過任意拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交與A、B兩點，分別過A、B兩點做拋物線的切線l1,l2相交于P點。那么△PAB稱作阿基米德三角型。該三角形滿足以下特性：
1、P點必在拋物線的準線上
2、△PAB為直角三角型，且角P為直角
3、PF⊥AB（即符合射影定理）
另外，對于任意圓錐曲線（橢圓，雙曲線、拋物線）均有如下特性
1、過某一焦點F做弦與曲線交于A、B兩點分別過A、B兩點做圓錐曲線的切線l1,l2相交于P點。那么，P必在該焦點所對應的準線上。
2、過某準線與X軸的焦點Q做弦與曲線交于A、B兩點分別過A、B兩點做圓錐曲線的切線l1,l2相交于P點。那么，P必在一條垂直于X軸的直線上，且該直線過對應的焦點。
著名的勾股定理是西周數學家商高最早提出來的，稱商高定理。
早在公元前11世紀的西周初期，數學家商高曾與輔佐周成王的周公談到直角三角形具有這樣的一個性質：如果直角三角形的兩個直角邊分別為3和4，則這個直角三角形的斜邊為5。利用商高的方法，很容易得到更一般的結論：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是勾股定理或商高定理，西方稱之為畢達哥拉斯定理。
勾股定理是一條古老而又應用十分廣泛的定理。例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。勾股定理以其簡單、優美的形式，豐富、深刻的內容，充分反映了自然界的和諧關系。人們對勾股定理一直保持著極高的熱情，僅定理的證明就多達幾十種，甚至著名的大物理學家愛因斯坦也給出了一個證明。中國著名數學家華羅庚在談論到一旦人類遇到了“外星人”，該怎樣與他們交談時，曾建議用一幅反映勾股定理的數形關系圖來作為與“外星人”交談的語言。這充分說明了勾股定理是自然界最本質、最基本的規律之一，而在對這樣一個重要規律的發現和應用上，中國人走在了前面。
中國最早的一部數學著作——《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：
周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”
商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”
從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來表示斜邊，則可得：
勾2+股2=弦2
亦即：
a2+b2=c2
勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯于公元前550年首先發現的。其實，我國古代得到人民對這一數學定理的發現和應用，遠比畢達哥拉斯早得多。如果說大禹治水因年代久遠而無法確切考證的話，那么周公與商高的對話則可以確定在公元前1100年左右的西周時期，比畢達哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個應用特例（32+42=52）。所以現在數學界把它稱為勾股定理，應該是非常恰當的。
在稍后一點的《九章算術一書》中，勾股定理得到了更加規范的一般性表達。書中的《勾股章》說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進行開方，便可以得到弦。”把這段話列成算式，即為：
弦=（勾2+股2）(1/2)
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
中國古代的數學家們不僅很早就發現并應用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
