彈簧問題的分類 1、“輕彈簧”問題 中學時，凡是涉及到的彈簧，不考慮其質量，都稱為“輕彈簧”。 這是常見的理想化物理模型。 由于“輕彈簧”的質量無論如何，如果選擇任何小截面的彈簧，兩端的張力必須平衡。 否則，這一小段彈簧的加速度將是無窮大。 因此，輕彈簧各部分之間的拉力處處相等，等于彈簧兩端的力。 彈簧一端所受的力為F，另一端所受的力也必為F。 如果是彈簧秤高中物理彈簧彈力，則彈簧秤指示為.FF 【例1】 如圖3-7-1所示，將彈簧秤放置在光滑的水平面上，殼體的質量不能忽略。 忽略彈簧和掛鉤的質量，對彈簧施加水平力和殼體上的力，則彈簧?水平方向的加速度為 ，彈簧刻度的讀數為 。 【分析】以整個彈簧尺度為研究對象，利用牛頓運動定律可得：，即若僅以輕彈簧的????為研究對象，則兩端的力彈簧的直徑相等，因此彈簧刻度的讀數是。 說明：作用于彈簧秤外殼，不作用于彈簧左端。 ，彈簧左端的力由殼體內部提供。 【答案】??1F 2、質量不可忽略的彈簧 【例2】如圖3-7-2所示，將一個具有質量和長度的均質彈簧平放在光滑的水平面上，在彈簧上施加水平力。彈簧ML右端使彈簧向右加速。 嘗試分析彈簧各部分的應力。 F 【分析】彈簧在水平力的作用下向右加速。 根據牛頓第二定律，可求出加速度。 以FaM?任意長度的彈簧左側部分為研究對象，并假設其質量為 彈簧（尤其是軟彈簧）的彈力與彈簧的變形量有關。 由于彈簧的兩端一般都與物體相連接，彈簧的變形過程需要一段時間，其長度變化不可能在瞬間完成，所以彈簧的彈力不能突然發生變化。瞬間。 即，可以認為彈力的大小和方向不變。 與彈簧相比，光繩和光桿的彈力會發生突變。 【例3】如圖3-7-3所示，將木塊和輕彈簧連接起來，垂直放置在木塊上，將三個ABC靜置在地面上。 木塊的加速度 和 的質量比分別為 = 和 = 圖3-7-2 圖3-7-1 圖3-7-3 【分析】根據題意，可得的質量分別設置。 以木塊為研究對象，提取木塊ABC、23mm、AC之前，木塊受到重力和彈力一對平衡力。 當木塊被拉出時，木塊所受的重力和彈力的大小和方向保持不變，因此木塊的瞬時加速度為0。以木塊為研究對象，由平衡條件可知AAB 和木塊施加在木塊上的力。 以木塊為研究對象，木塊通過重力、彈力和三個?BBCBF力來平衡。 在木塊被拔出的瞬間，木塊所受的重力和彈力的大小和方向保持不變，瞬時變化CBCBF為0。因此，木塊的瞬時總外力垂直向下，瞬時加速度為。 [答案] 0 解釋：與 C3mg1.5g 不同 不可伸展的輕質繩索中的張力可能會突然變化。 【例4】如圖3-7-4所示，質量為 的小球與水平彈簧連接，并由傾斜角為 的光滑木板支撐，處于靜止狀態。 當它突然向下疏散時，小球的加速度為()ABA。 B. 尺寸為，方向垂直0233g 直向下 C. 尺寸為，方向垂直于棋盤向下 D. 尺寸為，方向水平向右 【分析】退出棋盤前，球通過重力、彈簧拉力和板的支撐力 GFNF 來平衡，如圖 3-7-5 所示。 在退出木板的瞬間，重力和彈力??GF保持不變（彈簧的彈力不能突變），木板的支撐力立即消失。 球與NFGF的合力與退球前的力相等（三力平衡）高中物理彈簧彈力，方向相反。 因此，加速度的方向是垂直的，板子朝NFNF方向向下運動。 【答案】C. ???? 四． 彈簧長度變化的問題。 假設剛度系數為的彈簧。“-”號表示彈簧被壓縮。 如果彈簧上的力從壓力變為拉力，則彈簧的長度將從壓縮變為伸長變化2x1F-2F，長度增加為。 根據胡克定律：，則：1x??11()Fkx???22Fkx?，即2121()()?????Fkx???說明：彈簧力的變化與彈簧的變化長度也遵循胡克定律，這意味著1和2的物理意義是捆綁在一起的。 上端有剛度系數為 的輕質彈簧，整個系統處于平衡狀態。 現在慢慢地垂直提起塊 1，直到彈簧的下端剛好脫離桌子。 在此過程中，塊2的重力勢能增加，塊1的重力勢能增加。 增加。 【分析】從題意可以看出，彈簧長度的增加量就是方塊2高度的增加量，彈簧長度增加量2k2k與彈簧長度增加量之和是物塊1的高度增加量。從物體上看，它們的力平衡為： 且 2mg12()mmg+()mmgk+1221()mmgk+ 因此，物塊2的重力勢能增加了，則塊 1 的重力勢能增加了 ()mmmgk+()()++ 5. 彈簧形狀 該變量可以表示物體的位移。 彈簧的彈力滿足胡克定律，其中 是彈簧的變形量。 當兩端連接到Fkx??x物體時，就是物體的位移。 因此，彈簧可以結合運動學知識將x編成練習題。 【例6】如圖3-7-7所示，在傾斜角為的光滑斜坡上有兩個由輕質彈簧連接的塊q，系統處于靜止狀態，此時AB、ABmm、kC開始變化。用恒定的力將其沿傾斜方向向上拉。 求其即將離開時的加速度以及從開始到此時的位移（重力加速度為）。Adg 【分析】當系統靜止時，假設彈簧壓縮量為，彈簧彈力為，受力分析可知： ???解：當物體在恒力作用下加速向上時，彈簧逐漸從壓縮狀態變為伸長??FA長度狀態。 假設物體即將離開擋板時彈簧的伸長量為，物體所受的力為：BC2xB。 解為： 假設此時物體的加速度為， 牛頓第二定律為： ????Aa 解為： 由于物體與彈簧相連，彈簧長度的變化為??? ?()????A代表物體的位移，所以有，即【答】??()???()??? 六、彈力變化的運動過程分析。 彈簧的彈力是由變形決定其大小和方向的力。 請注意，彈力的大小和方向應始終與當時的變形相對應。 一般來說，我們應該從彈簧的變形分析開始，首先確定彈簧的原始長度。 圖3-7-7中的位置、當前長度位置和臨界位置，找出變形量與物體空間位置變化之間的幾何關系，并分析與變形對應的彈力大小和方向。 彈性勢能也是對應于原長度位置的形狀。 變量相關性。 以此來分析計算物體運動狀態可能發生的變化。 結合彈簧振子的簡諧振動，分析彈簧物體的變加速度運動。 這時，需要首先確定物體運動的平衡位置，并區分出物體的原始長度位置。 ，進一步證實了物體的運動是簡諧振動。 結合平衡位置對應的恢復力、加速度、速度的變化規律，很容易分析物體的運動過程。 【例7】 如圖3-7-8所示，質量為 的物體通過輕彈簧與下方地面質量為mA的物體相連。 最初 和 處于靜止狀態。 此時，彈簧壓縮，一端握在手中，AC繩各節正好處于伸直狀態。 物體上方的那段繩子是垂直方向的，并且足夠長。 現在A端施加一個水平恒定力，使物體從靜止狀態向上移動。 （彈簧始終處于彈性極限CFA內）。 (1) 如果最后施加的力為恒定，則物體即將離開地面時的速度是多少？ （2）如果增加物體的質量，為了保證物體永遠不離開地面，則最大B2mBF是多少？ 【分析】從題中可以看出，彈簧的初始壓縮量和物體即將離開地面時彈簧的伸長量也是0mgxk?B長度。 0mgxk=(1) 如果 ，當彈簧伸到 時，物體離開地面。 此時彈簧在受力前的彈性勢能為3Fmg=0xB等。 所做的功等于物體增加的動能與重力勢能之和。 即： ???? ?(2) 當施加的力為恒力時，物體不離開地面。 它類似于垂直彈簧振蕩器。 物體除了在垂直0FBA方向上變化的彈力外，還受到恒定的重力和拉力。 因此，物體簡化為簡諧振動。 在最低點A，有： ，其中 是彈簧剛度系數，即物體在最低點的加速度。 在最高點，???k1aA 物體不會離開地面。 此時，彈簧被拉伸，伸長量為： 則： 且， (2) +??0kxmg? 上下振幅處的簡諧振動，解為： 【也可以用簡諧振動的平衡位置簡諧運動求出常數 12aa?? 拉力。 簡諧振動的物體 最低點的壓縮量為 ，最高點的伸長量為 ，則上下運動的中點為平衡位置，即伸長量為這是。 由此，解為：。] 【答案】+??022gx 圖3-7-9 圖3-7-832mg 說明： 區分原始長度位置和平衡位置。 原長度位置對應的變形量與彈力大小、方向、彈性勢能有關，平衡位置對應的位移量與恢復大小、方向、速度、加速度有關。 相關.7. 與彈簧相關的關鍵問題通過彈簧連接的物體在運動過程中常常會涉及到關鍵的極值問題：如物體速度達到最大值； 當彈簧變形達到最大時，兩個物體的速度相同； 物體即將離開地面； 相互接觸的物體碰巧分離等。解決此類問題的關鍵是利用好臨界條件，獲得對解決問題有用的物理量和結論。
【實施例8】如圖3-7-9所示，在垂直的輕彈簧上疊放兩塊木塊。 已知木塊的質量分別為AB、AB、和。 彈簧的剛度系數，如果作用一個垂直向上的力，使塊體垂直均勻移動，從靜止開始的加速度為 0.42kg0./kNm=AFA ()。 求： (1) 使木塊垂直勻速運動20.5/ms210/gms?A 加速運動過程中，力的最大值； F (2) 如果木塊從靜止開始勻速運動到分離過程，彈簧的AB和彈性勢能減小，求此過程中木塊受到的力 Work.0.248JF 【分析】難點這個問題的關鍵是是否可以確定兩個物體分離的臨界點。 當（即不加垂直0F?向上的力）時，假設木塊堆疊在彈簧上并處于平衡狀態。 彈簧的壓縮量為，有：，即FAB，可見，此時木塊的加速度???B'???0N?AB是相同的。 根據公式②，如果要使木塊做勻速運動，則隨著減小而增大。 此時，得到最大值，ANF0N=FmF，即： 此時，分離開始。 根據式③，彈簧的壓縮量為，()4.???0N=AB，'()?? 則 ④ 木塊的共同速度： ⑤ 由式可得木塊的彈性勢能過程簡化 ()'+?AB22(')vaxx??假設力所做的功為，并將函數原理應用于此過程，我們得到： 0.??FFW21()()(')??? ??? 將公式①④⑤⑥聯立，得： 【答案】 (1) 0.?29.???4.41mFN?29.??NX【例9】如圖3-7-11所示，一塑料質量 球形容器在所有點上都與水平面接觸。 其MA內有一個直立的輕彈簧。 彈簧的下端固定在容器的底部。 上端連接到一個帶正電的小球，該小球的質量在垂直方向上振動。 當加一個向上均勻的力，經過強電場后，當彈簧長度正好為m時，球正好有最大速度。 振動過程中，球形容器對桌面的最小壓力為0。 圖3-7-10 圖3-7-11 求球的最大振動加速度和容器對桌面的最大壓力。 【分析】由于當彈簧恰好處于其原始長度時，球的速度最大，因此有： ?qEmg ① 當球處于最高點時，容器對桌面的壓力最小，有： ② 此時，球受到?kxMg 力的影響，如圖3-7-12 所示。 合力為 ③小球的加速度由上述三個方程求得。 顯然，容器對桌面的壓力在最低點處最大。 由振動的對稱性可知，可以為 mmga ?我們知道，小球在最低點和最高點的加速度相同。 解上式可得： 故Mgkx=容器對桌面的壓力為：.=+=8。 彈性功和彈性勢能變化的問題。 彈簧伸長或壓縮 彈簧變形時會儲存一定的彈性勢能。 因此，彈簧的彈性勢能可以與機械能守恒定律綜合應用。 使用公式計算彈簧的勢能。 彈簧變形量相等時的彈性勢能相等。 彈簧彈力所做的功等于彈性勢能的減少。 數量。 彈簧彈力所做的功是變力所做的功。 一般可以采用以下方法： （1）由于變力呈線性變化，可以先求出平均力，然后利用功的定義進行計算； (2)利用由 包圍的圖形求解面積大??； Fx?(3)根據動能定理、能量轉換和守恒定律求解。 由于彈性勢能只與彈性變形量有關，所以高考中彈性勢能的公式沒有定量要求。 因此，當計算彈性功或彈性勢能變化時，一般從能量轉換和守恒的角度來求解。 特別是當兩個物理過程涉及的彈簧變形相等時，彈性勢能的變化往往可以抵消或替代解。 【例10】圖3-7 如圖-14所示，一個有質量的物體通過光彈簧與下方地面上一個質量1mA的物體相連。 彈簧的剛度系數為 ，物體處于靜止狀態。 一根可伸縮的輕繩，一端纏繞著超重滑輪，與物體相連，另一端與輕鉤相連。 開始時，每段繩子A都處于伸直狀態，物體上方的那段繩子處于垂直方向。 現在將質量為 A2m 的物體掛在鉤子上并將其從靜止狀態釋放。 眾所周知，它只能使物體離開地面，但不能繼續上升。 如果該物體被另一個質量為CBC的物體替換，并且仍然從上述初始位置開始靜止釋放，那么此時該物體剛離開地面時的高度為12()mm+。 Body DB 的速度是多少？ 已知重力加速度為Dg 圖3-7-14 圖3-7-12 【分析】物體一開始靜止，假設彈簧壓縮量為，則有：、將物體懸空，釋放AB ，?釋放C后，物體向下移動，物體向上移動。 假設物體即將離開地面時彈簧的伸長量為 。 ?不再上升，說明此時物體的速度為零，物體已經下降到最低點。 與初始狀態相比，BA和CC由于機械能守恒而增加的彈簧彈性勢能為：
將物體替換為物體()()?????CD后，物體離開地面時彈簧勢能的增量與上次相同。 根據能量關系，我們得到：()()()()++++9++++9。 彈簧彈性的雙向性 彈簧可以被拉伸，也可以被壓縮，因此彈簧的彈性是雙向的，也就是說，彈力既可以是推力，也可以是拉力。 此類問題通常有多種解決方案。 【例11】如圖3-7-15所示，質量為m的質點連接到三個相同的光彈簧上，處于靜止狀態。 當相鄰兩個彈簧夾角均為 時，已知彈簧作用在質點上的力為 ，則彈簧作用在質點上的力可為 () 【分析】由于兩個彈簧夾角為，彈簧與粒子所受的力的合力靜止。 彈簧和F彈簧可以是對顆粒的拉力或推力。 由于 和 之間的關系是不確定的，所以以上四個選項 ab 和 Fmg 都是可能的。 正確答案：ABCD 【答案】ABCD 11.彈簧串并聯組合 彈簧串聯或并聯后，其剛度系數會發生變化。 彈簧組合的剛度系數可用公式計算。 高中物理不需要用公式進行定量分析，但必須掌握彈簧串聯和并聯的特性：彈簧串聯時，每個彈簧的彈力相等； 當原始長度相同的彈簧并聯時，每個彈簧的變形相等。 【例12】圖3-如圖7-17所示，垂直懸掛兩個剛度系數為12kk的輕彈簧。 下端連接光滑繩，繩上放置光滑輕滑輪； 滑輪下端懸掛有重物G。 滑輪下降。 求滑輪靜止后重物下落的距離。 【分析】兩個彈簧在形式上看似并聯，但由于每個彈簧的彈力相等，所以兩個彈簧實際上是串聯的； 兩個彈簧的彈力相等，可得 兩個彈簧的伸長量分別為，兩個彈簧的伸長長度之和 = = 圖 3-7-17 圖 3-7-15，所以重物落下的高度為：12xxx?+1212()+?? 滑輪模型 1. “滑輪”吊墜模型中的平衡問題示例 1. 如圖 1 所示，將一根不可伸長的左右兩端系住，軟輕繩分別拉至A、B兩點。 一個物體是動滑輪，掛在一根輕繩上。 當系統達到平衡時，兩根繩索之間的夾角為 ，繩索張力為； 1 1 F.將繩子右端移至C點，當系統達到平衡時，兩根繩子之間的夾角為， 繩子張力為； 將2?2F繩子的右端從C點移動到D點。當系統達到平衡時，兩根繩子之間的夾角為，繩子張力為3?，不包括摩擦力，BC為垂直線，則（ ) 3FA. QR QR 在將B點移動到C點的過程中，通過滑輪的運動，再從C點移動到D點，必須大于 。
因此，只有選項A是正確的。 mgF=2cos2?23FF+ 2.“滑輪”懸垂模型中速度變化問題的示例 2。 如圖2所示，滑架內有一條光滑的皮帶（質量未計算）。 一個氣缸放置在皮帶中。 當汽車靜止時，皮帶兩側的夾角為∠ACB=90°。 若小車向左勻速加速，加速度a=7.5m/s2，則皮帶兩側與小車頂部的夾角是多少？ 分析：假設汽車靜止時AC的長度為。 當汽車向左勻速加速時，l2/5.7sma?類似于AC和BC之間的一個“滑輪”，因此拉力相等，設為FT，作用在氣缸上的合力為ma。 它向左均勻加速。 運動時AC的長度為 ，BC的長度為 。 由幾何關系ll??ll?? 求得。 根據牛頓運動定律建立方程：?????? ???，代入數據得到????????，????9319??， 3. 函數問題示例“滑輪”吊墜模型3。如圖3所示，繩子纏繞在兩個定滑輪A和B上。兩端各懸掛一個重物P。 現在在A、B的中點C處懸掛一個重量為Q的小球，小物體Qm)用輕繩連接； 將它們橫放在一個半徑為R的光滑半圓柱體和光滑的定滑輪B上，m位于半圓柱體底部的C點，半圓柱體頂部的A點與滑輪的連線B 是水平的。 整個系統開始從靜止開始移動。 假設m能到達圓柱體頂部，試求： (1) m到達圓柱體頂部A點時，m和M的速度。 (2) 當m到達A點時，氣缸上的壓力。 圖 7 的答案： (1) 2) (???????2? (2) -?????22?