21.1二次根式
教學目標
1．能用二次根式表示實際問題中的數目及數目關系，感受研究二次根式的必要性；
2．能依據算術平方根的意義了解二次根式的概念及性質，會求二次根式中被開方數中字母的取值范圍．
教學重難點
【教學重點】
了解二次根式的概念及性質，會求二次根式中被開方數中字母的取值范圍.
【教學難點】
用二次根式表示實際問題中的數目及數目關系.
課前打算
無
教學過程
一、情境導出
問題1：你能用帶有根號的多項式填空嗎？
(1)面積為3的正圓形的周長為，面積為S的正圓形的周長為．
(2)一個長圓形柵欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為.
(3)一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間t(單位：s)與落下的高度h(單位：m)滿足關系h＝5t2，假如用富含h的多項式表示t，則t＝．
問題2：前面得到的多項式3，S，65，h5)分別表示哪些意義？它們有哪些共同特點？
二、合作探究
探究點一：二次根式的定義
例1：下述各色中，什么是二次根式，什么不是二次根式？
(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；
(4)313；(5)116；(6)3－x(x≤3)；
(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；
(10)（a－b）2(ab≥0)．
解析：要判定一個根式是不是二次根式，一是看根指數是不是2，二是看被開方數是不是非正數．
解：由于11，（－7）2，116＝130)，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指數都是2，且被開方數為非正數，所以都是二次根式.313的根指數不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被開方數大于0，所以不是二次根式．
方式總結：判定一個多項式是不是二次根式，要看所給的多項式是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數是非正數．
探究點二：二次根式有意義的條件
【類型一】根據二次根式有意義求字母的取值范圍
例2：求使下述多項式有意義的x的取值范圍．
(1)1r(4－3x)；(2)3－x)x－2；(3)x＋5)x.
解析：依照二次根式的性質和多項式的意義，被開方數小于或等于0且分母不等于0，列不方程(組)求解．
解：(1)由題意得4－3x＞0，解得x＜43.當x＜43時，1r(4－3x)有意義；
(2)由題意得3－x≥0，x－2≠0，)解得x≤3且x≠2.當x≤3且x≠2時，3－x)x－2有意義；
(3)由題意得x＋5≥0，x≠0，)解得x≥－5且x≠0.當x≥－5且x≠0時，x＋5)x有意義．
方式總結：含二次根式的多項式有意義的條件：
(1)假如一個多項式中富含多個二次根式，這么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數都必須是非正數；(2)假如所給多項式中富含分母，則不僅保證二次根式中的被開方數為非正數外，還必須保證分母不為零．
【類型二】利用二次根式的非負性求解
例3：(1)已知a、b滿足2a＋8＋|b－3|＝0，解關于x的多項式(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是實數，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根．
解析：(1)依據二次根式的非負性和絕對值的非負性求解即可；(2)依據二次根式的非負性即可求得x的值8年級上冊物理內容講解視頻8年級上冊物理內容講解視頻，從而求得y的值，從而可求出yx的平方根．
解：(1)依據題意得2a＋8＝0，b－r(3)＝0，)解得a＝－4，b＝r(3).)則(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；
(2)依據題意得x－3≥0，3－x≥0，)解得x＝3.則y＝4，故yx＝43＝64，±64＝±8，∴yx的平方根為±8.
方式總結：二次根式和絕對值都具有非負性，幾個非正數的和為0，這幾個非正數都為0.
探究點三：和二次根式有關的規律探究性問題
例4：先觀察下述方程，再回答下述問題．
①1122＝1＋11－11＋1＝112；
②1132＝1＋12－12＋1＝116；
③1142＝1＋13－13＋1＝1112.
(1)請你按照前面三個方程提供的信息，寫出1152的結果；
(2)請你根據前面各方程反映的規律，試寫出用
含n的多項式表示的方程(n為正整數)．
解析：(1)從三個方程中可以發覺，等號右側第一個加數都是1，第二個加數是個分數，設分母為n，第三個分數的分母就是n＋1，結果是一個帶分數，整數部份是1，分數部份的分子也是1，分母是前項分數的分母的積；(2)依據(1)找的規律寫出表示這個規律的多項式．
解：(1)1152＝1＋14－14＋1＝1120；
(2)11（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n為正整數)．
方式總結：解答規律探究性問題，都要通過仔細觀察找出字母和數之間的關系，通過閱讀找出題目蘊涵條件并用關系式表示下來．
三、板書設計
1．二次根式的定義
通常地，我們把形如a(a≥0)的多項式稱作二次根式．
2．二次根式有意義的條件
被開方數(式)為非正數；a有意義?a≥0.
四、教學反省
通過將新知識與舊知識進行聯系與對比，此后由中學生熟悉的實際問題出發，用已有的知識進行探究，由此引入二次根式．在教學過程中讓中學生感遭到研究二次根式是實際的須要，感受到物理與實際生活間的緊密聯系，借此充分迸發中學生學習的興趣．
21.2二次根式的乘除
第1課時
教學目標
1．把握二次根式加法法則；(重點)
2．會進行二次根式的加法運算．(重點、難點)
教學重難點
【教學重點】
二次根式加法法則.
【教學難點】
進行二次根式的加法運算.
課前打算
無
教學過程
一、情境導出
小穎家有一塊長圓形花圃，長6m，寬3m，這么這個長圓形花圃的面積是多少？
二、合作探究
探究點：二次根式的加法
【類型一】二次根式的加法法則創立的條件
例1：多項式x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）創立的條件是()
A．x≤2B．x≥－1
C．－1≤x≤2D．－1＜x＜2
解析：按照題意得x＋1≥0，2－x≥0，)解得
－1≤x≤2.故選C.
方式總結：運用二次根式的加法法則：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必須注意被開方數均是非正數這一條件．
【類型二】二次根式的加法運算
例2：估算：
(1)3×5；(2)14×64；
(3)627×(－33)；
(4)·avs4alco1(－f(2f(6b2a)).
解析：有理式的加法運算律及除法公式對二次根式同樣適用，估算時注意最后結果要化為最簡方式．
解：(1)3×5＝3×5＝15；
(2)14×64＝14＝16＝4；
(3)627×(－33)＝－1827×3＝
－1881＝－18×9＝－162；
(4)·avs4alco1(－f(2f(6b2a))＝
－34·2a·6b2a)＝－32a·36×3b3＝
－32a·6b3b＝－9ba3b.
方式總結：在運算過程中要注意根號前的質數是帶分數時，必須化成假分數，倘若被開方數有能開得盡方的質數或因式，可先將二次根式通分后再相加．
三、板書設計
四、教學反省
在教學安排上，彰顯由具體到具象的認識過程．對于二次根式的加法法則的推論，先借助幾個二次根式的具體估算，歸納出二次根式的加法運算法則．在具體估算時，可以通過小組合作交流，放手讓中學生去思索、討論，這樣安排有助于中學生周密思索和嚴謹抒發，更有助于中學生合作精神的培養．
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