華東師范大學版2023-2024學年高中生第二學期第五次調查考試數學試題注意事項： 1、考生在領取答卷前必須在試卷、答題卡上填寫姓名、準考證號、考場號、座位號。 用2B鉛筆在答題卡相應位置填寫試卷類型（B）。 將條碼粘貼到答題卡右上角的“條碼粘貼區”。 2、回答選擇題時，選擇每道題的答案后，用2B鉛筆將答卷上問題選項對應的答案信息點涂黑； 如果您需要進行更改，請用橡皮擦將其擦除，然后選擇其他答案。 答案不能寫在試卷上。 3、非選擇題必須用黑筆或簽字筆作答，并將答案寫在答卷上每題指定區域的相應位置； 如果需要修改，先劃掉原來的答案，然后寫出新的答案； 不允許使用鉛筆和涂改液。 不符合上述要求的答案將無效。 4、考生必須保持答卷干凈、整潔。 考試結束后，請將本試卷和答題紙一并交回。 1、選擇題：本題共有12題，每題5分，共60分。 每題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。 1、下圖中的圖案是中國古代建筑中的裝飾圖案。 它的形狀像銅錢，象征著財富和吉祥。 在圓內隨機選取一點，則該點取自陰影區域（陰影區域由四個四分之一圓弧包圍）的概率為 () ABC D． 2. 假設命題p:>1,n2>2n，則p 為()ABC D． 3. 復數，如果復數在復平面上的對應點關于虛軸對稱，則等于 () ABC D． 4. 已知容差不為0的等差數列前項之和為 , ，且為等比數列，則 () A. 56B。 72C。 88D。 405、如果命題p：從2個正品和2個次品中選擇任意2個產品，得到兩種正品的概率是三分之一； 命題q：在邊長為4的正方形ABCD內選取任意點M，則∠AMB>90°的概率為π8A。 p∧qB。 (∧p)∧qC。 p∧(←q)D． ?q6。 如果數列滿足：，則數列前面各項之??和為 ABC D． 7. 假設集合，集合，則 = ()ABC D． R8。 在正等比數列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，則a3=()A。 2B． 4C. D． 89． 下圖是根據民航部門統計的某年春運期間六城市銷售的往返機票平均價格（單位元），以及價格變化統計圖與去年同期相比。 下列說法不正確的是：( )A. 深圳變化最小，北京平均價格最高 B. 天津往返機票平均價格變化最大 C. 上海與廣州往返機票平均價格基本持平 D.與去年同期相比，其中4個城市的往返機票均價上漲了10。已知 、 、 是充分非條件，則取值范圍為 () ABC D． 11、已知等差數列前n項之和為，且，則()A。 4B。 8C． 16D。 212. 函數單調遞減的充分必要條件是 () ABC D． 2、填空題：本題共有4題，每題5分，共20分。
13、已知在 方向上的投影，則其間的夾角為 0.14。 使用數字,,,,, 組成沒有重復數字的自然數。 其中，有_____兩個相鄰的奇偶校驗數不同的數。15． 眾所周知，如果函數的不等式對于任何常數都成立，則實數的范圍為 0.16。 已知向量滿足 , ，則向量間夾角為 。 3.回答問題：總分70分。 答案應包括書面解釋、證明過程或計算步驟。 17． （12點）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，平面ABCD與BD交AC于點E，F為線段PC的中點，G為線段PC的中點。線段EC. Ⅰ驗證：平面PBD； 二、驗證：。 18、（12點）如圖所示，是一個正方形，該點在直徑為（不重合，）的半圓弧上，即為線段的中點。 現在折疊正方形的邊緣使其平坦。 (1) 證明：平面。 (2) 當三棱錐體積最大時，求二面角的余弦值。 19． （12分） 金秋九月，桂花飄香，某大學迎來了一大批優秀學子。 新生接待實際上是一個與社會溝通的平臺。 學校團委、學生會從在校學生中隨機抽取160名學生，對他們是否愿意參加新生接待進行問卷調查。 統計如下：你愿意嗎？ 男生 6020 女生 4040 （1）根據上表，可以有 99% 的把握認為，參加新生接待工作的意愿與性別有關； (2)從參與問卷調查并愿意參與新生接待工作的學生中，按性別分層抽樣抽取10人。 如果從這10個人中隨機選出3個人去火車站迎接新生，假設這3個人中女生的數量是，寫出分布欄并求。 附：，其中。 0.050.010.0013.8416.63510.82820． （12分）在中國，不僅是購物，從共享單車到醫院掛號再到公共支付，日常生活的幾乎所有領域都支持移動支付。 不帶現金外出的人數正在迅速增加。
中國人民大學與法國調查公司益普索合作，對6000名騰訊服務用戶進行了調查，隨機抽取了60名用戶。 他們計算出，外出時隨身攜帶現金（單位：元）。 正如莖葉圖所示，規則是：隨身攜帶。 現金在100元以下（不含100元）的為“移動支付用戶”，其他為“非移動支付用戶”。 （1）根據上述樣本數據，完成列聯表并確定其置信度有多大。您認為“移動支付人群”與“性別”相關嗎？ (2) 使用樣本來估計總體。 如果從騰訊服務的用戶中隨機抽取3名女性用戶，這3名用戶中“移動支付用戶”的數量為，求隨機變量的期望和方差； （3）某商場為了推廣移動支付，推出了兩項優惠計劃。 方案一：移動支付每消費1000元，可直接優惠100元； 方案二：移動支付每消費1000元，即可獲得2次抽獎。 每次獲勝的概率是相同的。 并且每次抽獎之間互不影響。 中獎一次可享受 10% 的折扣，中獎兩次可享受 15% 的折扣。 如果您打算使用移動支付購買一款價值1200元的產品，請從實際支付金額的數學預期角度進行分析，選擇哪一款。 哪種折扣計劃更劃算？ 附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82821． (12分) 已知 , 是正數，并證明： (1)； (2).22。 （10分）2018年，山東省高考全面實行“選科”模式（即語文、數學、外語為必修科目，物理、化學其余六科中任意三科、歷史、地理、生物、政治都會選考）。 為了了解學生對物理的偏好，某高中從一年級學生中隨機抽取了一些人做了一項調查。 統計顯示，有的男生喜歡物理，有的男生不喜歡物理； 有些女孩喜歡物理，有些則不喜歡。 有些人喜歡物理。 （1）根據這些信息，我們可以判斷“喜歡物理與性別有關”是否存在確定性； （2）為了了解學生選科的理解，年級決定召開學生座談會。 現在，從男學生和女學生的人數（男女喜歡物理）中，選擇著名男學生和著名女學生參加座談會，記錄參加座談會的喜歡物理的人數如，查找分發列表和期望。，其中。
參考答案 1、選擇題：本題共12題，每題5分，共60分。 每題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。 1. C 【分析】設圓的半徑為1，則，故選C。 2. C 【分析】根據命題的否定，可寫：，故選C.3。 一【分析】
首先利用復平面上復數對應的點關于虛軸對稱得到，然后利用復數的除法來求解。 【詳解】由于復數在復平面上對應的點關于虛軸對稱，且為復數，所以選：A 【求點】本題主要考查復數的基本運算和幾何意義，為一個基本問題。 4.B【分析】
，代入即可求出公差d，然后可利用等差數列的前n項和公式進行計算。 【詳細解釋】 由已知,,,,so,解為或(離開),so,。 因此，選擇：B。 【要點】本題考查等差數列的前n項和公式，考查等差數列基本量的計算。 這是一個簡單的問題。 5.B 【分析】因為有2個正品，2個次品。 選擇2件同時獲得正品的概率為P1=1C42=16，即如果命題p是錯誤的，則 ?p是正確的； 選取邊長為4的正方形ABCD中的任意一點M來強調：本題運用經典概率公式、幾何概率公式以及命題組成的復合命題真假判斷（包括or、and、not等連接詞）等）有機地結合在一起，旨在考察命題真假判斷、經典概念、計算公式的特點和應用、幾何概念的特點和應用等知識和方法的綜合運用。計算公式以及分析和解決問題的能力。 6、【解析】分析：變形可知an_an+1=2anan+1，進一步可知可以采用分裂項抵消法求和。 詳細解釋：∵，∴，且∵=5試題，∴，即∴，∴序列的前幾項之和為，所以選A。 畫龍點睛：分項消除法是最常用的一種難以掌握的求和方法。 原因是有時很難找到分割項的方向。 克服這一困難的方法是根據配方的結構特點。 常見的分項技術：（1）； (2); (3); (4); 另外，需要注意的是，在拆分項后取消的過程中，很容易出現項缺失或多項的問題，從而導致計算結果不正確。 7.D【分析】題 分析：從題中,,,選擇D。測試點：集合上的運算 8.B【分析】
根據題意，可以得到，，答案就解決了。 【詳細解釋】，，解為or（丟棄）。 因此，我們選擇：。 【重點】本題考查等比數列的計算，旨在測試學生的計算能力。 9、D【分析】
根據條形圖或折線圖中包含的數據對選項進行一一分析，從而得出描述不正確的選項。 【詳細解釋】對于選項A，根據折線圖可以看出，深圳的變化最小，而根據條形圖，北京的均價最高，所以選項A的描述是正確的。 對于選項B，根據折線圖可以看出，天津往返機票均價變化最大，因此選項B的描述是正確的。 對于選項C，根據條形圖可知上海和廣州的往返機票均價基本相當，因此選項C的描述是正確的。 對于選項D，根據折線圖可知，與上年同期相比試題，除深圳外，其他5個城市的往返機票均價均在上漲，因此選項D的描述是錯誤的。 因此，選擇：D 【找點】本題主要考查基于條形圖和折線圖的數據分析，是一道基礎題。 10.D【分析】
“是是充分非必要條件”相當于“是是充分非必要條件”，即中間變量的取值集合是取值集合的真子集????的中間變量。 【詳細解釋】從題意來看：可以簡化為，，所以中間變量的取值集合是中間變量的取值集合的真子集，所以。 【指向點】利用原命題及其反命題的等價性，將充分條件和非必要條件轉換為“是”，使問題變得容易解決 .11． 一【分析】
利用等差數列的求和公式以及等差數列的性質可以得到。 [詳細解釋]。 因此，選擇：。 【要點】本題考察等差數列的求和公式及等差數列的性質，考察基本量的計算，易難易。 12.C【分析】
首先求導函數。 如果上面的函數單調遞減，則它始終為真。 將導函數的不等式轉換為二次函數。 結合二次函數的性質和圖像，我們可以求解不等式組。 【詳細解釋】根據題意，，令 ，則 ，所以上式始終成立； 結合圖像可知 , ，解為 。 因此，選：C。 【求點】本題考查求三角函數的單調區間。 求三角函數單調區間的兩種方法：（1）代換替換法：將包含自變量的相對復雜的三角函數的代數表達式視為角（或），利用基本三角函數的單調性來求解級數不平等； (2)圖像法：畫出三角函數的正弦和余弦曲線，結合圖像求其單調區間。 2、填空題：本題共有4題，每題5分，共20分。 13.【分析】
根據向量投影的定義，可以得到兩個向量夾角的余弦值，從而得到夾角的大小。 【詳細說明】 方向上的投影，即夾角為。 所以答案是：。 【求要點】本題考察求向量之間的角度。 掌握矢量投影的定義是解決問題的關鍵。 14.【分析】
對第一位奇數和偶數進行分類討論，利用逐級乘法計數原理和分類加法計數原理得出結果。 【詳細說明】①如果第一位是奇數，則第一、第三、第五位的數字都是奇數。 剩下的三位數字都是偶數。 此時，符號條件中的自然數個數為1； ②如果第一位是偶數，第一位不能是，可以放在第三位或第五位上，第二位，四位或六位上的數字是奇數。 此時滿足條件的自然數的個數為 ，對于數字排列問題，要注意第一位數字的分類討論，逐級乘法計數和分類加法原理的應用數數，考的是計算能力，屬于中等水平的題。 15.【分析】
首先判斷該函數是定義在定義域上且在定義域上單調遞增的奇函數。 因此，不等式對于任何常數都成立，可以轉化為上面的常數。 然后建立一組不等式，通過求解即可得到答案。 【詳細解釋】解：函數的定義域為，且，函數為奇函數，當，函數，顯然此時函數為增函數，函數為定義于上的增函數，不等式為，始終成立，解決方案必須。 所以答案是。 【亮點】本題考查函數單調性和宇稱性的綜合應用，考查不等式的恒成立性。 這是一個常見問題。 16.【分析】
使用定量乘積簡化平方運算即可得到解。 【詳細解釋】因為、、、所以、∴、∴、因為所以。 所以答案是：【重點】本題主要考查平面向量的定量乘積的運算規則，考查向量角度的計算，旨在考查學生對這些知識的理解和掌握。 3.回答問題：總分70分。 答案應包括書面解釋、證明過程或計算步驟。 17. (1) 參見分析； (2) 參見分析。 【分析】分析：（1）先證明，再證明FG//Plane PBD。 (2) 先證明平面，再證明BD⊥FG。 詳細說明： 證明： (1) 連接PE，因為G.和F是EC和PC的中點，并且是平面，平面，所以平面(II)由于菱形ABCD，所以，PA⊥平面ABCD ，平面，所以， 因為平面，平面，和，平面，平面，∴BD⊥FG。 要點：（1）本題主要考查空間位置關系的證明，旨在考查學生對這些基礎知識的掌握程度以及空間想象轉化的能力。 (2)證明空間位置關系，一般有幾何方法和矢量方法。 這道題用幾何方法比較方便。 18.（1）見分析（2）【分析】
(1)利用面的垂直性定理來證明平面，從而證明平面。 根據圓的幾何性質，證明它，從而證明平面。 (2)確定三棱錐體積最大時點的位置。 建立空間。 在笛卡爾坐標系中，通過平面和平面的法向量計算二面角的余弦。 【詳細解釋】 （1）證明：因為平面是正方形，所以平面。 因為飛機，所以。 因為該點是直徑的一半 在圓弧上，所以。 而且，在飛機上也是如此。 (2) 解：顯然，當該點位于 的中點時，面積最大，三棱錐的體積也最大。 我們假設中點分別為 、 作為原點。 的方向是軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，然后，設平面的法向量為，則令，我們得到。 設平面的法向量為，則設，我們得到，所以。從圖中可以看出，二面角是銳角，所以二面角的余弦為。 【找點】本題主要考查線與面垂直的證明，考查二面角的方法，考查空間想象和邏輯推理能力。 這是一個中等范圍的問題。 19、（1）99%確定參與新生接收意愿與性別相關； (2) 詳見分析。 [分析]
(1)經過計算，并得出結論； （2）根據分層抽樣原則，可以得到男孩和女孩的數量，通過超幾何分布概率公式可以得到所有可能值對應的概率，從這一列就可以得到分布； 根據數學期望計算公式，可以計算出期望。 【詳細說明】（1）觀察∵值，可以肯定參與新生的接待意愿與性別有關。 （2）按分層抽樣方法：有男生，有女生。 被選中的人中，有一些男生，也有一些女生。 那么可能的值為、、、、、分布如下：。 【亮點】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布序列以及數學期望的解； 關鍵是能夠明確隨機變量服從超幾何分布，然后利用超幾何分布概率公式得到每個隨機變量值對應的概率。 20.（1）參見列聯表分析，99%； (2)、(3)第二種優惠方案性價比更高。 [分析]
（1）根據已知數據繪制列聯表，然后根據獨立性檢驗得出結論； （2）有數據表明，女性中“移動支付用戶”的概率為，且服從二項分布，即可以求得其期望和方差； （3）如果您選擇選項一，則需要支付人民幣。 如果選擇方案二，假設實際支付金額為人民幣，那么 的值為 1200, 1080, 1020。找到實際支付預期，然后比較兩個計劃中支付金額的大小，即可確定選擇的方案計劃。 【詳細解釋】（1）由已知，我們可以得到關聯表：因此，有99%的把握“移動支付群體”與“性別”相關； （2）有數據顯示，女性中“移動支付用戶”的概率為，，； （3）如果您選擇選項一，則需要支付人民幣。 如果選擇方案二，假設實際支付人民幣，那么數值是1200, 1080, 1020,,,，選擇第二種優惠方案更劃算 【發現點】這道題考的是獨立性測試，期望值和二項式分布的方差，以及由期望值確定的決策方案，這是一道中題。 21. (1) 證明參見分析； (2) 證明見分析。 [分析]
(1) 利用均值不等式可以證明； (2)利用并結合即可證明。 【詳細解釋】（1）∵，同理還有，，∴。 (2)∵、∴。 同樣的理由是，.∴。 【亮點】本題測試利用均值不等式來證明不等式。 涉及到的魔法是一道綜合性的中檔題。 22.（1）我確信喜歡物理與性別有關； (2) 參見通訊組列表分析。 [分析]
（1）根據問題給出的信息，列出列聯表，計算觀測值，并與臨界值表進行比較得出結論； （2）假設參加座談會的人中，有喜歡物理的男學生，有女學生。 那么，所有確定的值都是、、、、。 根據計數原理計算每個對應的概率，只需列出分布列即可計算期望。 【詳細說明】（1）根據給定條件，列聯表如下：喜歡物理和不喜歡物理的男性和女性總數為總和，因此有一定的置信度認為喜歡物理與性別有關； (2) 假設參加研討會的人中有喜歡物理的男性。 有同學，也有女同學，那么，從題意可以看出，所有可能的值為,,,,。 ,,,,。 所以分布是：所以。 【重點】本題考察離散隨機變量的獨立性檢驗和概率分布序列。 離散隨機變量的期望。 這是一個中間問題。