1. 三種基本彈性物體 1. 彈簧
1678年，英國物理學家羅伯特·胡克在實驗中發現，彈簧的彈力F與彈簧長度的變化成正比，即F=kΔx，其中k為常數，為彈簧的剛度系數。目的。 Δx和F都是矢量，這意味著彈簧在伸長和壓縮時會提供兩個不同方向的力，因此彈簧可以提供拉力或支撐力。 胡克的工作向人們介紹了彈性物體的實驗結果，為材料力學和彈性力學的發展奠定了基礎。
胡克之后，又進行了大量的工作不斷豐富這一理論： 1、只有當彈簧處于彈性變形范圍內時，彈力才與變化量成正比。 當力超過一定值時，彈簧甚至會斷裂； 2、許多固體材料在一定的力范圍內，其力與變形之間存在線性關系； 3. 此外，還可以繪制材料的力和變形圖。 從受力到斷裂整個過程的應力應變曲線分為四個階段：彈性階段、屈服階段、應變硬化階段和頸縮斷裂階段； 4、在實際工程設計和荷載驗證過程中，通常會留有足夠的余量，因此材料一般工作在彈性階段。
2. 桿
棒是上述固體材料的一種表現形式。 就像彈簧一樣，它既能提供拉力，又能提供支撐力。 當桿受到這些力的作用時，不可避免地會產生變形，因此拉力和支撐力本質上都是彈性。 桿和彈簧之間的區別在于，當受到與彈簧相同的力時，桿變形很小。 換句話說，桿的“剛度系數”（更準確地稱為彈性模量）非常大。 圖片上的表現可能是：
另外，桿和彈簧的受力方向也不同。 由桿提供或接收的力可能不是沿著桿的方向。 也就是說，桿不僅能抵抗拉壓（沿桿的軸向力）、抵抗彎曲（垂直于桿的徑向力），而且還能抵抗扭轉。 （繞軸的圓周力）。 當然，高中物理不會考慮畸變。 請記住，作用在桿上的力不一定沿著桿。 實際問題常常涉及將力分解為沿桿的方向和垂直于桿的方向。
3.繩子
繩子是人類的一項偉大發明。 本來就脆弱的麻，捻成繩子后卻能承受很大的拉力。 當然，繩索在受到拉力時不可避免地會發生變形。 在一定范圍內，變形也可以認為與力的大小成正比。
與桿一樣，繩索的“剛度系數”很大，因此繩索受力時變形很小。
與桿不同，繩索只能提供拉力而不能提供支撐力，并且作用在繩索上的力的方向必須沿著繩索。
2. 剛性假設
前面我們提到，桿和繩的“剛度系數”非常大，在力-位移圖像中體現為一條斜率非常大的直線。 為了簡化問題（并使問題更容易表述），通常假設我們有一根剛性桿和一根剛性繩。 那么，什么是剛性桿和剛性繩呢？ 桿和繩索的剛度假設如何簡化問題？ 剛性假設引入了什么樣的約束？
經過思考，我認為剛性桿和剛性繩的假設意味著：
“剛度系數”等于無窮大；
受力時，變形量等于0；
桿或繩上的每一點在沿桿或沿繩的方向上具有相同的速度；
如果拉力方向上的力F取為正，則剛性繩相當于一根滿足約束F≥0的剛性桿。
補充說明：假設3只是假設速度相等，但加速度不一定相等。 考慮在繩子或桿的牽引下進行圓周運動的情況。 此時，繩索上各點沿繩索方向的速度為0。但是，由于垂直于繩索的方向存在速度，因此沿半徑各點的向心加速度是不同的。
在這樣的假設下，我們提供給剛性桿和剛性繩的力可以在瞬間發生變化。 這就是力突變的問題。 下圖顯示了彈簧和繩索提供的力與時間的函數關系：
到目前為止，我們已經介紹了三種基本的彈性物體，并介紹了剛度假設。 剛性桿、剛性繩和彈簧的受力特性總結如下表：
模型的力方向、力類型和力可以變異嗎？
剛性桿
不一定沿著桿
能夠承受緊張和壓力
力量可以變異
剛性繩索
沿著繩子
能承受拉力
力量可以變異
春天
沿著春天
能夠承受緊張和壓力
力量不能變異
由于剛繩的力必須沿著繩子的方向，并且可以變異，彈簧的力也必須沿著彈簧的方向，并且不能變異，所以它們經常放在一起來分析（chu）和分析（ti）。 我們先來看看繩子和彈簧的突變。 直觀的動畫：
3. 例題
問題1：球A、B的質量均為m。 初始力是平衡的。 當繩子a突然被切斷時，繩子b所受的力是多少？
這個問題的答案在上面的動畫中已經給出了。 切斷a后，繩子b上的力為0。
但我們還是想用剛度假設來簡單推導，建立初始狀態下的平衡方程。 我們有
T_{b}=mg\ T_{a}=T_{b}+mg
割斷繩子后，在假設條件成立的前提下建立牛頓第二定律方程（以垂直向下為正），有
mg-T_b^{'}=ma_B\ mg+T_b^{'}=ma_A
根據剛繩假設，此時球A和球B都沒有水平速度，所以a_A = a_B，所以T_b^{'}=0，滿足T_b^{'}geq0的條件，是解到這個方程。
問題2：球A、B、C的質量均為m。 它們最初是平衡的。 如果繩子a突然被切斷，求A、B、C的加速度。
與問題1相同的思路，我們建立球A、B、C在初始狀態和剪切后狀態的方程。
處于平衡狀態時有：
T_a = T_b + mg\ T_b = mg + \ = mg
切斷繩子 a 后，繩子 b 的力會發生變異，假設力變異為 T_b^{'} （滿足約束 T_b^{'}geq0）。 彈簧的力不能突然改變，所以仍然是F_。 球C上的力仍然平衡，加速度為0。
left{begin{array} { c } { { mg } + { T } _ { { b } } ^ { prime } = { ma } _ { { A } } } \ { mg + F _ { text { 炸彈 } } - { T } _ { { b } } ^ { prime } = { ma } _ { { B } } } \ { mg - F _ { 文本 { prime} } = 0 } end{array} left{begin{array}{c} {mg}+{T}_{{b}}^{prime}={ ma}_{{A}} \ 2 m g-{T}_{{b}}^{prime}={ma}_{{B}} end{array}right 。正確的。\
根據剛繩假設，此時球A和球B都沒有水平速度高中物理彈簧長度與力，則a_A = a_B，所以T_b^{'}=0.5mg，滿足T_b^{'}geq0的條件，為這個方程的解。 所以a_A=a_B=1.5g，a_C=0。
問題3：最初，球在繩索a和b的拉力下保持平衡。 兩根繩子之間的角度為θ。 如果繩子a突然被切斷，問繩子b的力會發生什么變化。
初始狀態下，球A在重力、繩索a的拉力和繩索b的拉力的作用下保持平衡。 切斷a繩后，a繩的張力瞬間消失。 因為角度的存在，此時A球無法保持平衡，必須有加速度。 球A加速度的大小和方向與繩索b突變的大小有關。 乍一看，繩子B的力的任何突然變化似乎都是合理的，但無論如何它已經不平衡了。
但根據剛繩假設，球 A 在剪切瞬間的速度為 0，因此做圓周運動所需的向心力為 0，因此繩索 b 方向的加速度（向心加速度）為 0，即即，力沿繩索b的方向施加。 平衡。 鑒于此，我們不妨沿繩子b的方向和垂直于繩子b的方向建立坐標系，分別建立初始狀態和繩子a切斷后狀態的平衡方程和牛頓第二定律方程。
初始狀態：
T_b + T_acostheta = mgcosalpha\ T_asintheta = mgsinalpha
剪斷繩子后：
mgcosalpha = T_b^{'}\ mgsinalpha = ma
因此，T_b^{'}=T_b+T_acostheta，要分析繩b前后張力的變化，只需看T_acostheta的情況即可。 顯然，當theta, 0">T_acostheta>0時，T_acostheta=0，T_b^{'}=T_b；當90^時。">theta>90^。 , T_b^{'};
問題4：球A、B的質量均為m。 它們最初在繩索 a、b 和 c 的張力下保持平衡。 當a突然被切斷時，繩索b和c的張力發生變化。
這道題是題1和題3的結合體，高中物理練習冊上沒有找到。 我不確定正確答案是什么。 下面的解法仍然采用剛性繩的假設，然后得出最終的結論。 如果剛性繩的假設不正確，那么結論也將是錯誤的。
初始狀態：
致A：
(T_c+mg)cosalpha=T_b+T_acostheta\ (T_c+mg)sinalpha=T_asintheta
致乙：
T_c=毫克\
切斷繩子a后，沿繩子b方向的力平衡。 原因與問題3相同，垂直于繩索b的方向有加速度：
致A：
(T_c^{'}+mg)cosalpha=T_b^{'}\ (T_c^{'}+mg)sinalpha=ma_A
致乙：
mg-T_c^{'}=ma_B\
對于與繩索c相連的兩個球，球A的加速度垂直于繩索b的方向，而球B的加速度只能沿著繩索c的方向。 要使繩索 c 滿足剛性繩假設，只能是 a_B=alpha 。
首先確定繩索c的受力變化，即T_c^{'}與T_c之間的關系。
取決于
left{begin{array}{c} T_{c}=mg \ m g-T_{c}^{prime}=m a_{B} \ a_{B}=a_{A} cos alpha end{數組}right.\
必須
T_{c}-T_{c}^{prime}=m a_{A} cos alpha=2 T_{c} sin alpha cos alpha\
所以
T_{c}^{prime}=T_{c}-2 T_{c} sin alpha cos alpha=T_{c}(1-2 sin alpha cos alpha)=T_{c }(1-sin 2 alpha)\
因為 alpha inleft(0^{circ}, 90^{circ}right) ，所以 sin2alpha inleft(0, 1right) ，所以 T_c^{'} ，繩索 c作用在其上的力就變小了。
接下來分析繩子b更復雜的力變化，即T_b^{'}與T_b的關系。
一個已知的
left{begin{array}{c} left(T_{c}^{prime}+mgright) cos alpha=T_{{b}}^{prime} \ left (T_{c}+mgright) cos alpha=T_{b}+T_{a} cos theta end{array}right.\
和
left{begin{array}{c} T_{c}=mg \ T_{c}^{prime}=T_{c}(1-sin 2 alpha) end{array}right .\
所以
left{begin{array}{c} {[mg(1-sin 2 alpha)+mg] cos alpha=T_{{b}}} \ 2 mg cos alpha=T_ {b}+T_{a} cos theta end{array}right.\
所以
T_{{b}}^{prime}-T_{b}=[mg(1-sin 2 alpha)+mg] cos alpha-2 mg cos alpha+T_{a} cos theta=T_{a} cos theta-m g sin 2 alpha cos alpha
因此，繩索b上張力的變化將由θ角和α角的條件決定。 因為 alpha inleft(0^{circ}, 90^{circ}right) ，所以 sin2alpha inleft(0, 1right) ， cosalpha inleft(0 , 1right)，所以 α cosalpha 一定大于 0。此時，繩索 b 的張力保持不變的臨界角將不再等于 90 度，而是小于 90 度。
問題5：球通過一根長度為L的繩子懸掛在天花板上，它從高處開始下降。 懸掛點下方L/2處有一釘子。 分析一下，當球在正下方擺動，繩子撞到釘子時，繩子上會發生什么？ 力量的變化。
當球到達最低點時，它有速度v和向心加速度a_n，因為速度不能突然改變高中物理彈簧長度與力，但圓周運動的半徑從L變為L/2。 根據
a_{n}=frac{v^{2}}{R}\
此時，向心加速度突然變為之前值的兩倍，突變前繩子所受的力為
T=mg+mfrac{v^2}{L}\
突變后繩子上的力為
T^{'}=mg+2mfrac{v^2}{L}\
擺模型張力的補充變化：
初始狀態下，球從開始擺動，在任意thetainleft(-,\right)處繪制拉力T的圖像。
在處，受力分析為：
T_0=mgcos\
在θ處，力分析為：
T=mgcostheta+mga_n\
向心加速度
a_n=frac{v^2}{L}\
根據機械能守恒定律
mgleft(L cos theta-L cos {0}right)=frac{1}{2} mv^{2}\
結合我們得到的四個方程
T=theta-\
函數圖為
4. 展開
第4題本身只是隨機抽簽。 初衷是想把它結合起來。 突然我意識到這是一個雙擺模型。 然后我想起了理論力學課上的場景，想把桿連接的雙擺模型的方程放出來。 供大家體驗。
約束方程
left{begin{array}{c} x_{1}=l_{1} sin {1} \ y_{1}=-l_{1} cos {1} \ x_{2 }=l_{1} sin {1}+l_{2} sin {2} \ y_{2}=-l_{1} cos {1}-l_{2} cos { 2} end{數組}right.\
速度方程
left{begin{array}{c} dot{x}_{1}=dot{{1}} l_{1} cos {1} \ dot{y}_{1 }=dot{theta}_{1} l_{1} sin {1} \ dot{x}_{2}=dot{theta}_{1} l_{1} cos {1}+dot{theta}_{2} l_{2} cos {2} \ dot{y}_{2}=dot{theta}_{1} l_{1 } sin {1}+dot{{2}} l_{2} sin {2} end{array}right.\
勢能方程
V=+\
動能方程
{T}=frac{1}{2} {~m}_{1} {v}_{1}^{2}+frac{1}{2} {~m}_{ 2} {v}_{2}^{2}=frac{1}{2} {~m}_{1}left(dot{{x}}_{1}^{2 }+dot{{y}}_{1}^{2}right)+frac{1}{2} {~m}_{2}left(dot{{x}} _{2}^{2}+dot{{y}}_{2}^{2}right)\
根據拉格朗日方程
fractxrzbvzd{dt}left(frac{ L}{ dot{theta}_{i}}right)-frac{ L}{ {i}}=0 L=電視
最終的簡化形式為
left{begin{array}{c} left({m}_{1}+{m}_{2}right) l_{1} ddot{theta}_{1}+ {m}_{2} l_{2} ddot{theta}_{2} cos left({1}-{2}right)+{m}_{2} l_{ 2} dot{theta}_{2}^{2} sin left({1}-{2}right)+left({m}_{1}+{m} _{2}right) g sin {1}=0 \ {~m}_{2} l_{1} ddot{theta}_{2}+{m}_{2} l_{1} ddot{theta}_{1} cos left({1}-{2}right)-{m}_{2} l_{1} dot{theta} _{1}^{2} sin left({1}-{2}right)+{m}_{2} g sin {2}=0 end{array}right 。
根據這兩個偏微分方程，我們可以積分得到任意時刻和的值，從而知道兩個球的位置。 雙擺模型的運動大致是這樣的：
然而，這兩個微分方程受初始值的影響很大。 如果初始值稍有變化，球的最終軌跡就會完全不同。 這類對初始值具有敏感依賴性的系統稱為混沌系統。 下面的動畫展示了12個雙擺系統在不同初始值下的運動。
5. 后記
課堂上，為了便于分析問題，我們接觸到了很多理想的物體和狀態，包括“同質的、可以抽象為粒子”的小球、“光滑到能產生摩擦力”的塊體等。為0”，“受力后不發生變化”發生變形的剛體。 然而，世界上不存在理想的物體，甚至不存在確定的狀態。 我們生活的世界本身就是混亂的，我們也是混亂的一部分。 在這個世界上，你現在的每一個小舉動，都可能引領你走向不一樣的未來。
一想起來，萬千河山就起來了。