什么是拋物線？ 這真的是彈丸的軌跡嗎？ 本文簡要介紹了拋物線的數(shù)學(xué)背景，并重點(diǎn)介紹了其在物理學(xué)中的應(yīng)用。
01
拋射運(yùn)動(dòng)軌跡
拋物線的字面意思很簡單：當(dāng)一個(gè)物體被拋出時(shí)，它在空氣中畫出一條曲線。 學(xué)過高中物理的人都知道，拋射體在水平和垂直方向上分別以勻速和加速度運(yùn)動(dòng)。
假設(shè)其初速度
對(duì)角向上，與水平方向的夾角為
，但
消除時(shí)間
獲取其圖像和功能的形式為
圖像是一致的。 因此，人們把(1)形式的二次函數(shù)的曲線稱為拋物線。
02
拋物線的定義
作為平面曲線，拋物線可以通過多種方式定義。
第一個(gè)也是在高中數(shù)學(xué)中定義的，涉及一條直線（準(zhǔn)線）和一個(gè)不在直線上的點(diǎn)（焦點(diǎn)），一個(gè)與準(zhǔn)線和焦點(diǎn)在它們確定的平面上等距的點(diǎn)。 軌跡是拋物線。
另一個(gè)定義與圓錐相關(guān)，因此稱為圓錐曲線。 作為圓錐曲線的一種，它與橢圓（包括圓）和雙曲線有相同的起源，即某個(gè)平面與兩個(gè)相對(duì)圓錐體的曲面的交線。
如下圖所示，當(dāng)一個(gè)平面平行于圓錐的任意母線時(shí)，它只與其中一個(gè)圓錐面相交，交線為拋物線。
下面給出一個(gè)簡單的推導(dǎo)。
圓錐面
考慮任何通過原點(diǎn)的平面，并根據(jù)下式獲得兩個(gè)方程之間的交線方程
取該值與1的關(guān)系，我們得到三個(gè)不同的圓錐曲線，即
橢圓形
拋物線
雙曲線
如果你認(rèn)為
它是連續(xù)變化的，即上面動(dòng)畫中的曲面連續(xù)旋轉(zhuǎn)，因此可以認(rèn)為三個(gè)圓錐曲線也是依次相互靠近的。
例如，當(dāng)旋轉(zhuǎn)平面與圓錐體的母線趨于平行時(shí)，交線可以理解為一個(gè)橢圓，其長軸（焦點(diǎn)）逐漸延伸（移動(dòng)）到無限長（遠(yuǎn)），即拋物線。 換句話說，當(dāng)橢圓的長軸很長時(shí)，沿著長軸一端的部分更接近于拋物線。
上述定義來自古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼烏斯。
關(guān)于古希臘數(shù)學(xué)家，大家可能都知道畢達(dá)哥拉斯，但是卻沒有聽說過這位數(shù)學(xué)家。 順便說一下，阿波羅尼烏斯被公認(rèn)為古希臘最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，另外兩位是歐幾里得和阿基米德。
在他的《論圓錐曲線》一書中，他幾乎窮盡了圓錐曲線的性質(zhì)。 近兩千多年來，沒有后人插手的余地。 直到17世紀(jì)，法國的帕斯卡和笛卡爾才獲得新的突破。
從數(shù)學(xué)上定義圓錐曲線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離之比
是偏心率。顯然，上面第一個(gè)定義是基于
定義拋物線如果
小于或大于 1 分別定義橢圓和雙曲線。 在第二個(gè)定義中，
正是與
相應(yīng)地，這兩個(gè)定義本質(zhì)上是相同的。
03
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程
如上式(1)所示，
關(guān)于
一個(gè)變量的二次函數(shù)表示
具有對(duì)稱軸的平面中的拋物線，當(dāng)
為正（負(fù)），則開口向上（向下），其最低（高）點(diǎn)坐標(biāo)為
雖然這個(gè)用二次函數(shù)表示的拋物線方程簡單實(shí)用，但從定義上來說它并不是標(biāo)準(zhǔn)的拋物線方程。
根據(jù)拋物線準(zhǔn)線和焦點(diǎn)的定義，設(shè)準(zhǔn)線到焦點(diǎn)的距離為
，以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線中點(diǎn)為原點(diǎn)，根據(jù)兩軸與準(zhǔn)線的關(guān)系，分別在平行和垂直于準(zhǔn)線的方向上畫出兩條軸
和
通過不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到如下四種標(biāo)準(zhǔn)方程。 通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，式(1)形式的拋物方程與標(biāo)準(zhǔn)形式可以相互轉(zhuǎn)換。例如，式(1)可以化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式
通過比較可以看出，只要以拋物線的頂點(diǎn)作為新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，只需進(jìn)行坐標(biāo)平移即可得到標(biāo)準(zhǔn)方程。
雖然方程（1）不是標(biāo)準(zhǔn)方程，但其形式給出了數(shù)學(xué)中最簡單的非線性關(guān)系。 我們知道
這是一個(gè)線性關(guān)系。 對(duì)于單個(gè)自變量，添加二次項(xiàng)使其呈非線性。 因此，拋物線是非線性科學(xué)中最原始的數(shù)學(xué)模型。
04
第一個(gè)小測(cè)試示例
好了，拋物線的定義和函數(shù)形式已經(jīng)介紹完了。 現(xiàn)在讓我們看一個(gè)非常有趣的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。
設(shè)一定的寬度為
這條河的流速為
，船在靜水中的速度也是
，假設(shè)船從左岸出發(fā)到右岸，從開始到到達(dá)對(duì)岸，船頭始終指向?qū)Π兜哪硞€(gè)點(diǎn)。
，求船舶的軌跡。
如上圖所示，水流的速度
軸負(fù)方向，
和
分別代表水的速度和靜水中船的速度。
總是指向
觀點(diǎn)，
是船相對(duì)于岸的速度。
假設(shè)船在河里的某個(gè)地方。 這時(shí)，它和
連接線的點(diǎn)和
軸之間的角度為
，那么此時(shí)船舶相對(duì)于岸邊的速度的正交分量為 假設(shè)下游有一座橋梁，
該點(diǎn)到這座橋的距離是
，那么任意時(shí)刻船到橋的距離就是速度
沿船頭方向投影，得到該方向船舶的速度，即船舶任意時(shí)刻到達(dá)時(shí)的速度
點(diǎn)之間的距離在這個(gè)問題中是由于
， 所以
，這完全符合拋物線的定義。 橋的位置就是拋物線的準(zhǔn)線，
點(diǎn)就是焦點(diǎn)，船沿著這條拋物線航行，以目的地為原點(diǎn)。 該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為
05
拋物線的兩個(gè)性質(zhì)
拋物線的性質(zhì)非常豐富。 上面提到的阿波羅尼烏斯已經(jīng)深入探討過，我就不一一列舉了。 這里我只講一下它們的兩個(gè)屬性。
性質(zhì)1.拋物線在幾何上都是相似的，即不同的拋物線通過平移和縮放總是可以重合的。
這可能看起來違反直覺，但這是事實(shí)！ 只要兩個(gè)函數(shù)以相同的方向打開，您始終可以適當(dāng)縮放其中一個(gè)函數(shù)以使其與另一個(gè)函數(shù)一致。 簡單證明如下。
有兩條拋物線，分別在坐標(biāo)系中
和
首先對(duì)拋物線進(jìn)行坐標(biāo)平移，得到兩者的標(biāo)準(zhǔn)方程：
會(huì)再次
拋物線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
，最后對(duì)其進(jìn)行相似變換，即令
和
坐標(biāo)全部縮放到原來的
次，兩步變換如下
這使得替換
必須
，和
系統(tǒng)中拋物線的表達(dá)式完全一致，因此證明兩者相似。
事實(shí)上，沒有必要這樣證明拋物線的相似性。 由于拋物線的偏心率為 1，因此所有拋物線必須相似。
性質(zhì)2、拋物線上任意一點(diǎn)的連線與經(jīng)過該點(diǎn)且平行于對(duì)稱軸的直線所成的角平分線就是該點(diǎn)的法線方向。
拋物線如下圖
，AB是過C點(diǎn)的拋物線的切線，CD平行于
軸，那么這個(gè)屬性意味著：
。
有很多方法可以證明這個(gè)命題。 最直接的數(shù)學(xué)方法是通過解析幾何求出直線AB的方程，求出它與直線CF的夾角高中物理刀，并證明這個(gè)夾角的正切等于它的斜率。
也可以根據(jù)幾何光學(xué)來證明。 假設(shè)CD是光FC拋物線反射的光。 證明CD平行于
軸，并根據(jù)光路的可逆性，可以得到上述命題。
如下圖所示，對(duì)于F和D之間的光線，設(shè)拋物線上的反射點(diǎn)為
或者
，則對(duì)應(yīng)的光路長度分別為
由拋物線定義，拋物線上任意點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于該點(diǎn)的焦點(diǎn)半徑。 因此，根據(jù)費(fèi)馬原理：任意兩點(diǎn)之間的光程必須取最大值、最小值或常數(shù)。 這里應(yīng)該是最小值。顯然，當(dāng)C在AD的連接線上時(shí)，就滿足這個(gè)要求，所以反射點(diǎn)一定是
， 而不是
。
因此，從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后必定平行于對(duì)稱軸。 根據(jù)光路的可逆性，平行于對(duì)稱軸的光線經(jīng)過拋物面反射后也必須通過焦點(diǎn)。 命題得到證明。
基于此，我們很自然地想到，如果我們把反光面做成拋物線形狀，不就可以達(dá)到會(huì)聚光線的功能了嗎？
是的，這種拋物面就是旋轉(zhuǎn)拋物線。 它是拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)時(shí)形成的橢圓拋物線。 由于垂直于軸的截面是圓形，所以又稱為回轉(zhuǎn)拋物線。例如，函數(shù)表示拋物線
大約
由軸旋轉(zhuǎn)形成的拋物面。
通過旋轉(zhuǎn)拋物線，上述結(jié)論可以表示為：拋物線可以將平行于對(duì)稱軸的光線會(huì)聚到其焦點(diǎn)，來自焦點(diǎn)光源的光線被拋物線反射并以平行光的形式射出。
這里有一個(gè)細(xì)節(jié)問題。 由于入射光與任意點(diǎn)的法線所確定的平面，即入射面，始終與經(jīng)過該點(diǎn)的拋物線共面，因此光線不會(huì)被反射到其他方向，而始終會(huì)聚到焦點(diǎn)。 ，如下所示。
如果根據(jù)拋物面制作一個(gè)反光盤，并將其面向太陽放置，可以產(chǎn)生如下效果。
說到這里，可能有人會(huì)覺得奇怪，既然拋物面具有如此優(yōu)越的聚光特性，為什么我們?cè)诠鈱W(xué)中總是談?wù)撉蛎骁R呢？ 而不是拋物面鏡？ 難道球面鏡的聚光效果更好？
首先要指出的是，球面鏡不具有與拋物面鏡相同的聚光特性。 因?yàn)槲覀兛梢宰C明，任何能夠?qū)崿F(xiàn)聚光的曲面一定是拋物面。
如上圖所示，有任意兩條平行線
軸射線
和
，當(dāng)存在時(shí)
時(shí)間，如果一定有的話
，證明了上述結(jié)論。
簡單證明如下。
取決于
， 因此，如果
和
被視為從無窮遠(yuǎn)點(diǎn)發(fā)出的光，它在焦點(diǎn)處成像。 根據(jù)物體和圖像之間的光程相等，必須將上述兩個(gè)方程相減才能得到命題。
盡管拋物面具有出色的聚光特性，但它們有兩個(gè)弱點(diǎn)。 一方面，拋物面鏡比球面鏡更難加工。 另一方面，拋物線只能將光線聚焦到平行于軸的方向。 對(duì)于平行光方向不斷變化的情況，需要不斷調(diào)整拋物線的方向。
對(duì)于球面鏡來說，雖然光線集中度確實(shí)不太好，但通過將光線限制在近軸范圍內(nèi)，通過多個(gè)反射鏡的作用，可以獲得更好的效果。
至此，讀者應(yīng)該基本明白為什么中國貴州建造的被譽(yù)為中國天眼的射電望遠(yuǎn)鏡FAST采用球面而不是拋物面了。 那個(gè)直徑500m的大鍋如何移動(dòng)？ 它太大了，無法經(jīng)常調(diào)整方向。
但是，如果集中的不是反射光而是折射光，那么什么樣的曲面才是理想的呢？ 答案是稱為笛卡爾橢圓面的四元曲面，但它也存在加工極其困難的問題，實(shí)際意義不大。 因此，折射光成像主要依靠球面透鏡。
06
重力和拋物線
讓我們回顧一下牛頓力學(xué)中的拋物線。 正如第一節(jié)提到的，在重力場(chǎng)中，拋射體的軌跡函數(shù)是二次函數(shù)。 正是由于這個(gè)原因，我們將（1）形式的函數(shù)對(duì)應(yīng)的曲線稱為拋物線。
但問題是真實(shí)的引力場(chǎng)并不均勻。 如果不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，拋射物僅受地球引力場(chǎng)的影響。 它類似于點(diǎn)電荷的電場(chǎng)并且具有球?qū)ΨQ性。
如果我們準(zhǔn)確地考慮這種情況，那么彈丸在大范圍內(nèi)飛行（小范圍內(nèi)引力場(chǎng)的不均勻性可以忽略不計(jì)）的軌跡是否還是拋物線呢？
我們知道，與橢圓不同，拋物線是無界的，因此它描繪的運(yùn)動(dòng)范圍是無限的。 換句話說，拋物線運(yùn)動(dòng)的物體如果沒有碰到障礙物而被迫停止，它就會(huì)運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)！
然而，根據(jù)能量守恒定律，上述結(jié)論顯然是有問題的。考慮地球上的扁平物體
，如果初速度
在不超過第二宇宙速度的情況下，其初始能量必須為負(fù)值。 假設(shè)它的軌跡是拋物線，它可以毫無阻礙地飛到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 此時(shí)，其勢(shì)能趨近于零，其動(dòng)能不能為負(fù)，因此總機(jī)械能不應(yīng)小于零。 這顯然違反了能量守恒定律。
因此，上述問題的答案是否定的！ 在萬有引力這樣的平方反比向心力場(chǎng)中，低速拋射體的軌跡不可能是拋物線。
那么，這個(gè)軌跡到底是什么？
為了嚴(yán)格求解彈丸的運(yùn)動(dòng)軌跡，一般借助能量守恒和角動(dòng)量守恒對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)積分進(jìn)行計(jì)算高中物理刀，軌跡為圓錐曲線。 這就是著名的開普勒問題，這里只給出一個(gè)簡單的過程。
彈丸所受的力沿地球徑向方向，力矩為零，因此彈丸的角動(dòng)量相對(duì)于地心守恒，因此彈丸必須在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。用極坐標(biāo)坐標(biāo)系來描述（只是
和
），彈丸動(dòng)量和能量分別由（2）獲得
由(3)式，我們可以將這兩個(gè)方程相除并分離變量并積分得到符號(hào)的定義。
并對(duì) (4) 進(jìn)行積分，令
，我們可以得到，這就是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程，
和
分別是曲線的法線焦弦和偏心率。根據(jù)上面的面
從定義可以看出，拋射體在引力場(chǎng)中可能有以下三種運(yùn)動(dòng)軌跡
橢圓形
拋物線
雙曲線
如下圖所示，紅、綠、藍(lán)色曲線分別對(duì)應(yīng)橢圓、拋物線、雙曲線三個(gè)開普勒軌道。
現(xiàn)在我們可以回答前面的問題了：低速彈丸如果不受阻礙，它的彈道是橢圓！
也就是說，我隨手扔出的那塊石頭，如果不是被這該死的地面擋住了，它就會(huì)一直向下飛，繞著一個(gè)超長扁的橢圓形飛去。 過了很長一段時(shí)間，它就會(huì)再次從我身邊消失。 地面再次飛了起來。
等待！ 這是怎么回事？ 拋物線在哪里？ 拋物線真的不存在嗎？
舉例來說，如果你以第二宇宙速度（約 11.2 公里/秒）扔一塊石頭，它會(huì)以拋物線運(yùn)動(dòng)并且永遠(yuǎn)不會(huì)回來。
但對(duì)于一般的彈丸來說，嚴(yán)格來說，它的軌跡并不是拋物線，而是橢圓的一部分。
換句話說，如果你認(rèn)為“拋物線”這個(gè)詞指的是方程（1）形狀的函數(shù)表示的曲線，那么彈丸的軌跡就不是拋物線，而是更接近于橢圓。
但彈丸原本很窄的橢圓軌跡有一部分幾乎與拋物線一樣，如上圖所示。 正如前面在談?wù)搱A錐曲線的定義時(shí)提到的，拋物線可以被視為具有沿著長軸一端的非常長的長軸的橢圓的局部近似。
07
地球自轉(zhuǎn)對(duì)拋射體的影響
如果考慮地球自轉(zhuǎn)，會(huì)對(duì)拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生什么影響？
要回答這個(gè)問題，首先要明確你在觀察什么，即你的參照系是什么？
如果從地心觀察，其軌跡仍與上述結(jié)論相同。
但如果在地面上觀察，由于地面是非慣性系統(tǒng)，彈丸在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)受到科里奧利力的影響。 具體來說，北半球的物體會(huì)向右偏轉(zhuǎn)，南半球則相反。
因此，如果彈丸在空中長時(shí)間飛行，其軌跡對(duì)于地面觀察者來說并不是平面曲線，而是像傅科擺一樣，轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，形成空間曲線。
如上所述，真正的拋物線運(yùn)動(dòng)實(shí)際上并不是100%完美的拋物線。 它包括兩個(gè)“破壞性”因素： 1、根據(jù)平方反比引力定律，小于第二宇宙速度的拋射體的真實(shí)軌跡是橢圓。 ; 2、地面參考系是旋轉(zhuǎn)參考系，運(yùn)動(dòng)物體受到科里奧利力，會(huì)使拋物線發(fā)生輕微偏轉(zhuǎn)，成為空間曲線。
然而這兩方面的影響其實(shí)是非常非常小的。 只要彈丸的運(yùn)動(dòng)幅度不是很大，時(shí)間不是很長，其軌跡與完美拋物線的差別幾乎是看不見的。 因此，我們可以安全地使用拋物線來描述地球上的拋射運(yùn)動(dòng)。
08
拋物線飛行
目前，人類在地球上能經(jīng)歷的最大拋物線運(yùn)動(dòng)是多少？ 我想這應(yīng)該是飛機(jī)的拋物線飛行，一個(gè)令人著迷的太空娛樂項(xiàng)目，為乘客提供失重的飛行體驗(yàn)。
我們知道，只要你在地球表面附近，你就會(huì)受到重力的影響，而且這種力是無法消失的。 所以失重意味著別的東西：你失去了重力感。 例如，你所站立的地面不再需要支撐你，你感覺腳下很輕。
創(chuàng)造這種效果的方法是，你和腳下的地面有一個(gè)與重力加速度完全相同的加速度，這樣你的所有重力都用來提供加速度，所以不需要其他力來平衡重力，你就會(huì)失去重力感。
所謂失重飛行，也叫零重力飛行，是指飛機(jī)在飛行時(shí)，只提供抵抗空氣阻力的動(dòng)力。 換句話說，飛機(jī)只受到重力的影響。 它使乘客做自由落體運(yùn)動(dòng)，其加速度與重力加速度一致。 。
友情提示，我這里所說的“自由落體”可能與一些同學(xué)心目中的“自由落體”含義略有不同。 中學(xué)物理中，一般說“初速度為零的下落物體是自由落體”。 但很多時(shí)候，我們也把那些阻力可以忽略不計(jì)、只受重力影響的物體稱為自由落體。 例如，斜投運(yùn)動(dòng)也是自由落體運(yùn)動(dòng)。
目前提供這種零重力飛行體驗(yàn)的機(jī)構(gòu)主要有兩家：法國太空研究中心CNES旗下的公司（官方網(wǎng)站：）和美國太空探索公司旗下的Zero（官方網(wǎng)站：）。 （空間）。 這里簡單介紹一下。
據(jù)該公司官網(wǎng)介紹，他們自2015年開始使用空客A310零重力飛機(jī)為客人提供零重力飛行服務(wù)。這是目前世界上載客量和實(shí)驗(yàn)面積最大的零重力飛機(jī)。
下圖給出了A310零重力單次拋物線飛行的速度、加速度和軌跡時(shí)序的基本情況。
零重力飛行的時(shí)間就是自由落體的時(shí)間。 根據(jù)斜投運(yùn)動(dòng)，這個(gè)時(shí)間是由初速度決定的，即
是初速度的大小，
是速度的仰角。圖中給出的值為685km/h和
，計(jì)算出的時(shí)間約為29秒，但標(biāo)注的數(shù)字是22秒。 看起來這種體驗(yàn)確實(shí)有豬八戒吃人類水果的感覺，但根據(jù)官網(wǎng)介紹，一次飛行包含30次零重力體驗(yàn)。 你仍然可以玩得夠多。
從圖中可以看到，飛機(jī)加速一段時(shí)間后，已經(jīng)飛到了6000m的高度，速度約為820km/h，飛機(jī)開始在6000m的高度飛行。
超重飛行20秒后，飛機(jī)增益
仰角7600m，速度685km/h。 此時(shí)飛行員僅保留部分力量對(duì)抗空氣阻力，飛機(jī)進(jìn)入失重狀態(tài)，即開始自由落體。 也就是說，乘客的零重力體驗(yàn)從這一刻開始。 飛機(jī)進(jìn)行傾斜運(yùn)動(dòng)并上升到最大高度 8,500m。 此時(shí)飛機(jī)的速度只有380km/h，飛機(jī)的仰角消失。然后開始下降，直到俯角為
當(dāng)，失重結(jié)束。 此時(shí)，再次進(jìn)入超重力飛行20秒后，飛機(jī)進(jìn)入平飛狀態(tài)，為下一次零重力飛行做準(zhǔn)備。
所謂拋物線飛行是指飛機(jī)進(jìn)入
超重拉動(dòng)開始，直到另一個(gè)
俯沖結(jié)束時(shí)的非水平飛行過程持續(xù)了約70秒。 由于相應(yīng)的軌跡接近于拋物線，所以稱為拋物線飛行。
但正如本文前面提到的，飛機(jī)失重飛行軌跡的一段應(yīng)該是橢圓段。 因此，很容易理解，零重力飛行開始和結(jié)束時(shí)，仰角和俯角分別為
和
，拋物線飛行的軌跡應(yīng)該各有一個(gè)拐點(diǎn)（）。
正是因?yàn)檫@個(gè)原因，人們把飛機(jī)開始和結(jié)束零重力飛行的時(shí)刻分別稱為拉出，即“注入”和“退出”橢圓軌道的意思，非常形象。
以上是A310零重力拋物線飛行的基本情況。 對(duì)于美國的零號(hào)來說，他們使用的是經(jīng)過特殊改裝的波音 727 G-FORCE ONE 飛機(jī)。 拋物線飛行的基本情況如下圖所示。 情況基本類似。 如果您有興趣，可以查看其官方網(wǎng)站。
09
諧振子模型
拋物線常常可以用來逼近一些復(fù)雜函數(shù)的局部極小值，即凹區(qū)域。 一個(gè)典型的例子就是彈簧振子模型的應(yīng)用。
假設(shè)某個(gè)一維力具有由以下不規(guī)則漲落曲線給出的勢(shì)能分布。 根據(jù)力學(xué)中保守力的概念，這個(gè)力會(huì)有穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，圖中數(shù)字所標(biāo)注的位置。 如果系統(tǒng)處于這些位置，它將相對(duì)穩(wěn)定。
該系統(tǒng)與圖中的最低點(diǎn)略有偏差。 根據(jù)保守力與勢(shì)能的關(guān)系，某一點(diǎn)的負(fù)梯度，即圖中某一點(diǎn)切線斜率的相反值，就是力。 顯然，這些力量總是迫使它回到最低點(diǎn)。 觀點(diǎn)。 這看起來很像我們?cè)谡駝?dòng)中學(xué)到的簡諧振動(dòng)的恢復(fù)力，而這個(gè)彈力的勢(shì)具有拋物線的形式，所以我們很自然地可以用拋物線近似來代替這些曲線的凹點(diǎn)。 部分地。 換句話說，我們總是可以認(rèn)為一條復(fù)曲線的最小值對(duì)應(yīng)于某個(gè)頻率的彈簧振子，因此也對(duì)應(yīng)于某個(gè)頻率的振動(dòng)。
人們將這一思想擴(kuò)展到量子系統(tǒng)，因此諧振器模型被廣泛應(yīng)用于各種微觀結(jié)構(gòu)分析。
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拋物線和非線性
非線性物理學(xué)被認(rèn)為是二十世紀(jì)物理學(xué)中除相對(duì)論和量子力學(xué)之外最大的變革。 雖然它仍然遵循經(jīng)典決定論，但它有助于人類更深入地理解和認(rèn)識(shí)自然。
在講非線性之前，我們先來了解一下什么是線性。 所謂線性實(shí)際上只是一種比例的數(shù)量關(guān)系，其對(duì)應(yīng)的幾何圖形是一條直線。 也就是說，如果世界上只有線性關(guān)系，就不會(huì)有曲線。
所謂非線性英語作文，簡單來說，就是指一個(gè)系統(tǒng)。 如果其輸出與其輸入不成比例，則它是非線性的。 例如，當(dāng)彈簧的位移變得非常大時(shí)，胡克定律失效，彈簧變成非線性振蕩器。 另一個(gè)例子是擺，只有當(dāng)其角位移很小時(shí)，其行為才是線性的。 事實(shí)上，客觀世界本質(zhì)上是非線性的，線性只是一種近似。
前面提到，如果我們?cè)诰€性關(guān)系中加上一個(gè)二次項(xiàng)，即
最簡單的非線性關(guān)系構(gòu)建完畢，曲線出現(xiàn)了！ 通過二次函數(shù)，我們可以得到各種非單調(diào)波動(dòng)關(guān)系，也就是曲線。 因此，可以說拋物線是構(gòu)建非線性世界最基本的元素。
非線性關(guān)系最令人困惑和最典型的行為是混沌。 它表現(xiàn)為一種對(duì)初始值極其敏感并導(dǎo)致不可預(yù)測(cè)和隨機(jī)行為的運(yùn)動(dòng)行為。
盡管拋物線函數(shù)如此簡單，但它并不缺乏這種最典型的行為。 代表就是著名的拋物線映射，也叫映射。
映射形式是在哪里
.人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)
當(dāng) 時(shí)，映射具有混沌行為，即初始值非常小的變化就會(huì)產(chǎn)生截然不同的結(jié)果，如下圖所示。
我不會(huì)過多討論拋物線背后的非線性之謎。 推薦一本著名理論物理學(xué)家郝柏林先生寫的書，叫《從拋物線開始——混沌動(dòng)力學(xué)導(dǎo)論》。
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后記
拋物線，一條看似簡單的曲線，如此受到大自然的喜愛，絕非偶然。 例如，為什么均勻重力場(chǎng)中的平面運(yùn)動(dòng)是拋物線？
你可能覺得這個(gè)問題很明顯，但實(shí)際上，它類似于：為什么旋轉(zhuǎn)的拋物線能夠聚焦光線？ 這背后有一個(gè)深刻的自然規(guī)律在起作用。 在數(shù)學(xué)中，這稱為優(yōu)化。 在物理學(xué)中，稱為最小作用原理，也稱為漢密爾頓原理。
最小作用原理這個(gè)吸引了費(fèi)馬、伯努利兄弟、萊布尼茨、歐拉等歷史上許多偉大數(shù)學(xué)家的問題，終于成為物理學(xué)的基本原理。 物理學(xué)中著名的曲線，如擺線、懸鏈線、旋轉(zhuǎn)線、測(cè)地線、測(cè)地線等，都是由它衍生出來的。
有一個(gè)有趣的故事。 伯努利家族的頭號(hào)成員雅各布·伯努利在懸鏈線問題上浪費(fèi)了整整一年的時(shí)間卻沒有找到答案。 和伽利略一樣，他錯(cuò)誤地認(rèn)為懸鏈線應(yīng)該是拋物線。 而他的弟弟約翰·伯努利，也就是伯努利家族最偉大的伯努利之父，僅僅一晚上就解決了這個(gè)問題。 此外，他還發(fā)現(xiàn)了最陡的下降曲線。
看來，拋物線雖然如此美麗，但我們也不應(yīng)該過度迷戀它，而應(yīng)該更深入地探究它背后的決定因素。
結(jié)尾
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