幾個等效擺周期公式的理論推導 姓名：性別：男 單位：安徽省阜陽市十一中 聯系電話：*********90 郵箱：@163 郵編：一般只在中學物理教材中給出要找出擺的周期公式，目前關于擺的論文中有關擺的應用說明及其周期公式有些混亂。 本文根據目前對單擺的討論，結合我個人對單擺的理解，用一種比較通俗的單擺語言，詳細講解了單擺的本質、單擺的周期公式以及其應用條件、單擺周期公式在各種具體情況下的應用、復擺及其周期公式的推導、單擺與復擺的簡單關系。 聯系等知識，希望讀者通過閱讀本文能夠很好地學習、理解和掌握擺的知識，并運用這些知識解決擺的相關問題。 關鍵詞：單擺； 周期公式； 簡諧振動； 等效單擺； 等效擺長； 等效重力加速度； 復擺； 周期公式的應用 0.引言 單擺是中學物理力學和物理模型中典型且重要的方法，具有非常廣泛的應用范圍。 復習高中物理中的擺，突出問題：1、擺錘擺動時平衡的確定。 2、擺周期公式“l”和“g”的確定是因為高中物理教材只直接給出了擺周期公式。 因此斜面拉物體拉力f怎么算，學生很難掌握功夫中“l”和“g”的含義。 深入理解擺模型對于學習物理相關知識和其他學科知識極為重要。
物理知識來源于現實，不同于現實，應用于實踐。 物理學用獨特的方法來研究和處理實際問題，服務于實際需要。 擺是物理學中典型的知識。 學習有關擺的知識對于學習和掌握物理研究方法和解決問題的思維模式具有重要作用，更有利于個人思維能力的發展。 因此，有必要對單擺及其周期公式有一個清晰的認識。 本文將系統地闡明單擺的本質、周期公式的含義和推導、周期公式在各種具體情況下的應用、復擺及其周期公式的推導、簡單擺與單擺之間的簡單聯系。單擺和復擺。 其中，擺周期公式在各種具體情況下的應用是建立在對擺模型的正確理解的基礎上的。 關鍵是特定周期公式中的等效擺長和等效重力加速度因具體情況的變化而不同； 復擺知識的介紹是為了更好地理解和掌握單擺知識。 1.1 定義：將一個可視為質點的重物（擺）懸掛在質量可忽略不計的不可延伸的懸掛線的下端。 該系統一端固定，稱為鐘擺。 使用常用的線球模型定義，可以表示為：一個小球綁在一條幾乎不可延伸的細線的下端。 細線的質量遠小于小球的質量，細線的長度遠大于小球的半徑。 另一端固定，這樣的理想系統稱為鐘擺。 1.2 說明 如右示意圖（圖A）所示，當粒子被拉離平衡位置后釋放時，指針會在平衡位置附近沿一條以擺長為長度的圓弧作微小振動。中心和半徑作為懸掛點。 振動就會恢復。 該力由粒子（擺）的一部分重力提供。
如果擺的擺動幅度很小，且恢復力與質點的擺動位移成正比且方向相反，則擺的擺動是簡諧振動。 懸掛點是擺的擺動平面與擺線張力作用線的交點。 單擺擺動過程中，擺線張力的作用線始終經過懸掛點。 懸掛點到擺球重心的距離稱為擺長。 2、簡擺的周期公式 2.1 簡諧振動的周期公式 物體做簡諧振動時，會受到一個恢復力的作用，恢復力F與物體相對于物體的位移X成正比。平衡位置，其方向與位移方向相反。 使用 公式可表示為 F=-kX，其中 k 為比例系數。 假設物體的質量為m，t時刻的加速度（位移為 解為： ： 2.2 擺的周期公式 當該點時，重力G與拉力T平衡，如右圖（圖B），此點為擺的平衡點，在該點，然后松開，重力G的分力G1提供恢復力，使擺球在平衡點B附近來回擺動。重力mg ，考慮位移與運動方向的關系，為：G1=，將此式與F=-kX比較，我們知道，此時（）單擺是簡諧振動，以此類推很容易理解：ω為在簡擺簡諧振動條件下得到的，這里公式中的“l”和“g”分別指擺的長度和擺的重力加速度，但在某些情況下它們指等效擺長和分別為等效重力加速度。 擺錘擺動的平衡位置不是擺錘擺動的最低位置，而是相對于擺錘不擺動的環境的靜止位置。
等效擺長和等效重力加速度的確定取決于以下兩個問題： (a) 擺擺動所繞的擺動點或擺動軸； (b) 擺錘擺動時的軌跡平面。 I：對于繞固定點擺動的簡單擺，“l”是擺球重心到固定點的長度，即擺動弧線中心到擺球重心的距離。擺球。 “g”是當擺不擺動且在其環境中靜止時，擺線或等效擺線的張力F與擺球的質量m的比值。 可以寫成： g = F 這里應該是但擺在擺動平面上。 當球處于平衡位置時，擺球受到力場中對其簡諧振動恢復運動有效的所有力的合力，力場中對其簡諧振動恢復無效的力除外運動。 II：對于繞固定軸擺動的單擺，確定單擺等效擺動點的方法是：先確定擺軸，然后確定單擺擺動的軌跡平面。 擺軸與擺動軌跡平面的交點就是等效擺。 固定點。 “l”為擺球重心到等效擺固定點的長度，即擺動弧中心到擺球重心的距離。 當“g”擺不擺動且在其環境中靜止時，沿等效擺線的拉力為單個 F 與擺球質量 m 的比值，可寫為： g = F 這里應為但擺在擺動平面上處于平衡狀態。 當擺球處于該位置時，力場中對其簡諧振動恢復運動有效的所有力的合力，力場中對其簡諧振動恢復運動無效的力除外。 下面通過例子來說明簡單擺周期公式在某些情況下的具體應用，即如何求等效擺長和等效重力加速度。 3. 擺周期公式在一些具體情況下的應用 143.1 考慮等效擺長 例1：質點懸掛在兩根長度為L的細線上，兩根細線與天花板的夾角為α，求鐘擺的周期。
（如下圖）解：根據等效擺長的含義，即擺動弧線中心到擺球重心的距離，很容易知道等效擺長擺長就是圖中虛線的長度，即Lsinα。 應用簡單的擺周期公式： 擺的周期為： T = 例2： 兩根繩子的長度分別為L和2L，與垂直方向的夾角為30。求擺的周期。 （如下圖）解：根據等效擺長的含義，擺球重心到圓弧中心的距離就是等效擺長，也就是中間虛線的長度圖中的線。 長度為： 例3：如圖所示，一個長度為L1的擺在懸掛點的正下方，距懸掛點L2處有一個釘子。 當擺的左右擺角都很小時，求擺的周期。 解：由于左右擺動角度很小，可以認為是擺動一個鐘擺。 垂線右側以O為掛點，擺長為L1，左側以P為掛點。 擺的周期應為長度為L1的擺周期的一半加上擺長度為(L1-L2)擺周期的一半，即：擺的周期為 3.2 考慮等效重力加速度：在擺周期公式的推導中，“g”是擺所在位置的重力加速度，更一般的情況下，“g”應該是等效重力加速度g'。 等效重力加速度g'實際上是對單擺簡諧振動恢復振動有效的各種力的合力的反映。 g'的解也是基于這個起點。 通常有三種情況： A、擺球擺動時，垂直于速度方向的力對其簡諧振動恢復振動始終無效。 該力不會改變振動周期，也不會反映在周期公式中。
B、g'=是擺動過程中除總垂直速度方向的力之外的所有力的合力，在振動過程中是一個常數。 C、當懸浮點相對于地面有加速度a時，擺球若想相對于所在環境靜止，必須加上環境的慣性力F'=-ma,g'計算擺球上的力時。 計算方法與之前相同。 下面舉例說明上述情況。 示例 4：長度為 L 的單擺和質量為 m（帶正電）的擺球位于右側水平均勻電場 (E) 中。 平衡時，擺線與垂線的夾角為α，如圖所示。 現在將擺球拉離平衡位置一個小角度（ ），然后松開。 球將圍繞平衡位置進行簡諧振動。 什么是時期？ 解：從擺球受力分析（如圖）可知F=mg' cosmg qEmg 例5：如圖所示，磁場中有一個簡單擺，擺球被收費。 求單擺的周期。 解：擺球在擺動過程中切割磁力線時，受到磁場洛倫茲力、重力和擺線拉力的作用，在三種力的作用下進行恢復運動。 由于洛倫茲力始終垂直于沿擺線的速度，并且始終經過懸掛點，因此該力對于擺的恢復運動無效。 單擺的周期仍為T= 例6：在加速的電梯中有一個單擺做簡諧振動。 假設加速度為a，試求單擺的周期。 qEmg' mg 示意圖如上，左圖：當擺球相對于電梯靜止時，擺線對擺球施加拉力F=mg+ma，故等效重力加速度為g' =。 對于右圖：同樣的原理，等效重力加速度為g'= 例7：如圖所示，有一個小球，用一條長度為L的細線綁在水平面上，然后釋放在休息。 找到小球的最低位置。 該點所需的時間 t 是多少？ 解：擺球的受力分析如右圖所示。 當擺球在斜面上相對靜止擺動時，小球的重力是沿垂直斜面的離散平衡斜面的支撐力，F= mg sina，等效重力加速度g'= sina，則擺動周期為： 例8：如圖所示，將長度為L的單擺置于水中（水的密度小于擺球的密度，排除水的粘性阻力），浮力為其上的水為F，求擺的擺動周期的解： 如圖所示，當擺球處于平衡位置（最低點）時，重力mg、水的浮力Fmg、張力T擺線的作用在球上以平衡它。 平衡方程為： ：T=mg-F，則等效重力加速度g'= 在上述情況下，如果球的密度小于水的密度，即浮力大于重力，那么擺的平衡位置就在上面的最高點，則T=F-mg，g'= 例9：如下左圖所示斜面拉物體拉力f怎么算，質量為m的小汽車在地面上做直線加速水平面加速度a. 轎廂內有一個長度為L的單擺，與轎廂前進方向處于同一平面。 簡諧振動，試求其周期。
本題屬于非慣性系統中擺的情況。 為了確定擺的平衡位置，必須在擺球的受力分析中加入慣性力。 分析該圖可知，有效提供擺球恢復運動的力是重力mg與慣性力(-ma)之和，即mamg。 延伸：如果將上題中的小車放在一個有傾角的斜面上（如右上圖所示），小車仍然沿斜面以加速度a向下運動，那么簡諧振動的周期是多少在這種情況下是一個簡單的擺嗎？ 小球的受力分析如右上圖所示。 受到簡諧振動的擺球的回復力仍然是其重力mg與系統慣性力(-ma)的合力。但此時擺球的平衡位置
