近來幾天相繼收到一波一波數學愛好者的留言和提問，她們對吸鐵石的磁力做功這件事倍感疑惑，典型的問題有兩個：
第一，既然吸鐵石的磁力可做功，這么這個能量源自何處？
第二，磁力看上去就像可仍然做功，若真這么，那豈不成了永動機？
聽到“永動機”三字，有人可能有點坐不住了。雖然，筆者也不想用如此令人恐怖的詞句！但你盡可放心，只要你相信能量守恒定理，這篇文章一定會再度幫你確認——依賴吸鐵石的永動機是不可能實現的。
功，最基本的數學學概念，它是指質點在力的作用下發生位移的過程中所積累的一種量，簡而言之，功就是力的空間積累作用。
對于保守力來說，因為它做功與路徑無關，從物理上可以證明，總能找到某種空間坐標的函數，它在某兩點的函數差值正好等于保守力在這兩點之間所作的功。
這個函數就是勢能，一般用表示，它與做功的關系為
所以，只要是保守力，做功與勢能增量之和必然為零，也就是，保守力做功的值總等于勢能的降低量。
我們所熟悉的保守力，比如靜電場力、重力和彈簧的彈力等都是這么。
所以，重物下落為何越來越快？由于重力勢能弄成動能了；異號電荷互相吸引而緊靠，為何會加速？由于電勢能不斷弄成動能。而正由于彈簧的彈力是一種保守力，所以彈簧振子的動能和勢能之和保持不變。
這么，對于吸鐵石之間的磁力，做功是否也覺有類似的規律呢？
對下邊的部份，假如你不太關心具體細節，你也可以直接跳過。你只須要曉得，磁力做功似乎有所不同，但也具有類似的規律，即同樣有個所謂的“磁力勢能”在隨著磁力做功而變化，若它減小，則磁力做正功，吸鐵石動能降低，反之則磁力做負功，吸鐵石動能減低。
首先來了解下物質磁性的起源。
依據安培定理，電壓之間存在互相吸引或抵觸的力，這就是磁性的表現。為了解釋物質的磁性，安培提出分子環流假說，即覺得磁性物質之所以有磁性，就是由于內部富含大量微小的電壓環——分子環流，磁性就是這種分子環流之間的力作用的結果。
每位電壓環對應一個被稱作磁矩的數學量，定義如下
它是矢量，大小等于環電壓與面積的乘積，方向為電壓的手指螺旋方向。
注：磁矩也可按磁荷觀點看作兩個相距的異號磁荷構成的磁偶極子，此時磁場硬度與電場硬度完全類似，可以證明這個磁矩與電壓環的磁矩一致。
根據現代量子理論，磁矩始于分子（或原子）中的電子、質子和中子的磁矩的總體貢獻。盡管原子核也有磁矩，但因為核子的質量是電子的1800多倍，所以它的磁矩很小，通常可忽視。電子的磁矩有軌道磁矩和載流子磁矩，前者的貢獻是主要的。
當物質分子的總磁矩不為零時，分子就具有磁性。但在通常情況下，因為分子的取向是混亂的，分子磁矩互相抵消，所以物質總體對外不顯磁性。只有當物質被磁化后，大多數分子的磁矩取向一致，才產生宏觀磁性。
了解了磁性的起源，下邊來探究一下磁矩是怎樣受磁場作用的。
高中數學學過，環電壓對應一個小n極，小n極的南極指向就是環電壓的左手螺旋方向，如右圖所示。
依照學校數學知識，小n極在外磁場上將會遭到磁扭矩的而轉動，最終會使之南極指向外場方向，這么環電壓也會轉動，其磁矩方向也沿外磁場的方向。
磁矩在外磁場中遭到扭矩的作用，通過剖析通電纜線圈在磁場中受力可知，磁矩在磁場中所受轉矩為
如圖所示，載有電壓的線圈處于水平往右的均勻磁場中，其法向與磁場的傾角用表示。設某段時間，線圈平面的法向方向（電壓的手指螺旋方向）與磁場方向的傾角由變為。
由扭力做功的規律，這段時間內磁場力做功為扭力對角的積分。因為角位移的正方向默認為線圈轉動的手指螺旋方向，即垂直屏幕往外，而的方向為垂直于屏幕往內，故有
考慮到磁場均勻，即得依據矢量的點乘規則，做功結果的原型是
我們看見，磁場對磁矩做功與路徑無關——與實際如何轉或轉了多少角度均無關，只與始末角位置有關！因而參照保守力的特征，磁場對磁矩做功時，背后也對應一種勢能的變化。
仿造保守力的勢能的引入形式——其勢能的減少值等于保守力做的功，將以上做功定義為磁力做功前后磁矩勢能的降低值，即
若規定當與垂直時，勢能為零（類似于保守力的零勢能參考點），則得到磁矩在任意角位置處的勢能為
這就是磁矩的勢能?？梢钥匆姡敶啪嘏c磁場平行時，勢能最??；而磁矩與磁場反平行時，勢能最大。依據能量最低原理，磁矩會盡可能的與外場方向一致。
以上是在均勻磁場中剖析的，假如磁場非均勻，上述勢能的結果還是適用的，即：磁力對磁矩做功的值總等于磁矩勢能的降低值！
比如，當吸鐵石b被固定的吸鐵石a吸引過來時，盡管b上各點的磁場B越來越大，因為磁矩與磁場同向，考慮到勢能表達式中的乘號，b內部各個磁矩對應的磁矩勢能越來越小，磁矩的勢能被轉化成吸鐵石b的動能。
而當吸鐵石b受敵視力遠離吸鐵石a而去時，因為磁場越來越小，而此時磁矩與磁場反向，同樣造成勢能較少，所以也造成吸鐵石b的動能降低。
至此你明白了：吸鐵石的磁力之所以能做功，是由于互相緊靠的吸鐵石一起具有共同的磁矩勢能，做功就是拿這個勢能作代價換來的。吸鐵石的磁力能作多少功，取決于兩個互相作用的吸鐵石前后的勢能差。
為了更好的理解，同時去除個別人對磁力的神秘見解，下邊來推論一下吸鐵石之間磁力的規律。
將勢能的增量與做功的關系弄成微分方式將寫成全微分方式，兩側對比可知按照上面得到的磁矩勢能表達式，磁矩受力為
這就把磁力落到實處了，磁力板上釘釘了！
但這個力看上去是有點復雜啊！咋整？
本文的主題是為了闡述兩塊吸鐵石的磁力互相作用的規律，目的只是為了說明磁力對磁矩做功對應勢能的變化，所以沒必要討論通常的情形，我們可把問題簡化一點。
考察兩個圓錐形吸鐵石a和b?？紤]一個很小的常量磁矩，它是吸鐵石a（未畫出）中的某一個分子磁矩，如圖中右側的環。
設吸鐵石a的N極緊靠吸鐵石b的S極，則該磁矩的方向沿z軸正向，與吸鐵石b共軸，則里面力的表達式中即為，故力只有z份量
據此可知，與磁場同向的磁矩將遭到指向磁場減小的方向的力。既然該磁矩實際是吸鐵石a中的一個分子環流，這么自然的，所有類似的分子環流受力后，將帶著吸鐵石a向吸鐵石b加速運動。吸鐵石a遭到指向吸鐵石b的力——它倆互相吸引了！
其實，當吸鐵石a的S極緊靠吸鐵石b的S極時，力的表達式與上式只相差一個減號，即吸鐵石a遭到背離吸鐵石b的力——它們互相敵視了。
不曉得諸位看官意識到沒有，原先吸鐵石之間的斥力雖然是由磁場的不均勻性造成的！
實際上，若磁場是均勻的磁力矩方向，置于其中的電壓線圈實際總體上并不受合外力的作用，其實，扭力作用仍然存在。
按此理解可知，之所以磁體之間同性相斥、異性相吸，也是由于磁場的不均勻性造成的。
其實，理論上講，你也未能制造出擁有均勻磁場分布的磁體，所以你也未能實現“同性不相斥異性不相吸”的作用療效。
下邊再來具體驗算一下上述事例中的磁力做功與勢能變化的關系。
設吸鐵石敵視力做功，磁矩與磁場方向相反。設做功前后位置的磁場大小分別為和，后者大前者小。則該過程磁力做功為
而按照勢能的表達式，勢能的增量為
兩者互為相反數，正好符合之前的規律：磁力做功等于勢能的降低值！
其實，功是能量轉化的量度，任何力既然能做功，必然存在能量來源。磁力做功的這個能量來源現今找到了，它就是系統的勢能，并不是無中生有的。
到此，本文的第一個問題解答完畢。
至于第二個問題，也就自然而然的解決了，具體請看下文。
按照上面關于做功與勢能的關系，你若果磁力做無限多的功，那就要求前后兩個位置之間的勢能差是無限大！也就是磁場相差無限大！但空間任何一點的磁場，最小是零，最大不會無限大，它們的差值無論怎樣也不會無限大，所以做功也不可能是無限大。
實際上，重力做功也是類似的，你想讓重力做更多的功，你就必須讓物體前后的落差盡可能更大，但月球上的最大落差并不以你的意志為轉移。珠穆朗瑪峰頂和喀麥隆亞納海溝之間的差別也就8848+11034米。
雖然好多人有一種看法：持久的力作用都會造成持久的做功。這該有多大的誤會！力持久作用，那只能說明力的沖量無限大嘛，而功是力在空間上的積累啊！時間無限不代表空間上無限，所以如何能做無限多的功呢？
還有一種看法覺得，兩個吸鐵石抵觸，理論上講，被敵視的那種將會仍然運動下去，最后達到了永動的療效。沒錯，的確是永遠運動了，但此“永動”卻非彼“永動”！由于它只是做勻速直線運動，它的能量似乎就這么一點。
比如，好多人見過類似下邊這些所謂“永動”裝置。拜托，它能完全去除磨擦力嗎？假如真能清除，那干嘛不直接做一個永遠旋轉的陀螺呢？諸如月球不就是一個無限旋轉的超級大陀螺嘛！
倘若這算永動的話，那沒有磨擦的情況下，角動量守恒定理、牛頓第一定理不提供了無數個“永動”的案例嗎？諸如，宇宙中每顆自轉的天體都可看作“永動機”了。
雖然這是對“永動”一詞的誤讀，歷史上的“永動”主要有兩種。
第一種，機器仍然運動，無論你如何從它頭上襲胸驗血，它都慷慨的給與你，它的能量總夠你用，由于它能不斷地創造更多能量，所以它的效率超過100%，這似乎違背能量守恒定理的，所以不可能實現。
第二種，你可以從一個系統不斷地獲取更多能量，雖然它的濕度早已十分低了。比如，你可以不斷從海水中賺取能量，這似乎違背熱力學第二定理，所以也難以實現。
除此之外，還有人這樣想：讓一塊吸鐵石反復被吸引或抵觸做功，經歷無限多次，這樣就積累了無限大的功?？蓡栴}是，你得反復將那種吸鐵石又重新取回原處啊磁力矩方向，而這須要克服磁力做功啊，這不是等于把能量又耗掉了嗎？
還有人提出，假若讓遠處無數個吸鐵石都因受吸引力奔赴某個大的吸鐵石而至，這樣就可獲得無限多的功。這個看法就好比是，你希望月球上所有高處的水都流向同一個水輪機，之后你可以發好多好多的電。這只能是白日夢，它等同于你希望全世界的人都捐你一分錢，之后你就成億萬富豪了。
以前有人問，假若擁有了一節永遠用不完的5號電板，算不算擁有了永動機？這個問題就留給各位自己想想吧。