A.狹義相對論
經典力學中對空間和時間的物理解釋
從物理的觀點來看，幾何學是一些定律的總和，由這些定律能把相互靜止的剛體置于彼此相對的位置上（比如，一個三角形由三條端點永遠連接的桿組成）。人們設定用這種解釋，歐幾里得定律是有效的。在這種解釋中，“空間”原則上是一個無限的剛體（或框架），其他的物體是與之相關聯的（參照系）。解析幾何（笛卡爾）用三個相互正交的剛性桿作為參照體表現空間，在這些剛性桿上通過垂直投影這一熟悉的辦法（利用剛體的單位尺度），便測得空間點的“坐標”(x,y,z)。
物理學研究空間和時間中的“事件”。每一個事件不僅有自己的空間坐標x，y，z，還有一個時間值t。后者被認為可利用一個其空間大小可以忽略（作理想周期循環）的鐘來測得，這個鐘C被看作在坐標系中一點，例如在坐標原點(x=y=z=0)處是靜止的，在空間點P(x,y,z)上發生的事件的時刻便被規定為與事件同時的鐘C所顯示的時刻。在這里，假定“同時”的概念無需專門的定義就有物理上的意義。這種精確性的缺乏似乎是無害的，只因光（其速度在我們日常經驗看來幾乎是無限的）使得空間上分開的事件的同時性看起來能被立即加以確定。
通過利用光信號來從物理上定義同時性，狹義相對論消除了這個精確性的缺乏。在P點發生事件的時間t就是從該事件發出的光信號到達時鐘C時從C上讀的時間。考慮到光信號通過這一距離所需事件，對這一時刻進行了修正。在做這種修正時，（假定）光速為常數。
這個定義把空間上分開的兩個事件的同時性概念歸化為在同一地點發生的兩個事件（即光信號到達C和C上的讀數）的同時性（符合）。
經典力學以伽利略原理為基礎，即：只要其他物體對其沒有作用，一個物體總是作直線勻速運動。這一陳述并非對于任意運動的坐標系都是正確的，它僅能適用于所謂的“慣性系”。慣性系互相作直線勻速運動。在經典物理學中，所有定律僅僅對全體慣性系才能說是適用的（狹義相對性原理）。
現在便很容易理解導致產生狹義相對論的那個窘境。經驗和理論都逐漸使人確信，光在真空中總是以不變的速度C傳播，而與光的顏色及光源運動狀態無關（光速恒定原理——以下稱為“L—原理”）。然而基本的直觀考慮似乎表明同一光線不可能相對所有慣性系都以同樣的速度C運動。L—原理似乎同狹義相對性原理發生了矛盾。
但實際上這個矛盾不過只是一個表面現象，它實質上是基于對事件的絕對性，或對空間分開的事件的同時性的偏見之上。我們剛剛看到，一個事件的x,y,z和t目前只能相對于某一個選定的坐標系（慣性系）來確定。如果沒有特定的物理假設，從一個慣性系過渡到另一個慣性系而實現事件的x,y,z變換（坐標變換）是不可能的。然而，下面的假定卻恰好足以作為一種解決方案；L—原理對所有慣性系都成立（狹義相對性原理對L—原理的應用）。由此而確定的關于x,y,z,t的線性變換稱為洛侖茲變換。洛侖茲變換在形式上以由兩個無限靠近的事件的坐標差dx,dy,dz,dt構成的表達式 不變為特點（即通過變換之后，由新坐標系中坐標差構成同樣的表達式）。
有了洛侖茲變換，狹義相對論原理可以表述為：自然規律對于洛侖茲變換都是不變的（即，若通過x,y,z,t的洛侖茲變換對某個自然規律引進一套新的慣性系，則此自然規律不會改變其形式）。
狹義相對論引發了對空間和時間的物理概念的清晰理解。與之相關的，也引發了對運動著的測量桿和測量鐘的行為的認識。它在原則上去掉了絕對同時性的概念，從而也擺脫了牛頓意義上的遠距離瞬間作用的概念。它表明了當處理運動速度同光速相比不是小得可以忽略的運動時，如何對運動規律進行修改。它導致了麥克斯韋的電磁場方程組形式上的澄清，尤其是它還引發了對電場和磁場本質上的同一性的理解。它把動量守恒和能量守恒這兩個規律統一起來，從而展示了質量和能量的等效性。從形式的觀點上看，人們可以這樣來刻劃狹義相對論的成就：它概括地表明了普適常數c（光速）在自然規律中扮演的較色，同時展示了以時間為一方，空間坐標為另一方，兩者進入自然規律的方式之間存在著密切聯系。
B.廣義相對論
狹義相對論把經典力學的基礎限定在一個基本點上，即下列論斷：自然規律僅對慣性系成立。“允許的”坐標變換即那些使規律形式不變的變換只有（線性）的洛侖茲變換。這類限制真的有物理事實根據嗎？下面的論證令人信服地否定了它。
等效原理。物體具有慣性質量（對加速度的抗性）和重的質量（它決定物體在特定引力場，比如地球表面場中的重量），這兩個從定義上看來如此不同的量，但按照經驗，是用一個同樣的數值來度規的。對此，一定有更深層的原因。這一事實也可這么來表述：不同質量的物體在同一引力場中得到相同的加速度。最后，它也可以這樣表述：物體在引力場中的行為可以和沒有引力場情況下相同，只要后一情形所用的參照系是一個勻加速坐標系（而不是慣性系）。
因而，似乎沒有理由禁止對后一情形作如下的解釋。人們把這個坐標系看作是“靜止的”，將相對它而存在的“表觀”引力場看作是“真實的”。由坐標系的加速度而“產生”的引力場當然具有無限的延展范圍，它不可能由有限區域的引力質量產生。然而，若我們要尋找一個類場的（field like）理論，這一事實并不妨礙我們。有了這種解釋，慣性系便失去了意義，而且我們獲得了關于引力質量和慣性質量等效的“說明”（物質的這一同一性質表現為重量或慣性，由描述方式來決定）。
從形式上考慮，承認相對原來“慣性”坐標作加速運動的坐標系也就意味著承認非線性坐標變換，進而大大推廣了不變性的思想，即相對性原理。
首先，利用狹義相對論的結果所做的深入討論表明，有了這么一種推廣，坐標不能再直接解釋為測量的結果。只有當坐標差與描述引力場的場量結合起來才能確定事件間可測量的距離。當人們發現自己不得不承認非線性變換作為等效坐標系間的變換之后，最簡單的要求看來是承認所有連續的坐標變換（它們形成一個群），也即承認任何以正則函數來描述場的曲線坐標系（廣義相對性原理）。
現在不寧理解為何廣義相對性原理（基于等效性原理之上）導致了引力理論。有一種特殊的空間，其物理結構（場）我們假設能在狹義相對論基礎上被精確得知，它是沒有電磁場和物質的空的空間（empty space），它完全由其“度規”性質所決定：以 ， ， ， 表示兩個無限接近點（事件）的坐標差，則
(1)
是一個依賴慣性系的特殊選擇的可測量的量。若通過廣義坐標變換在這個空間中引入新的坐標 ， ， ， ，那么對于同一對點的值便有了另一種表達式：
(2)
式中， 。根據等效原理，組成“對稱張量”且為 … 之連續函數的 描述了一種特定的引力場（即能夠重新變換為形式(1)的場）。從黎曼[1]對度規空間的研究，我們可以得到 場的精確數學屬性（“黎曼條件”）。然而，我們所要尋求的卻是能夠對“一般”引力場能滿足的方程。自然，假定它們也能被描述為 類型的張量場，這種場一般不允許回到形式(1)的變換，即不滿足“黎曼條件”，只滿足一些稍弱的條件，這些條件恰同黎曼條件一樣也獨立于坐標系的選擇（即是廣義不變的）。作簡單的形式考查，便能導出與黎曼條件緊密相連的弱條件，這些條件正是純引力場（存在于物質外面并且沒有電磁場）方程。自然，假定它們也能被描述為 類型的張量場，這種場一般不允許回到形式(1)的變換，即不滿足“黎曼條件”，只滿足一些稍弱的條件，這些條件恰同黎曼條件一樣也獨立于坐標系的選擇（即是廣義不變的）。作簡單的形式考查，便能導出與黎曼條件緊密相連的弱條件，這些條件正是純引力場（存在于物質外面并且沒有電磁場）方程。
這些方程以近似定律的形式給出了牛頓的引力力學方程，此外還得出一些已為觀察所證實的微小效應（星體引力場引起的光線彎曲，引力勢對輻射光線頻率的影響，行星橢圓軌道的緩慢旋轉——水星近日點運動）。進一步，它們又給出了銀河系的膨脹運動的解釋，而這一運動是那些星系發出的光線的紅移所表現出來的。
廣義相對論至今仍是不完備的，它只能較為令人滿意地把廣義相對性原則應用到引力場，而不能用于總場。我們仍不能確切知道在空間中的總場可用什么數學機制來描述，以及總場遵從何種廣義不變定律。但有一點似乎可以肯定，即：廣義相對性原理將會被證明是解決統一場問題的一個必要而且有效的工具。
