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1.守恒定律在中學物理中的解題應用。戴汝靜，江蘇省特級教師。1.動量守恒定律。動量守恒定律：內容：當一個系統不受外力作用或所受外力之和為零時，該系統的總動量保持不變，這個結論叫做動量守恒定律。公式：或或=（物理上冊124頁）例1.如圖所示，光滑水平面上有兩塊完全相同的木板B、C。較重的物體A（看作一個質點）位于B的右端，A、B、C質量相等。現A、B以相同的速度向靜止的C滑去，B、C迎面相撞，碰撞后，B、C貼在一起移動。A在C上滑動，A、C之間有摩擦力，已知A滑向C的右端，沒有掉下來。問題：從B、C相撞開始，到A剛好移動到C最右端，C走過的距離是C板長度的多少倍？ 解答：設A、B、C的質量均為m，碰撞前A、B的共同速度為v0，碰撞
2、碰撞后，B、C的共同速度為v1。以B、C為一個系統，B與C碰撞時間很短，B與C之間的力（內力）遠大于它們與A之間的力（外力），這個系統的動量守恒。根據動量守恒定律可得： （1）設A滑到C的右端時，A、B、C的共同速度為v2。對于A、B、C三個物體組成的系統，利用動量守恒定律可得： （2）設A、C之間的動摩擦系數為，從碰撞到A滑到C的右端時，C所行進的距離為，對于B和C，利用動能定理可得 - （3）設C的長度為L，對于A，利用動能定理可得 - （4）解以上各方程可得：。例 2：運動員 A 和 B 正在進行花樣滑冰運動。他們以 1 米/秒的速度沿同一直線相向移動。當 A 和 B 相遇時，他們用力推對方。之后，他們以與原方向相反的方向移動。速度為
3.分別為1米/秒和2米/秒，求兩名運動員A、B的質量比。 【解答】 (3) 根據動量守恒定律求解，代入數據可得 例3. 牛頓自然哲學原理指出，兩個玻璃球A、B相撞時，碰撞后的分離速度與碰撞前的接近速度之比始終約為15：16。分離速度指的是碰撞后B相對于A的速度，接近速度指的是碰撞前A相對于B的速度。假如上述過程為一個質量為2m的玻璃球A以速度v0與一個質量為m的靜止玻璃球B相撞，且是迎面碰撞，求碰撞后A、B速度的大小。 【解析】 設碰撞后A、B的速度分別為和。根據動量守恒定律，求解該問題得到例4。如問題12的圖12C-2所示，進行太空行走的宇航員A和B的質量分別為80kg和1。
4、00kg，他們手拉手遠離空間站，相對于空間站的速度為0.1m/s。A把B推向空間站后，A的速度變為0.2m/s，請問此時B的速度大小、方向各是多少？ 【答】根據動量守恒定律，設遠離空間站的方向為正，解得方向為遠離空間站的方向。 【點評】本題考驗動量守恒定律網校頭條，難度為：容易。 2、電荷數守恒定律與質量數守恒定律 原子核的衰變方程如下：在衰變過程中，衰變前的質量數等于衰變后質量數之和；衰變前的電荷數等于衰變后電荷數之和。大量觀測表明，原子核衰變時，電荷數和質量數都守恒。 （物理學第3卷，第65頁）例：用大寫字母表示原子核，用大寫字母表示衰變，一系列衰變記為：，另一系列衰變記為：。已知P是F的同位素。則（）AQ是G的同位素，R是H的同位素。
5.同位素 BR 是 E 的同位素，S 是 F 的同位素 CR 是 G 的同位素，S 是 H 的同位素 DQ 是 E 的同位素，R 是 F 的同位素 解答：根據核衰變過程中電荷與質量數守恒，設 E 的核電荷數為，其質量數為，即，則 ()衰變后，核電荷數為，其質量數為 ，則 F 為， ()衰變后，核電荷數與質量數不變，則 G 為；用同樣方法可算出 H 為。已知 P 是 F 的同位素，故可將 P 記為，設 P 的質量數為，則衰變后，Q 為，進一步衰變后，R 為，衰變后，S 為。由于R和E的核電荷數相同，所以R是E的同位素。同理，S是F的同位素。答案為B。 3.能量轉換與守恒定律 守恒定律是貫穿高中物理的重要思想，包括能量守恒定律，動量守恒定律，電荷守恒定律等。
6、物理學各部分的表現形式和表達方式都不一樣。 能量守恒定律： 內容：能量既不能憑空產生，也不能憑空消失，只能從一種形式轉化為另一種形式，或從一個物體轉移到另一個物體，在轉化或轉移過程中，其總量不變，這就是能量守恒定律。 能量守恒定律在不同條件下有不同的表現形式，在高中物理學習的不同階段有不同的表達形式。 力做功，功變成能量，能量守恒定律。 合力所作的功=動能的變化量（動能定理） 重力所作的功=重力勢能的變化量。重力做正功時，重力勢能減少；重力做負功時，重力勢能增加。 彈力所作的功=彈性勢能的變化量。彈力做正功時，彈性勢能減少；彈力做負功時，彈性勢能增加。 電場力所作的功=電勢能的變化量。電場力做正功時，電勢能減少；電場力做負功時，電勢能增加。安培力所作的功=電能的變化量。安培
7、安培力做正功，電能轉化成其他形式的能量。安培力做負功（克服安培力所作的功），其他形式的能量轉化成電能。摩擦力所作的功=熱能的變化。克服摩擦力所作的功，其他形式的能量轉化成熱能。 1 機械能守恒定律（能量守恒定律在力學上的表達） 內容：當只有重力做功時，物體的動能與重力勢能互相轉化，但機械能總量不變。這個結論叫機械能守恒定律。公式：+=+或+=+（全日制普通高中教材（必修）物理上冊147、148頁）在彈性勢能與動能的相互轉化中，若只有彈力做功，則動能與彈性勢能之和不變，即機械能守恒（物理148頁）公式：+=+（作者補充）彈簧振子、單擺在彈力或重力作用下振動，若不考慮摩擦力
8、若無摩擦和空氣阻力，只有彈力或重力做功高中物理的守恒，則振動系統的機械能守恒。例1、柴油打樁機的重錘由氣缸、活塞等幾部分組成，氣缸與活塞之間有柴油和空氣的混合氣。重錘與樁碰撞過程中，混合氣受壓燃燒，產生高溫高壓氣體，使樁向下運動，重錘向上運動。現將柴油打樁機及打樁過程簡化如下：柴油打樁機重錘的質量為m。重錘在樁帽上方高度h處（如圖1所示）從靜止開始沿垂直軌道自由下落，撞擊鋼筋混凝土樁。鋼筋混凝土樁（含樁帽）的質量為M。同時柴油燃燒，產生劇烈的推力，重錘與樁分離。這個過程用時很短。隨后樁在土體中向下移動距離L，已知當錘反彈到達最高點時，錘與停止的樁帽之間的距離也為h（如圖2所示），已知：，。
9、重力加速度。忽略混合物的質量。假設土體在樁向下運動過程中對樁施加的力F為恒定力。求此力的大小。解：錘子自由下落。只有重力做功。機械能守恒。假設錘子在擊中樁之前的速度為。由可得 （1） 撞擊后，錘子的高度上升到（hL）。假設錘子剛擊中樁之后的速度為。根據機械能守恒定律，有 可得 （2） 假設撞擊后樁的速度為，方向向下。根據碰撞前后動量守恒定律，設向下為正方向，有：，并得到 （3） 在堆體下降過程中，根據動能定理，有 （4） 由（1）、（2）、（3）、（4）可得： 將數據代入：F=2.1105N。 2 熱力學第一定律（能量守恒定律在熱力學中的表達） 內容： 如果一個物體同時做功和向外界傳遞熱量，那么外界對該物體所作的功W加上該物體從外界吸收的熱量Q等于該物體所作的功W加上該物體從外界吸收的熱量Q。
10、內能的增加。公式：=Q+W 上式所表達的功、熱量與內能變化的定量關系，在物理學中稱為熱力學第一定律。符號規則： ：物體內能的增加為正值，減少為負值，保持不變為0； 熱量Q：物體從外界吸收的熱量為正值，放出到外界的熱量為負值； 功W：外界對物體所作的功為正值，物體對外界所作的功為負值。例2 一定質量的理想氣體從某一狀態出發，經過一系列的變化后，又回到起始狀態。W1表示外界對氣體所作的功，W2表示氣體對外界所作的功；Q1表示氣體吸收的熱量，Q2表示氣體放出的熱量。整個過程中，必定有（ ）ABCD 解答： 根據熱力學第一定律，=Q+W，（1） 其中 =0，又根據符號規則，（2），（3） 將（2）和（3）代入（1）中
11.公式，答案為：A.3 機械能與勢能之和守恒（能量守恒定律在電場中的表達）。電場力做功的過程，就是勢能與其他形式能量相互轉化的過程。電場力所作的功的量，就是勢能與其他形式能量相互轉化的量。（物理學下冊104頁） 如果只有電場力做功，勢能與動能相互轉化，動能與勢能之和守恒；公式：+=+如果只有電場力和重力做功，勢能與機械能相互轉化，機械能與勢能之和守恒。公式：+=+例3如圖3所示，一個質量為m，帶電量為+q的小球固定在一根絕緣桿的一端，桿的另一端可繞過點O的定軸旋轉。桿的長度為L，桿的質量可忽略不計。將桿和小球置于場強為E的均勻電場中，電場方向如圖所示。將桿拉至水平位置OA。此時
12.自由釋放小球，求桿移動到垂直位置OB時小球的速度。 AOEB 圖3 解：桿和小球運動過程中，只有重力和電場力做功，機械能與電勢能之和守恒，所以 +=+ (1) 其中1代表位置A，2代表位置B。 將以上三個方程代入（1）式可得：。 4 電磁感應中的能量轉換與守恒定律（電磁感應中能量守恒定律的表達） 能量守恒定律是一條普遍定律，也適用于電磁感應。 發電機中，外力做功，消耗機械能，產生的電能是由機械能轉換而來的，發電機就是根據這個原理制成的。 變壓器中，電能從初級線圈傳遞到次級線圈，變壓器就是根據這個原理制成的。 在這種轉換和傳遞中，能量保持不變。 （物理學第2卷，第168頁）楞次定律和法拉第電磁感應
13、能量守恒定律，是能量守恒定律在電磁感應上的體現。 楞次定律：物理學家楞次(1804—1856)總結各種實驗結果，于1834年得出如下結論：感應電流有這樣一個方向，即感應電流的磁場總是阻礙引起感應電流的磁通量的變化，這就是楞次定律。(物理學下卷200頁，粗體為原文，下同) 法拉第電磁感應定律：法拉第不怕困難，頑強奮斗10年，終于取得突破，于1831年發現了電磁感應現象。(物理學下卷195頁) 內容：電路中感生電動勢的大小，正比于通過電路的磁通量的變化率，這就是法拉第電磁感應定律。公式：或者說導線切割磁通線時產生的感應電動勢的大小，它與磁感應強度B、導線長度L、運動速度、運動方向與磁通線方向成正比。
14.夾角的正弦成正比。（物理學第2卷198頁） 對于理想變壓器，它們的輸入功率等于輸出功率，即公式： 例4 圖4中MN、PQ為垂直方向兩平行的長直金屬軌道，間距l為0.40m，電阻可忽略不計。軌道所在平面垂直于磁感應強度B為0.50T的均勻磁場。質量m為6.010-3kg、電阻為1.0的金屬棒ab始終垂直于軌道，并與軌道保持平穩接觸。在軌道兩端接有滑動變阻器和阻值為3.0的電阻器R1。當棒ab達到穩定狀態后，以恒定的速度v下滑，整個電路所消耗的電功率P為0.27W。重力加速度為10m/s2。試求出滑動變阻器連接電路部分的速度v和電阻R2。解：在桿ab達到穩定狀態之前，桿加速向下，重力勢能轉化為
15.轉化為動能和電能。當桿ab達到穩定狀態（即勻速運動）時，導體桿克服安培力做功，重力勢能轉化為電能，即電路所消耗的電功。因此，可代入數據，得：。圖4 感應電動勢為 感應電流為 式中r為ab的電阻，Rout為R1與R2的并聯電阻，即。再次代入數據，可解得：R2=6.0。例5.如圖所示，有一光滑半圓金屬環，其半徑為r，內阻為R1，在垂直平面內厚度均勻。它在M、N處接有平行的光滑金屬軌道ME、NF，相距2r，電阻可忽略不計。EF之間接有電阻R2。已知R112R與R24R。在MN上方、CD下方有水平均勻磁場I、II，磁感應強度為B。質量為m、電阻可忽略的導體棒ab從半圓環最高點A處靜止落下。落下過程中，導體棒
16、始終保持水平并與半圓金屬環與軌道保持良好接觸。設平行軌道足夠長。已知導體棒ab落到r/2時的速度為v1，落到MN時的速度為v2。（1）計算導體棒ab從A落到r/2時，其加速度。（2）設導體棒ab進入磁場II后，內電流不變，求磁場I、II間的距離h和R2上的電功率P2。（3）若將磁場II的CD邊界稍稍向下移動，則導體棒ab剛進入磁場II時的速度為v3。為使其在外力F作用下做勻加速直線運動，則加速度為a。計算所施加的外力F與時間的關系。【解析】本題考查電磁感應與電路的綜合問題和電磁感應中的能量守恒問題。解題的關鍵是分析哪些是內部電路，哪些是外部電路。【答案】（1）以導體棒為研究對象，棒處于磁場中。
17、當磁通線在磁場I中切割時，在棒中產生感應電動勢。當導體棒ab從A處落下r/2時，導體棒在重力和安培力的作用下做加速度運動。根據牛頓第二定律可得，其中lr和4R（【穿插注釋】注：導體棒ab為電源，ab上方的電阻為，ab下方的電阻為，兩部分電阻并聯即可得到上式。）由上式可得（2）當導體棒ab穿過磁場II時，如果安培力恰好等于重力，則棒中電流不變，即式中解為使導體棒以加速度為g從MN做勻加速直線運動到CD。此時導體棒引力的功率為 根據能量守恒定律，此時導體棒引力的功率在電路中全部轉化為電能，即 所以， （3）設導體棒ab進入磁場II后的速度為，此時安培力的大小為 由于導體棒ab作勻加速運動
18、對于快速直線運動，根據牛頓第二定律有 即由以上方程組可得 [注釋] 解答2 查明后，根據導體棒從MN到CD的機械能守恒定律，可得。 將R2上的電功率P2，其中（根據并聯分流公式），代入方程可得。 （3）設導體棒ab進入磁場II后的速度為，此時的安培力為 由于導體棒ab作勻加速直線運動，根據牛頓第二定律有bm L 即由以上方程組可得 例6如圖所示，垂直放置的U型導軌，寬度為L，在上端串聯一個電阻R（其余導體部分的電阻可忽略不計）。磁感應強度為B的均勻磁場方向垂直于紙面，向外。金屬棒ab質量為m，與導軌接觸良好，忽略摩擦力，釋放靜止后，ab保持水平，向下滑動，求ab滑動的最大速度vm。解：
19、松開瞬間，ab只受重力作用，開始以加速度向下運動。隨著速度的增加，感應電動勢E、感應電流I、安培力F均增加，加速度減小，當F增加到F=mg時，加速度變為零，ab達到最大速度。從中可得注釋：這道題也是一道典型的練習。注意過程中的函數關系：重力做功的過程，就是重力勢能轉化為動能和電能的過程；安培力做功的過程，就是機械能轉化為電能的過程；合力（重力和安培力）做功的過程，就是動能增加的過程；電流做功的過程，就是電能轉化為內能的過程。達到穩定速度后，重力勢能的減小全部轉化為電能，電流所作的功，把電能全部轉化為內能。此時重力的功率等于電功率，也等于熱功率。進一步討論：如果在圖中上端電阻的右側安裝一個電鑰匙，讓ab下落一段距離
20、若撤去開關后再閉合，開關閉合后ab的運動會發生什么變化？（無論何時閉合開關，ab可能先加速后勻速，也可能先減速后勻速，但穩定后的速度總是一樣的）。a bd c 只要有感應電流產生，電磁感應現象總是伴隨著能量的轉換。有關電磁感應的題目常常和能量守恒定律的知識結合起來講，這種結合很重要，我們要牢固樹立能量守恒定律的思想。【例7】如圖所示，矩形線圈abcd，質量為m，寬度為d。它在垂直平面內由靜止自由落體，在它的下方是沿圖中方向的均勻磁場，磁場的上下邊界都是水平的，寬度也為d。線圈ab邊一進入磁場高中物理的守恒，它就開始勻速運動。那么線圈在穿過磁場的整個過程中，會產生多少電熱呢？解：ab一進入磁場就開始勻速運動，也就是說安培力和引力剛好平衡。下落2d后，
21、在此過程中，重力勢能全部轉化為電能，而電能全部轉化為電熱，于是產生電熱Q=2mgd。【例8】如圖所示，平行導軌固定在水平面上，磁感應強度為B的均勻磁場方向垂直向下。同種合金制成的導體棒ab、cd的截面積比為2：1，導軌的長度和寬度均為L，ab的質量為m，電阻為r，開始時，ab、cd均垂直于導軌靜止，忽略摩擦力。給ab一個向右的瞬時沖量I，在隨后的運動中，cd產生的最大速度vm、最大加速度am、電熱分別是多少？ Ba db c 解：給ab一個脈沖后，ab獲得速度并向右運動，電路中產生感應電流，cd受安培力加速，ab受安培力減速；當二者速度相等時，都開始勻速運動。因此，開始時cd的加速度最大，結束時cd的速度最小。
22.大。整個過程中系統損失的動能全部轉換成電能，電能又轉換成內能。由于ab、cd截面積之比為21，電阻之比為12，根據Q=I 2RtR，cd上產生的電熱應為電路中總電熱的2/3。根據已知ab的初速度為v1=I/m，故： ，解為。最終共同速度為vm=2I/3m，系統損失的動能為EK=I 2/6m，其中cd上產生的電熱為Q=I 2/9m5。電磁振蕩中的能量轉換與守恒定律（電磁感應中能量守恒定律的表達）從場的角度看，電場有電場能量，磁場有磁場能量。電容器放電過程中，電場能量逐漸轉換成磁場能量；電容器充電過程中，磁場能量逐漸轉換成電場能量；電磁振蕩過程中，電場能量與磁場能量同時周期性地轉換。
23、回路中電流和電容器極板上的電荷都隨時間作周期性的變化。在電磁振蕩中，若沒有能量損失，電磁振蕩應該永遠持續下去，而振蕩電流的幅值也永遠不變，這種振蕩叫做無阻尼振蕩。（物理學第2卷，第239頁） 公式： 例9 LC電路中電容兩端電壓u與時間t的關系如圖5所示。 A.在t1時刻，電路中電流最大 B.在t2時刻，電路中磁場最大 C.從t2時刻到t3時刻，電容器中的電場繼續增大 D.從t3時刻到t4時刻，電容器的電荷繼續增加 圖5 解：在t1時刻，電容器上的電壓最高。此時電場最大，磁場為0，電流為0。 A錯誤；在t2時刻，電容器上的電壓為0，此時電場為0，磁場最大。 B正確；從t2到t3時刻，電容器上的電壓繼續增大，根據電場公式，電容器內的電場繼續增大。 C正確；電容器上的電壓繼續減小，根據公式，電容器的電荷繼續增加。 C錯誤；答案為B和C。 6.質能關系 愛因斯坦相對論指出，物體的能量和質量之間存在著密切的聯系，它們之間的關系為： 這就是著名的愛因斯坦質能方程。 例6.解： 反應后的質量為：36.+0.=36根據反應過程中質量和能量的轉化守恒定律，電子中微子的能量相當于其質量36.-36,=0.電子中微子的最小能量為答案A. - 14 -