1 結論推導
如圖1所示，質量為m的物體，可視為質點，從傾斜角為θ的固定斜面的頂部A滑向底端B。設斜面的動摩擦因數為μ ，斜面長度為s，底面長度為L。
那么物體從A滑動到B時摩擦力所做的功為：
W=-FS=μθ=-μmgL
結論：在動摩擦因數相同的情況下，物體沿斜面滑動時摩擦力所做的功與物體沿水平面滑動時摩擦力投影在斜面上所做的功相當，如下所示：圖 2.
結論概括：物體沿相同粗糙度的斜面從上向下滑動時摩擦力所做的功與傾斜角θ無關，而與底邊長度有關的斜面。
如圖3所示，當物體沿斜面DB向下滑動時和物體沿斜面AB向下滑動時，摩擦力所做的功相同。 同理，如圖4所示，當物體從坡頂A點沿著4條粗糙度相同的不同軌跡1、2、3、4滑動到B點時，摩擦力所做的功力是一樣的。 （2、3、4號軌道的轉折點均平滑連接。）
圖3 圖4
2. 結論申請
這個結論在一些綜合題中經常用到。 學生應分析問題的含義并得出結論：條件改變后摩擦功沒有改變。 如果學生不知道這個結論，他們在解決問題時就會不知從何入手。 這里有兩個例子。
【典型例1】（2012年江蘇四市調查）水滑梯可以簡化為如圖所示的模型：傾斜角θ=37°的傾斜滑梯AB與水平滑梯BC平滑連接，起點A為距水面的高度。 H=7.0m斜面克服什么做功，BC長度d=2.0m，終點C距水面高度h=1.0m。 質量m=50kg的運動員從滑梯起點A自由滑下，無初速度。 運動員與AB、BC之間的動摩擦系數μ=0.10。 取重力加速度g=10m/s，cos37°=0.8，sin37°=0.6，運動員在運動時可視為一個質點。
(1)求運動員沿AB滑動時的加速度a；
(2)求運動員從A點滑行到C點時克服摩擦力所做的功W以及到達C點時的速度大小v；
(3) 使水平滑道的端點保持在同一垂直線上斜面克服什么做功，并將水平滑道的高度h和長度d調整到圖中B'C'的位置。 當運動員從滑梯水平投擲到水面時，水平位移最大。 求此時滑道B′C′距水面的高度h′。
【分析】（1）運動員沿AB方向滑動，受到的力如圖所示。
F=μmgcosθ
F =μF =μmgcosθ
根據牛頓第二定律：mgsinθ-μmgcosθ=ma
運動員沿AB滑動時的加速度大小為：
a=gsinθ-μgcosθ=5.2m/s
(2) 當運動員從A滑到C時，克服摩擦力所做的功為：
W =μmgcosθ +μmgd=μmg（+d）=500J
根據動能定理，mg(Hh)-W = mv -0
將數據代入即可得到運動員滑行至C點時的速度：v=10m/s。
(3) 從C點滑出到落到水面的過程中，運動員做平拋動作的時間為t，
由 h′=gt，我們得到 t=
滑動過程中，克服摩擦力所做的功保持不變，即W=500J
根據動能定理：mg(Hh′)-W = mv -0
求解得到 v=
運動員水平方向的位移：
x=vt= =
當Hhh′=h′時，水平位移最大，即h′＝=3m。
【點評】本題第二步是求解克服摩擦力所做的功W，為第三步改變水平滑道的高度h，然后保持克服摩擦力所做的功不變做鋪墊滑動過程中。 如果學生不掌握斜坡上摩擦做功的這一特性，就會給第三步求解摩擦做功帶來困難。
【典型例2】（2011年杭州2號型號）為了解決高層救援作業中梯子高度不夠的問題，可以在消防梯上加長一根輕型滑桿。 圖為消防演習中模擬救援被困人員示意圖。 被困人員利用安全帶上的掛鉤掛在滑桿上，沿滑桿滑下至消防梯上逃生。 為了安全起見，被困人員滑到梯頂的速度不宜太快。 通常滑桿由兩根直桿AO和OB通過光滑的轉軸在O處連接而成。 滑桿A端用掛鉤鉤掛在高層建筑的固定物體上，并可纏繞。 固定物體可自由旋轉，B端用鉸鏈固定在梯子上端，可繞鉸鏈自由旋轉，以調節被困人員滑向梯頂的速度。 假設被困人員在調整后的滑桿上下移動時，滑桿與垂直方向的夾角保持不變。 被困人員可視為一個質點，不考慮經過O點時的機械能損失。 已知AO長度L=6m，OB長度L=12m，垂直墻到梯子上端點B的水平距離d=13.2m。 被困人員安全帶上的掛鉤與滑桿AO、滑桿OB之間的動摩擦因數均為μ=5/6。 被困人員到達梯頂B點的速度不能超過6m/s，取g=10m/s。
(1) 現在測量OB與垂直方向之間的角度為53°。 請分析判斷被困人員滑到B點是否安全。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
(2) 若梯頂B點與垂直墻的水平距離不變，求可安全營救的被困人員與梯頂B的最大垂直距離。
【分析】 (1)設OA、OB與垂直方向的夾角分別為α、β。 由幾何關系可知：
d=L sinα+L sinβ α=37°
AB高差h=L cosα+L cosβ=12m
由動能定理可以得到被困人員下降的整個過程：
mgh -μmgL sinα -μmgL sinβ= mv
兩者：mgh -μmgd= mv
解：v=2m/s
因為 v
(2) 假設滑桿兩端點AB之間的最大垂直距離為h，則由動能定理可以得到被困人員的整個滑動過程：
mgh-μmgL sinα′-μmgL sinβ′= mv，其中 v=6m/s
求得d=L sinα′+L sinβ′。 求解：h≤12.8m
如果兩根桿都是直的，則AB之間的垂直高度為：
H'
h′=m=12.24m
因為 h′
【點評】本題中，無論AO和OB的傾斜角度有多大，只要d不變，被困人員下降過程中摩擦力的功就不變，所以AO和OB的傾斜角度第二步OB未知。 它不影響確定摩擦力所需的工作。