1.第八節導數的概念與運算 【熱點】導數是高中數學的重要內容。 導數本身已經成為解決數學問題的重要工具，無論是研究函數的性質還是解決證明問題和不等式方程。 導數在求根或求解曲線的切線問題中起著非常重要的作用。 因此，近年來的高考題型中，衍生品的考試逐漸加強，出題數量和難度都有很大提高。 一大進步，全國高考卷子里都有衍生品題了。衍生品的考試形式多種多樣，有難的，也有簡單的。 它們可以出現在多項選擇題和填空題中。 主要考察導數的運算、導數的幾何意義、導數的應用（主要研究單調性、極值和最大值等）； 它也可以出現在解決問題中，有時作為結局問題。 這時主要考的是導數的綜合應用，往往與函數、方程、數列、解有關。
2.解析幾何等聯系在一起。 【基礎知識】 1.利用定義求函數的導數。 (1)求函數的變化量y； (2)求平均變化率； (3) 取極限，得到導數(x0)=。 2、導數 幾何意義和物理意義 幾何意義：曲線f(x)在某一點(x0,y0)的導數是通過該點(x0,y0)的切線的斜率。 物理意義：如果物體的運動方程為s=s(t)，則P點(i0,s(t0))處的導數的意義就是t=t0時的瞬時速度。 3 常見基本初等函數的導數公式及常用導數計算公式：（C為常數）；，nN+；；； ; 。 規則一（和差的導數等于導數的和差） 規則二（領先領先不領先于領先，落后領先不領先領先于領先高中物理導數，有加號中間的符號）規則3（分母的平方一定要記住，上領先和下領先不領先）領先，下領先不領先，中間有一個減號）4中這對
3、理解導數概念時，要特別注意 和 的區別，它代表函數在 處的導數值，不一定為0； 它是函數值的導數，而函數值是常數，它的導數必須為0，即=0。 【課前訓練】1（2006四川卷）曲線在一點的切線方程為（）（A）（B）（C）（D）2 切線上斜率等于1的直線A曲線y=x3的直線不存在B存在，C只有一個，D恰好有兩個，但數量不確定。 3 曲線 y=x3+x2 在 P0 點的切線與直線 y=4x1 平行，則 P0 的坐標為 () A.(1,0) B.(1,0) 或 (1, 4) C.(1,0)或(1,4) D.(1,4)4某物體的運動方程為（位移單位??：m，時間單位：s），則其在t2s時的速度為5。兩條曲線 y
4、=x2+1與y=3x2交點處兩條切線夾角的正切值為。 【試題分析】 【例1】有兩個點A(4, 0)，B(2, 4)。 求：（1）割線AB的斜率kAB和直線AB的方程； (2) 曲線AB上是否存在C點，使得過C點的切線與直線AB平行？ 如果存在，求C點坐標； 如果不存在，請說明原因。 【例2】已知函數在處的導數值與函數值相反，求該值。分析可以先求函數的導函數，然后根據條件建立相關方程來解決它。 點評 衍生品的運行是衍生品應用的前提。 因此，應熟練掌握導數的運算規則和常用函數的求導公式。 近年來的高考題中，等函數的導數考得比較頻繁，所以應該掌握與這兩個函數相關的導數運算。 [實施例3]已
5.了解曲線。 (1)求曲線在一點處的正切方程； (2)求通過該點的曲線的正切方程。 分析“通過該點的曲線的切線”和“曲線在該點的切線方程”是有區別的：在通過點的切線上，該點不一定是切點； 在該點的切線上，該點就是切點。 說明 (1)求函數圖上某點的切線方程的關鍵是確定該點切線的斜率。 由導數的幾何意義可知。 因此，當存在時，切線方程就是求曲線的切線。 注意“過點的點”“切線”和“一點處的切線”的區別。 對于穿過一點的切線，該點不一定是切點，也不一定是已知曲線上的點； 對于一點的切線，該點是切點。 (2)要準確理解曲線切線的概念。 例如，直線和曲線之間的公共點的數量并不是切線的本質特征。 一方面，直線和曲線只有一個共同點。 直線是曲線的切線。 例如：拋物線及其拋物線的對稱軸。 有且只有一個
6.交點，但對稱軸不是拋物線的切線； 另一方面，直線是曲線的切線。 直線和曲線只有一個共同點。 例如，在這道題中，曲線和它的切線有兩個公共點。 另一個例子是曲線和它的切線有兩個公共點。 公眾號無數！ 曲線可能不在其切線的“同一側”。 例如，雖然一條直線“穿過”曲線，但它是曲線在點(0,0)處的切線。 （3）要深刻理解切線定義中運動變化的思想：兩個不同的公共點，兩個公共點無限接近，這兩個公共點重合（切線點）； 正割切線。 【例4】曲線y=x3x上有兩個點O(0,0)和A(2,6)。 求圓弧OA上點P的坐標，使AOP的面積最大化。 本題分析主要考查數字與形狀結合的數學思想以及導數的幾何意義。 自 |OA| 為固定值，如果將點 P 的位置轉換為與曲線 y=x3x 相切且平行于 OA 的位置，則該點
7. P 到 |OA| 的距離是最大的; 您還可以設置一個點并構造一個目標函數來找到最大值。 點評：利用導數求曲線的正切方程幾乎是每年新課高考的必修部分。 它可能出現在選題、填空題中，也可能出現在答題中。 在這類問題中物理資源網，導數的任務是求其切線的斜率。 這類題的核心部分是考察函數的思維方法和解析幾何的基本思想。 【例5】若直線y=3x+1是曲線y=x3a的切線，求實數a的值。 [例6] 給定拋物線，或者，如果直線也是和的正切，則稱其為和的公切線。 ，公切線上兩切點之間的線段稱為公切線段。 (1) 總和只有一條公切線時的值是多少？ 寫出該公切線的方程； (2) 若 和 有兩條公切線，則證明對應的兩條公切線段互相平分。分別分析并求出曲線和的正切方程，有
8、由于存在且只有一條公切線，我們可以列出方程組，求解數值，得到公切線方程； 而對于證明對應的兩條公共切線段互相平分的問題，我們只需要證明這兩條切線的中點是同一個點即可。 點評：可以利用導數求出曲線的正切方程。 由于函數的導數表示的是曲線在該點處的切線的斜率，因此可以求出曲線在該點處的切線方程如下 求得：首先求函數在 處的導數，即曲線在該點的切線的斜率； 其次，在已知切點坐標和切線斜率的情況下求切線方程； 如果該點處的曲線切線平行于軸上時（此時導數不存在），由切線的定義可知，切線的方程為 。 【練習】1y=ln高中物理導數，則y等于()。 B.-x CD 2 已知f(x)=sinx ，則f(1)=( )A .+cos1 B. s
9. in1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos13 (2006安徽卷) 若曲線的切線垂直于直線，則方程為 A BC D4 在曲線的切線上 y=x3 +3x2+6x10，斜率最小正切方程為() A.3x+y10=0B.3xy11=0C.x=1D。 5(2006國二)過點(1, 0)的拋物線不存在切線，則其中一條切線為 ( A) (B) (C) (D) 6 (福建卷2006)則為已知直線與拋物線相切，則曲線7（湖南卷2006）及其交點的兩條切線以軸為界。 三角形面積為0.8（2006年湖北卷）。 半徑為r的圓面積為S(r)r2，周長為C(r)=2r。 若將r視為(0,)上的變量，則(r2)
10. 2r (1) 式(1)用語言可以描述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。 對于半徑為R的球，若將R視為(0,)上的變量，請寫出類似于(1)的公式： (2) 式(2)可用語言描述為： 。 9（2004年高考重慶試卷）給定曲線，求過點P(2, 4)的切線方程。 10 曲線y=x2+1上過點P的切線與曲線y=2x21相切，求點P坐標的方程。 第8節參考答案【課前訓練】1答案：D 分析：曲線，導數，該點切線的斜率為，故切線方程為，選D.2 答案：C3 答案：B4 答案：20m / s5答案：【試題精解析】【例1】解：（1）kAB=2，y=2（x4） 割線AB所在直線的方程為2x+y8=0。 (2)=2x+4, 2x+4=2, 得
11.x=3，y=32+34=3。 C點坐標為(3, 3)，切線方程為2x+y9=0。 【例2】解：、so、and，根據題意Get，即得到。 【例3】解： (1) 切線的斜率為 ，故曲線的切線方程為 (2) 假設曲線與過該點的切線與該點相切，則正切 為 ，切線方程為 ，因為該點在切線上，所以解為 或，所以切線的方程為： 或 [例 4] 解： 解 1 因為 kOA=3，所以斜率圓弧OA上通過點P的直線的k=kOA=3。 所以k=y=3x21=3。 所以 3x2=4。 所以 x= 或 x= （丟棄）。 所以x=,y=，即P(,)。 解2：假設P(a, a3a) , O(0,0), A(2,6)，直線OA的方程為3xy=0。 點P到它的距離為d=|a34a|,0
12、a2,4aa3.d=(4aa3).(d)=(43a2)，令43a2=0，得到a=或a=.0a2，當x=a=時取最大值，此時y=( )3 =.P(,)。 【例5】 解：假設切點為P(x0,y0)，y=x3a的導數為=3x2，3x02=3.x0=1。 (1)當x=1時，P(x0,y0)在y=3x+1，y=31+1=4上，即P(1,4)。 并且 P(1,4) 也在 y=x3a, 4=13a.a =3 上。 (2) 當x=1時，P(x0,y0)在y=3x+1，y=3(1)+1=2上，即P(1,2)。 同樣 P(1, 2) 同樣在 y=x3a, 2=(1)3a.a=1 上。 由上式可知，實數a的值為3或1。 【例6】解：（1）函數的導數為，曲線在點處的切線
13、方程為：，即函數的導數為，曲線在該點的切線方程為：，即若直線是經過該點的公切線與和，則它們都是直線方程，所以有一個消去方程，由 ，我們得到。 此時，積分之和是一致的。 因此，此時sum有且只有一條公切線。 該公切線的方程為。 (2) 由(1)可知，此時sum有兩條公切線。 設其中一條公切線為 和 上的切點分別為 ，則公切線段的中點相同。 可以證明，另一條公切線段的中點也是，所以公切線段 和 互相平分。 【練習題】1 答案：D2 答案：B3 解：垂直于直線的直線為，即某點的導數為4，并且，所以(1, 1)處的導數為4，且此時的切線為 ，所以選A4 分析：本題考查導數和普通函數導數的幾何意義。 答案：B 分析：y=3x2+6x+6=3(x+1)2+3。 當x=1時，y
14. 分鐘=3，y=1+3610=14。 斜率為3，過點(1, 14)的直線方程為y+14=3(x+1)，即3xy11=0.5 解：，設切點坐標為，那么切線的斜率為2，切線方程為，因為點(1, 0)在切線上，所以可以解為0或4，可以驗證代入是正確的。 選擇D6進行分析：直線與拋物線相切。 將y=x1代入拋物線方程可得，a=7。 分析：曲線及其交點的坐標為(1, 1)，兩個切線方程為y=x+2。 且y=2x1，它們與軸圍成的三角形面積為.8 解：V球體，可填入公式（2）。用語言描述為“體積函數的導數”球體等于球體的表面積函數。” 9 解：P(2, 4) 在曲線上。 當切點為P(2, 4)時，過點P(2, 4)的切線方程為： 當切點不是 P (2, 4) 時，設切點為 ，則 ， ， ， 即 ， ，即切點為 ， 過點 P (2 , 4) 是。 綜上，可得經過點P(2,4)的切線方程為 或 .10 解：(方法一)設P(x0,y0)。 從題中我們知道曲線y=x2+1在P點的切線斜率為k=2x0，切線方程為y=2x0x+1x02，而這條直線與曲線y=2x21相切，且切線與曲線只有一個交點，即方程2x2+2x0x+2x02=0 = (2x02)=0的判別式。 解為x0=,y0=。 點P的坐標為（，）或（，）（方法2）設，分別為切線的切點和曲線的和。 那么，通過消元法，P點的坐標為(,)或(,)。