點P到達球的內表面。 嘗試證明球從靜止沿任何軌跡到達球的內表面所需的時間相同。 證明：取任意軌跡PQ，PQ與水平面的夾角為φ。 PQ的長度就是下降的加速度，因此任何軌跡對應的時間都是相同的。 第10頁/共50頁 以P為頂點構造一個球體，并使其在Q處與給定球體相切，則線段PQ即為所需軌道。 (1)畫確定線段PQ：關鍵是確定球心O'，過點P畫垂線AB，使AP等于R，連接A和O，畫垂線AB AO與直線AP相交，交點O'即為所需球的中心。 連接O'和O得到的交點為Q。 (2)證明線段PQ是你想要的：最快路徑：例1 題后總結 最終的畫法是困難的。 這個問題也可以用解析的方法來解答。 第11頁/共50頁 接下來要考慮什么？ 第12頁/共50頁 第13頁/共50頁 相關變換：在垂直平面建立直角坐標系xoy，x軸為水平，通過拋物線x2=2py的焦弦為剛體光滑軌道，a小塊來自軌道上端A處沒有初速度釋放。 滑到軌道底端 B 所需的最短時間是多少？ 此時AB與水平面的夾角滿足什么條件？ 焦點 F (0, p/2) AB 的線性方程 第 14/50 頁，共 50 頁 過河時流速的線性變化問題 示例：河流的寬度為 L，流速與距岸邊的距離成正比，岸邊流速為零，河流中心流速為v0。 一艘小船以垂直于流速方向的恒定相對速度 vr 從一側航行到另一側。 嘗試找出船的運動軌跡。
如何確定K？ 拋物線？ 消除t，得到什么？ 第15頁/共50頁 帶粒子的動態多邊形的收斂問題 第16頁/共50頁 例：三個芭蕾舞演員A、B、C同時從邊長為l的等邊三角形的頂點出發，同時相對于地面的速度 v 正在移動。 運動過程中，A總是向B移動，B向C移動，C向A移動，三人需要多長時間才能走到一起？ 每位演員走了多遠的距離？ 三個演員的運動是勻速直線運動還是勻速曲線運動？ 動作中三個演員的位置是什么關系？ 三個演員執行相同的均勻彎曲運動。 三個演員在任何時刻的位置都形成一個等邊三角形。 但三角形的邊越來越短。 最后三位演員在哪里見面？ 三位演員最終在三角ABC的中心相遇。 此時三角形的邊長縮短為零。 研究三角形邊長的變化，并嘗試找出三角形邊長從l縮短到零所需的時間！ ！ 第17頁/共50頁 將從開始到相遇的時間t分成n個小時間Δt： 假設在每次Δt之后，三角形的邊長縮短： 如圖所示，有一個原因基于小量近似 這是第18頁/共50頁 假設經過一定的小時間Δt后，三角形的邊長在Δt時間內從 三角形邊長縮短x′)開始變化！ 然后找出縮短率！ 這個公式中三角形的邊長縮短到零所需的時間是：第19頁/共50頁問題1：這類問題還可以進一步推廣，假設一個人同時改變邊長從正方形的頂點開始，以相同的速度移動。 運動過程中，1總是向2運動，2向3運動，...(n-1)向n運動，n向1運動，他們需要多長時間才能相遇？ 問題2：如果演員的速度保持不變，加速度如何變化？ 第20頁/共50頁 光反射定律的類比，是用某些粒子的運動來模擬光反射的現象。 如果應用光反射定律，復雜的問題就可以簡單地解決。
第21頁/共50題例題，如圖所示，光滑水平面上的兩根剛性細棒OM和ON相交于O點，夾角為15，小球在P點，即l=20cm遠離 O 在 OM 的內側。 與MO成30度角的初速度向ON桿運動，初速度v0=10cm/s。 球能回到P嗎？ 如果是的話，需要多長時間才能回到P？ 鏡面反射后的光的傳播相當于光沿原始入射方向的傳播。 因此，光在兩個平面鏡之間的連續反射可以等效為光沿PP'直線傳播。 小球的運動可以比喻為光在平面鏡M和N之間的反射。因此，光可以沿著原來的路徑返回到P點。 因此，球從P點出發，又回到P點。 總距離為PP″=2PP′。 花費的時間是Page 22 of 50。 題后總結 這個解法的本質是移動折線等，效果是直線運動，把問題簡化了。 對于這個問題還有另一種常規的解決方案： 1. 觀察球在多次彈跳后是否會與桿發生碰撞。 2. 確定碰撞發生的位置。 3. 計算所有折線段。 總長度 4.計算時間 但是這個解法需要解一個三角形！！ 嘗試一下，看看用這個方法能不能解決。 第23頁/共50頁 延伸：如圖所示，MN是一面垂直的墻，平面鏡OB繞著垂直于紙面的O的水平軸以恒定的角速度ω旋轉。 墻上的 A 點發出水平光線，投射到 OB 上并反射到墻上的 D 點。
假設AOC=θ，AO=d，求D的速度。 第24頁/共50頁 彈丸運動的邊界和最大值問題 例：迫擊炮和目標位于同一水平面上，中間有一個高度為h的小山他們。 迫擊炮到山頂的水平距離為a，目標到山頂的距離為b。 嘗試找出彈丸摧毀目標所需的最小初速度和發射角度（不考慮空氣阻力）。 如何找到切入點？ 思考的障礙在哪里？ 一座山丘？ 消除 t 必須滿足什么條件才能達到目標？ 這是什么意思？ 第25頁/共50頁 當α為0到π/2范圍內的不同值時，獲得所有軌道。 下一個轉折點在哪里？ 當α為π/4時，標記的軌道在什么條件下穿過山頂？ 為此，求垂直向上投擲時軌道上該點的高度h1； 另一塊石頭以速度 V2 水平投擲。 求這兩塊石頭在運動過程中之間的最短距離？ （兩塊石頭的初速度在同一垂直平面內） V1 V2 -V1 第27頁/共50條 將曲線運動所劃分的無窮小曲線段處理成小圓弧，將質點放在小圓弧上。 該運動被視為圓弧運動。 可以用處理圓周運動的方法來研究一般的曲線運動。 （三）曲率圓和曲率半徑 1、曲率圓：平面光滑曲線的無窮小圓弧段所屬的圓，稱為該曲線該點的曲率圓。
2、曲率半徑：上述曲率圓的半徑是曲線該點的曲率半徑。 曲線上某一點的曲率半徑ρ可以反映出ρ大的地方曲率小，ρ小的地方曲率大。 對于給定的曲線，其上各處的 ρ 也已確定。 曲率度：第28頁/共50頁 如果知道了粒子軌道曲線上各處的ρ，并且知道了軌道上各處粒子的v，那么就可以計算出各處粒子的中心a。 (4)從曲率圓的角度看，平面光滑曲線運動的速度和加速度——表示速度變化的速度——表示速度方向變化的速度。 第29 頁，共50 頁 求曲率半徑的物理方法 (1) 設質點 對于給定的曲線，確定質點的運動軌跡。 運動軌跡上各處質點的v和a中心由向心加速度公式計算得出。 在選擇粒子的運動時，盡量考慮如何方便地獲取曲線的v和a中心。 示例問題，嘗試找出橢圓頂點處的曲率半徑。 橢圓的參數方程為，故質點沿橢圓軌道的運動可選為： x 方向和y 方向的部分運動為簡諧振動運動。 這種在橢圓頂點的運動 v 和 a 中心很容易找到。 其簡諧振動方程就是上述橢圓的參數方程。 第30頁/共50頁 在圖中的頂點A處： 所以同樣可以這么說。 因此，出題后，說明該題的求解屬于物理運動學的方法。 還有一些方法可以找到曲率半徑和物理動力學！ 這個稍后再研究。 第31頁/共50題 例題：求滾子線最高點的曲率半徑和ρ1最低點的曲率半徑ρ2。
為了計算方便，假設車輪純勻速滾動，輪心O相對地面的速度為v0。 車輪邊緣上任一點P相對于車輪中心O的速度是多少？ P在最高點相對于地面的速度為靜止參考系中指向曲率圓中心的加速度； 一般來說，在數學上總是可以認為拐點處的曲率半徑為零。 在滾子線的最高點和最低點處，第 33 頁 50 曲率 半徑問題示例：光滑的拋物線軌道，笛卡爾坐標系中的方程為 y2=2x，其中 x 和 y 的單位為米。 有一個粒子從起始位置 (2, 2) 向下滑動，沒有初速度。 詢問粒子離開拋物線軌道的位置。 mg分析：假設粒子在M(x,y)處飛離拋物線。 如圖所示，在光滑的水平面上有一個質量為M高中物理競賽培訓，半徑為R的均勻分布的環。 質量為 質點m可以在環內壁上無摩擦地滑動（Mm）。 開始時，環靜止，環中心在O點，粒子位于(0,R)，速度沿x方向，大小為υo (1) 試推導粒子的運動方程； (2)求質點運動軌跡的拐點曲率半徑。 質心速度m和繞質心M的角速度 第36頁/共50頁 第37頁/共50頁 求相關物體速度的有效方法---基本點法物體在平面上運動，其上任意兩點的速度在連接這兩點的直線上的投影相等。 因此，我們也有桿或繩約束對象系統各點速度的相關特征：同時，沿桿和繩的方向必須有相同的分量速度； 接觸物體系統的接觸速度的相關特征為：沿接觸面法線方向的分速度相同，無相對滑動時沿接觸面切線方向的分速度相同。
