什么是拋物線？ 這真的是彈丸的軌跡嗎？ 本文簡要介紹了拋物線的數學背景，并重點介紹了其在物理學中的應用。
01
拋射運動軌跡
拋物線的字面意思很簡單：當一個物體被拋出時，它在空氣中畫出一條曲線。 學過高中物理的人都知道，拋射體在水平和垂直方向上分別以勻速和加速度運動。
假設其初速度
對角向上，與水平方向的夾角為
，但
消除時間
獲取其圖像和功能的形式為
圖像是一致的。 因此，人們把(1)形式的二次函數的曲線稱為拋物線。
02
拋物線的定義
作為平面曲線，拋物線可以通過多種方式定義。
第一個也是在高中數學中定義的，涉及一條直線（準線）和一個不在直線上的點（焦點），一個與準線和焦點在它們確定的平面上等距的點。 軌跡是拋物線。
另一個定義與圓錐相關，因此稱為圓錐曲線。 作為圓錐曲線的一種，它與橢圓（包括圓）和雙曲線有相同的起源，即某個平面與兩個相對圓錐體的曲面的交線。
如下圖所示，當一個平面平行于圓錐的任意母線時，它只與其中一個圓錐面相交，交線為拋物線。
下面給出一個簡單的推導。
圓錐面
考慮任何通過原點的平面，并根據下式獲得兩個方程之間的交線方程
取該值與1的關系，我們得到三個不同的圓錐曲線，即
橢圓形
拋物線
雙曲線
如果你認為
它是連續變化的，即上面動畫中的曲面連續旋轉，因此可以認為三個圓錐曲線也是依次相互靠近的。
例如，當旋轉平面與圓錐體的母線趨于平行時，交線可以理解為一個橢圓，其長軸（焦點）逐漸延伸（移動）到無限長（遠），即拋物線。 換句話說，當橢圓的長軸很長時，沿著長軸一端的部分更接近于拋物線。
上述定義來自古希臘數學家阿波羅尼烏斯。
關于古希臘數學家，大家可能都知道畢達哥拉斯，但是卻沒有聽說過這位數學家。 順便說一下，阿波羅尼烏斯被公認為古希臘最偉大的三位數學家之一，另外兩位是歐幾里得和阿基米德。
在他的《論圓錐曲線》一書中，他幾乎窮盡了圓錐曲線的性質。 近兩千多年來，沒有后人插手的余地。 直到17世紀，法國的帕斯卡和笛卡爾才獲得新的突破。
從數學上定義圓錐曲線上一點與焦點和準線的距離之比
是偏心率。顯然，上面第一個定義是基于
定義拋物線如果
小于或大于 1 分別定義橢圓和雙曲線。 在第二個定義中，
正是與
相應地，這兩個定義本質上是相同的。
03
拋物線標準方程
如上式(1)所示，
關于
一個變量的二次函數表示
具有對稱軸的平面中的拋物線，當
為正（負），則開口向上（向下），其最低（高）點坐標為
雖然這個用二次函數表示的拋物線方程簡單實用，但從定義上來說它并不是標準的拋物線方程。
根據拋物線準線和焦點的定義，設準線到焦點的距離為
，以焦點到準線的垂線中點為原點，根據兩軸與準線的關系，分別在平行和垂直于準線的方向上畫出兩條軸
和
通過不同的對應關系，可得到如下四種標準方程。 通過坐標轉換，式(1)形式的拋物方程與標準形式可以相互轉換。例如，式(1)可以化簡為標準形式
通過比較可以看出，只要以拋物線的頂點作為新坐標系的原點，只需進行坐標平移即可得到標準方程。
雖然方程（1）不是標準方程，但其形式給出了數學中最簡單的非線性關系。 我們知道
這是一個線性關系。 對于單個自變量，添加二次項使其呈非線性。 因此，拋物線是非線性科學中最原始的數學模型。
04
第一個小測試示例
好了，拋物線的定義和函數形式已經介紹完了。 現在讓我們看一個非常有趣的運動學問題。
設一定的寬度為
這條河的流速為
，船在靜水中的速度也是
，假設船從左岸出發到右岸，從開始到到達對岸，船頭始終指向對岸的某個點。
，求船舶的軌跡。
如上圖所示，水流的速度
軸負方向，
和
分別代表水的速度和靜水中船的速度。
總是指向
觀點，
是船相對于岸的速度。
假設船在河里的某個地方。 這時，它和
連接線的點和
軸之間的角度為
，那么此時船舶相對于岸邊的速度的正交分量為 假設下游有一座橋梁，
該點到這座橋的距離是
，那么任意時刻船到橋的距離就是速度
沿船頭方向投影，得到該方向船舶的速度，即船舶任意時刻到達時的速度
點之間的距離在這個問題中是由于
， 所以
，這完全符合拋物線的定義。 橋的位置就是拋物線的準線，
點就是焦點，船沿著這條拋物線航行，以目的地為原點。 該拋物線的函數表達式為
05
拋物線的兩個性質
拋物線的性質非常豐富。 上面提到的阿波羅尼烏斯已經深入探討過，我就不一一列舉了。 這里我只講一下它們的兩個屬性。
性質1.拋物線在幾何上都是相似的，即不同的拋物線通過平移和縮放總是可以重合的。
這可能看起來違反直覺，但這是事實！ 只要兩個函數以相同的方向打開，您始終可以適當縮放其中一個函數以使其與另一個函數一致。 簡單證明如下。
有兩條拋物線，分別在坐標系中
和
首先對拋物線進行坐標平移，得到兩者的標準方程：
會再次
拋物線繞原點逆時針旋轉
，最后對其進行相似變換，即令
和
坐標全部縮放到原來的
次，兩步變換如下
這使得替換
必須
，和
系統中拋物線的表達式完全一致，因此證明兩者相似。
事實上，沒有必要這樣證明拋物線的相似性。 由于拋物線的偏心率為 1，因此所有拋物線必須相似。
性質2、拋物線上任意一點的連線與經過該點且平行于對稱軸的直線所成的角平分線就是該點的法線方向。
拋物線如下圖
，AB是過C點的拋物線的切線，CD平行于
軸，那么這個屬性意味著：
。
有很多方法可以證明這個命題。 最直接的數學方法是通過解析幾何求出直線AB的方程，求出它與直線CF的夾角高中物理刀，并證明這個夾角的正切等于它的斜率。
也可以根據幾何光學來證明。 假設CD是光FC拋物線反射的光。 證明CD平行于
軸，并根據光路的可逆性，可以得到上述命題。
如下圖所示，對于F和D之間的光線，設拋物線上的反射點為
或者
，則對應的光路長度分別為
由拋物線定義，拋物線上任意點到準線的距離等于該點的焦點半徑。 因此，根據費馬原理：任意兩點之間的光程必須取最大值、最小值或常數。 這里應該是最小值。顯然，當C在AD的連接線上時，就滿足這個要求，所以反射點一定是
， 而不是
。
因此，從焦點出發的光線經拋物線反射后必定平行于對稱軸。 根據光路的可逆性，平行于對稱軸的光線經過拋物面反射后也必須通過焦點。 命題得到證明。
基于此，我們很自然地想到，如果我們把反光面做成拋物線形狀，不就可以達到會聚光線的功能了嗎？
是的，這種拋物面就是旋轉拋物線。 它是拋物線繞其對稱軸旋轉時形成的橢圓拋物線。 由于垂直于軸的截面是圓形，所以又稱為回轉拋物線。例如，函數表示拋物線
大約
由軸旋轉形成的拋物面。
通過旋轉拋物線，上述結論可以表示為：拋物線可以將平行于對稱軸的光線會聚到其焦點，來自焦點光源的光線被拋物線反射并以平行光的形式射出。
這里有一個細節問題。 由于入射光與任意點的法線所確定的平面，即入射面，始終與經過該點的拋物線共面，因此光線不會被反射到其他方向，而始終會聚到焦點。 ，如下所示。
如果根據拋物面制作一個反光盤，并將其面向太陽放置，可以產生如下效果。
說到這里，可能有人會覺得奇怪，既然拋物面具有如此優越的聚光特性，為什么我們在光學中總是談論球面鏡呢？ 而不是拋物面鏡？ 難道球面鏡的聚光效果更好？
首先要指出的是，球面鏡不具有與拋物面鏡相同的聚光特性。 因為我們可以證明，任何能夠實現聚光的曲面一定是拋物面。
如上圖所示，有任意兩條平行線
軸射線
和
，當存在時
時間，如果一定有的話
，證明了上述結論。
簡單證明如下。
取決于
， 因此，如果
和
被視為從無窮遠點發出的光，它在焦點處成像。 根據物體和圖像之間的光程相等，必須將上述兩個方程相減才能得到命題。
盡管拋物面具有出色的聚光特性，但它們有兩個弱點。 一方面，拋物面鏡比球面鏡更難加工。 另一方面，拋物線只能將光線聚焦到平行于軸的方向。 對于平行光方向不斷變化的情況，需要不斷調整拋物線的方向。
對于球面鏡來說，雖然光線集中度確實不太好，但通過將光線限制在近軸范圍內，通過多個反射鏡的作用，可以獲得更好的效果。
至此，讀者應該基本明白為什么中國貴州建造的被譽為中國天眼的射電望遠鏡FAST采用球面而不是拋物面了。 那個直徑500m的大鍋如何移動？ 它太大了，無法經常調整方向。
但是，如果集中的不是反射光而是折射光，那么什么樣的曲面才是理想的呢？ 答案是稱為笛卡爾橢圓面的四元曲面，但它也存在加工極其困難的問題，實際意義不大。 因此，折射光成像主要依靠球面透鏡。
06
重力和拋物線
讓我們回顧一下牛頓力學中的拋物線。 正如第一節提到的，在重力場中，拋射體的軌跡函數是二次函數。 正是由于這個原因，我們將（1）形式的函數對應的曲線稱為拋物線。
但問題是真實的引力場并不均勻。 如果不考慮地球自轉的影響，拋射物僅受地球引力場的影響。 它類似于點電荷的電場并且具有球對稱性。
如果我們準確地考慮這種情況，那么彈丸在大范圍內飛行（小范圍內引力場的不均勻性可以忽略不計）的軌跡是否還是拋物線呢？
我們知道，與橢圓不同，拋物線是無界的，因此它描繪的運動范圍是無限的。 換句話說，拋物線運動的物體如果沒有碰到障礙物而被迫停止，它就會運動到無窮遠！
然而，根據能量守恒定律，上述結論顯然是有問題的。考慮地球上的扁平物體
，如果初速度
在不超過第二宇宙速度的情況下，其初始能量必須為負值。 假設它的軌跡是拋物線，它可以毫無阻礙地飛到無窮遠點。 此時，其勢能趨近于零，其動能不能為負，因此總機械能不應小于零。 這顯然違反了能量守恒定律。
因此，上述問題的答案是否定的！ 在萬有引力這樣的平方反比向心力場中，低速拋射體的軌跡不可能是拋物線。
那么，這個軌跡到底是什么？
為了嚴格求解彈丸的運動軌跡，一般借助能量守恒和角動量守恒對應的運動積分進行計算高中物理刀，軌跡為圓錐曲線。 這就是著名的開普勒問題，這里只給出一個簡單的過程。
彈丸所受的力沿地球徑向方向，力矩為零，因此彈丸的角動量相對于地心守恒，因此彈丸必須在一個平面內運動。用極坐標坐標系來描述（只是
和
），彈丸動量和能量分別由（2）獲得
由(3)式，我們可以將這兩個方程相除并分離變量并積分得到符號的定義。
并對 (4) 進行積分，令
，我們可以得到，這就是圓錐曲線的極坐標方程，
和
分別是曲線的法線焦弦和偏心率。根據上面的面
從定義可以看出，拋射體在引力場中可能有以下三種運動軌跡
橢圓形
拋物線
雙曲線
如下圖所示，紅、綠、藍色曲線分別對應橢圓、拋物線、雙曲線三個開普勒軌道。
現在我們可以回答前面的問題了：低速彈丸如果不受阻礙，它的彈道是橢圓！
也就是說，我隨手扔出的那塊石頭，如果不是被這該死的地面擋住了，它就會一直向下飛，繞著一個超長扁的橢圓形飛去。 過了很長一段時間，它就會再次從我身邊消失。 地面再次飛了起來。
等待！ 這是怎么回事？ 拋物線在哪里？ 拋物線真的不存在嗎？
舉例來說，如果你以第二宇宙速度（約 11.2 公里/秒）扔一塊石頭，它會以拋物線運動并且永遠不會回來。
但對于一般的彈丸來說，嚴格來說，它的軌跡并不是拋物線，而是橢圓的一部分。
換句話說，如果你認為“拋物線”這個詞指的是方程（1）形狀的函數表示的曲線，那么彈丸的軌跡就不是拋物線，而是更接近于橢圓。
但彈丸原本很窄的橢圓軌跡有一部分幾乎與拋物線一樣，如上圖所示。 正如前面在談論圓錐曲線的定義時提到的，拋物線可以被視為具有沿著長軸一端的非常長的長軸的橢圓的局部近似。
07
地球自轉對拋射體的影響
如果考慮地球自轉，會對拋射體的運動軌跡產生什么影響？
要回答這個問題，首先要明確你在觀察什么，即你的參照系是什么？
如果從地心觀察，其軌跡仍與上述結論相同。
但如果在地面上觀察，由于地面是非慣性系統，彈丸在運動過程中會受到科里奧利力的影響。 具體來說，北半球的物體會向右偏轉，南半球則相反。
因此，如果彈丸在空中長時間飛行，其軌跡對于地面觀察者來說并不是平面曲線，而是像傅科擺一樣，轉動一個角度，形成空間曲線。
如上所述，真正的拋物線運動實際上并不是100%完美的拋物線。 它包括兩個“破壞性”因素： 1、根據平方反比引力定律，小于第二宇宙速度的拋射體的真實軌跡是橢圓。 ; 2、地面參考系是旋轉參考系，運動物體受到科里奧利力，會使拋物線發生輕微偏轉，成為空間曲線。
然而這兩方面的影響其實是非常非常小的。 只要彈丸的運動幅度不是很大，時間不是很長，其軌跡與完美拋物線的差別幾乎是看不見的。 因此，我們可以安全地使用拋物線來描述地球上的拋射運動。
08
拋物線飛行
目前，人類在地球上能經歷的最大拋物線運動是多少？ 我想這應該是飛機的拋物線飛行，一個令人著迷的太空娛樂項目，為乘客提供失重的飛行體驗。
我們知道，只要你在地球表面附近，你就會受到重力的影響，而且這種力是無法消失的。 所以失重意味著別的東西：你失去了重力感。 例如，你所站立的地面不再需要支撐你，你感覺腳下很輕。
創造這種效果的方法是，你和腳下的地面有一個與重力加速度完全相同的加速度，這樣你的所有重力都用來提供加速度，所以不需要其他力來平衡重力，你就會失去重力感。
所謂失重飛行，也叫零重力飛行，是指飛機在飛行時，只提供抵抗空氣阻力的動力。 換句話說，飛機只受到重力的影響。 它使乘客做自由落體運動，其加速度與重力加速度一致。 。
友情提示，我這里所說的“自由落體”可能與一些同學心目中的“自由落體”含義略有不同。 中學物理中，一般說“初速度為零的下落物體是自由落體”。 但很多時候，我們也把那些阻力可以忽略不計、只受重力影響的物體稱為自由落體。 例如，斜投運動也是自由落體運動。
目前提供這種零重力飛行體驗的機構主要有兩家：法國太空研究中心CNES旗下的公司（官方網站：）和美國太空探索公司旗下的Zero（官方網站：）。 （空間）。 這里簡單介紹一下。
據該公司官網介紹，他們自2015年開始使用空客A310零重力飛機為客人提供零重力飛行服務。這是目前世界上載客量和實驗面積最大的零重力飛機。
下圖給出了A310零重力單次拋物線飛行的速度、加速度和軌跡時序的基本情況。
零重力飛行的時間就是自由落體的時間。 根據斜投運動，這個時間是由初速度決定的，即
是初速度的大小，
是速度的仰角。圖中給出的值為685km/h和
，計算出的時間約為29秒，但標注的數字是22秒。 看起來這種體驗確實有豬八戒吃人類水果的感覺，但根據官網介紹，一次飛行包含30次零重力體驗。 你仍然可以玩得夠多。
從圖中可以看到，飛機加速一段時間后，已經飛到了6000m的高度，速度約為820km/h，飛機開始在6000m的高度飛行。
超重飛行20秒后，飛機增益
仰角7600m，速度685km/h。 此時飛行員僅保留部分力量對抗空氣阻力，飛機進入失重狀態，即開始自由落體。 也就是說，乘客的零重力體驗從這一刻開始。 飛機進行傾斜運動并上升到最大高度 8,500m。 此時飛機的速度只有380km/h，飛機的仰角消失。然后開始下降，直到俯角為
當，失重結束。 此時，再次進入超重力飛行20秒后，飛機進入平飛狀態，為下一次零重力飛行做準備。
所謂拋物線飛行是指飛機進入
超重拉動開始，直到另一個
俯沖結束時的非水平飛行過程持續了約70秒。 由于相應的軌跡接近于拋物線，所以稱為拋物線飛行。
但正如本文前面提到的，飛機失重飛行軌跡的一段應該是橢圓段。 因此，很容易理解，零重力飛行開始和結束時，仰角和俯角分別為
和
，拋物線飛行的軌跡應該各有一個拐點（）。
正是因為這個原因，人們把飛機開始和結束零重力飛行的時刻分別稱為拉出，即“注入”和“退出”橢圓軌道的意思，非常形象。
以上是A310零重力拋物線飛行的基本情況。 對于美國的零號來說，他們使用的是經過特殊改裝的波音 727 G-FORCE ONE 飛機。 拋物線飛行的基本情況如下圖所示。 情況基本類似。 如果您有興趣，可以查看其官方網站。
09
諧振子模型
拋物線常常可以用來逼近一些復雜函數的局部極小值，即凹區域。 一個典型的例子就是彈簧振子模型的應用。
假設某個一維力具有由以下不規則漲落曲線給出的勢能分布。 根據力學中保守力的概念，這個力會有穩定的平衡點，圖中數字所標注的位置。 如果系統處于這些位置，它將相對穩定。
該系統與圖中的最低點略有偏差。 根據保守力與勢能的關系，某一點的負梯度，即圖中某一點切線斜率的相反值，就是力。 顯然，這些力量總是迫使它回到最低點。 觀點。 這看起來很像我們在振動中學到的簡諧振動的恢復力，而這個彈力的勢具有拋物線的形式，所以我們很自然地可以用拋物線近似來代替這些曲線的凹點。 部分地。 換句話說，我們總是可以認為一條復曲線的最小值對應于某個頻率的彈簧振子，因此也對應于某個頻率的振動。
人們將這一思想擴展到量子系統，因此諧振器模型被廣泛應用于各種微觀結構分析。
10
拋物線和非線性
非線性物理學被認為是二十世紀物理學中除相對論和量子力學之外最大的變革。 雖然它仍然遵循經典決定論，但它有助于人類更深入地理解和認識自然。
在講非線性之前，我們先來了解一下什么是線性。 所謂線性實際上只是一種比例的數量關系，其對應的幾何圖形是一條直線。 也就是說，如果世界上只有線性關系，就不會有曲線。
所謂非線性英語作文，簡單來說，就是指一個系統。 如果其輸出與其輸入不成比例，則它是非線性的。 例如，當彈簧的位移變得非常大時，胡克定律失效，彈簧變成非線性振蕩器。 另一個例子是擺，只有當其角位移很小時，其行為才是線性的。 事實上，客觀世界本質上是非線性的，線性只是一種近似。
前面提到，如果我們在線性關系中加上一個二次項，即
最簡單的非線性關系構建完畢，曲線出現了！ 通過二次函數，我們可以得到各種非單調波動關系，也就是曲線。 因此，可以說拋物線是構建非線性世界最基本的元素。
非線性關系最令人困惑和最典型的行為是混沌。 它表現為一種對初始值極其敏感并導致不可預測和隨機行為的運動行為。
盡管拋物線函數如此簡單，但它并不缺乏這種最典型的行為。 代表就是著名的拋物線映射，也叫映射。
映射形式是在哪里
.人們發現，當
當 時，映射具有混沌行為，即初始值非常小的變化就會產生截然不同的結果，如下圖所示。
我不會過多討論拋物線背后的非線性之謎。 推薦一本著名理論物理學家郝柏林先生寫的書，叫《從拋物線開始——混沌動力學導論》。
11
后記
拋物線，一條看似簡單的曲線，如此受到大自然的喜愛，絕非偶然。 例如，為什么均勻重力場中的平面運動是拋物線？
你可能覺得這個問題很明顯，但實際上，它類似于：為什么旋轉的拋物線能夠聚焦光線？ 這背后有一個深刻的自然規律在起作用。 在數學中，這稱為優化。 在物理學中，稱為最小作用原理，也稱為漢密爾頓原理。
最小作用原理這個吸引了費馬、伯努利兄弟、萊布尼茨、歐拉等歷史上許多偉大數學家的問題，終于成為物理學的基本原理。 物理學中著名的曲線，如擺線、懸鏈線、旋轉線、測地線、測地線等，都是由它衍生出來的。
有一個有趣的故事。 伯努利家族的頭號成員雅各布·伯努利在懸鏈線問題上浪費了整整一年的時間卻沒有找到答案。 和伽利略一樣，他錯誤地認為懸鏈線應該是拋物線。 而他的弟弟約翰·伯努利，也就是伯努利家族最偉大的伯努利之父，僅僅一晚上就解決了這個問題。 此外，他還發現了最陡的下降曲線。
看來，拋物線雖然如此美麗，但我們也不應該過度迷戀它，而應該更深入地探究它背后的決定因素。
結尾
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