新書進展-開啟第8章靜電場
鄭琪 2024.03.10
目前新書進展如下：
3月5日，我完成了力學的最后一章第七章振動和波，準備開始第八章靜電場。
這是我個人的網上書的寫作歷程，我把書中的例題和練習收集整理成網上書，供我自己的學生使用。
現在我是班主任，只教這一個班，所以我把他們當作實驗鼠。
制作了如下兩套練習，分別為力學前6章，共計739道例題及練習。
目前高中生復習進度到第五章5.5能量的機械能守恒定律，昨天作業到522題：
下周，我們將嘗試解決能源章節的最后 4 個模型：
前幾天把第八章的練習歸檔完了，一共232道題，分為9個模塊，其中95%都是高考真題：
本章內容如下：
昨晚把9.1庫侖定律的講義部分講完了，今天補上了例題和練習，并完成了格式化。
以下摘自 9.1 庫侖定律：
第 2 部分 電磁學
第 8 章靜電場
我教書快二十年了，發現一個很有意思的現象，剛進高一的學生，總是對物理充滿興趣。學了近一年的力學，雖然物理折磨了我千百遍，但我還是把物理當初戀。也許我跟不上，但我還是認為自己物理學的不錯。然而，一到“靜電場”，很多當時我以為學的不錯的學生就敗下陣來，“感覺自己被電場電死了一樣”。
我很理解他們，因為他們對于電的理解還停留在初中階段，擺弄著電池、電阻等元器件，計算著串聯、并聯的等效電阻等等，從來沒有想過，電的起源會是“場”這個怪物。
他們發現，在機械學階段所積累的生命值和防御，在面對“靜電場”這個大BOSS時，完全派不上用場。原因很簡單，機械學階段所練就的防御是物理防御，而現在遇到的是一種新物質——領域物質，想要抵擋它所釋放的破壞力，恐怕就需要提升屬性抗性，而學生們對于這方面是完全沒有準備的。
因此，當學生們快要讀完高一，需要在文理科之間二選一、七選三或六選三的時候，他們都放棄了參加物理考試。
基于上述認識，作為整個電磁學的開端，本章的學習難度可想而知。
因此，我在介紹本章知識的時候，會盡力還原物理學的真實歷史，讓大家體會到科學家對這個問題的認識有多么深刻。
他們在深入觀察、思考的過程中，紛紛引入概念、定理、公式，并出于某種原因設立符號。
我想，只有了解了整個物理學史，才能真正體會到物理學的魅力，才能明白一些物理量、物理定律的出現是歷史的必然。
在這一章中，我將介紹三大模塊。這三個模塊在我上一本書《一書強化基礎物理-增加高中物理難度》中被寫成三個獨立的章節。這本書的難度僅限于高考階段，所以我會將它們整合成一章。因此，預計這一章的篇幅會非常大。
第一模塊介紹了電磁學中第一個重要定律——庫侖定律。通過對庫侖定律的深入思考，我們引入了特殊物質“場”。接下來，我們來介紹場物質的兩大特性之一——在場中對其他帶電物質施加力。具體來說：
8.1 庫侖定律簡介；
8.2 介紹點電荷周圍的電場分布；
8.3介紹最常見的電場類型——均勻電場；
8.4 介紹了計算場強的其他方法。本節僅重點介紹測試準備。
在第二個模塊中，我們將介紹場物質兩大特性中的第二項——賦予場中的其他帶電物質以一定的保守勢能，并解釋這兩個特性的本質區別和聯系。具體來說：
8.5 介紹電勢能和電勢的來源；
8.6 介紹電勢與電場強度的關系；
8.7 將重點討論一個實際問題：將導體放置在靜電場中，靜電場如何影響它，以及它如何響應外界場；
第三個模塊是對一個非常特殊的電子元件——電容器的基本介紹。具體來說：
8.8會介紹常見的電容以及相關知識，然后把它們放入電路中，看看它們是如何變化的；
8.9 讓電容器成為一個均勻電場的發生器，讓帶電粒子在電容器內部運動，使電容器成為粒子運動的自然場所。
以上就是本章的基本安排。需要指出的是，本書我們以高中物理課本知識為主，盡量不提課本以外的知識。有興趣的同學可以自行查閱《一本通》，但有些知識我們可能避免不了用到。這些課本以外的知識的介紹不是為了炫耀，純粹是為了講解或解題方便。最典型的就是點電荷在周圍空間感應的電勢公式。
以及電容器儲能公式
。
8.1 庫侖定律
物體因帶電而相互吸引或排斥的現象是一個十分重要的新發現，豐富了非接觸力的范圍，在引力、磁力的基礎上又增加了電力，但電力與引力、磁力稍有不同。
（1）與引力相比，電力既有吸引力，又有排斥力，電荷可正可負，而引力總是吸引，不排斥。
（2）與磁力相比，帶電體則不同。正負電荷可以比喻為磁鐵的南極和北極，但帶電體不受外界磁鐵的影響。而且與磁單極子不存在不同，帶電體可以獨立存在，即電單極子存在，而磁單極子不存在。
這表明電是一種全新類型的力。
人類對電現象的認識走過了漫長而曲折的道路。商代，甲骨文中就出現了“雷”、“閃電”等聲義字。但直到16世紀，人們才對電現象有了更深入的認識。英國女王伊麗莎白一世的御醫吉爾伯特（W.，1544-1603）首次引入“電引力”的概念，系統地研究了靜電現象。1600年，吉爾伯特發現某些物質相互摩擦后能吸引輕的和小的物體，他把這種力稱為“琥珀力”。后來的科學術語“電”就是根據希臘語“琥珀”的詞根制定的。
1733年，法國科學家C.杜費（1698-1739）根據大量實驗事實，大膽斷定自然界中存在著不同類型的電荷，一種叫“琥珀電荷”，一種叫“玻璃電荷”。1747年，美國科學家富蘭克林（B. ，1706-1790）把用絲綢摩擦過的玻璃棒產生的電荷稱為“正電荷”，把用毛皮摩擦過的琥珀產生的電荷稱為“負電荷”，從而提出了正電荷和負電荷的概念。
1759年，德國科學家埃皮努斯（F.，1724-1802）提出一個假說，即電荷之間的排斥力和吸引力隨著帶電體之間距離的減小而增大。但埃皮努斯并沒有通過實驗驗證這一假說。1760年，伯努利（D.，1700-1782）推測電是否也像引力一樣遵循平方反比定律。他的想法在當時具有代表性。
1755年，富蘭克林觀察到電荷只分布在導體表面，導體內部不存在靜電效應。如圖所示，當一個用細導線懸掛的帶電軟木球放在帶電金屬圓柱體外時，球明顯受到電力的作用而傾斜，但當球放在圓柱體內時，幾乎不受電力的影響，細導線保持垂直下垂。
他把這一現象告訴了自己的好友英國科學家J.普里斯特利（J. ，1733-1804），建議普里斯特利重復這個實驗加以證實。普里斯特利曾根據牛頓萬有引力理論，將電荷作用力與引力進行了對比，推測電荷作用力也符合平方反比定律高中物理的相關科學家，但他沒有用實驗去證實這個結果，因此停留在推測階段，最終被束之高閣。他的說法出現于1769年，但當時并未受到重視。
科學史上曾有兩位英國科學家對電進行了定量的實驗研究，并得到了明確的結論，可惜他們未能及時發表自己的研究成果，沒有對科學發展起到應有的推動作用。
一個是羅賓遜（J.，1739-1805）。1769年，羅賓遜設計了一個杠桿裝置，并得出結論，電服從平方反比定律。他得到的修正數是，即，不幸的是，他認為大指數是由于實驗誤差造成的。直到1801年，羅賓遜才公布了這一研究成果。
另一位是卡文迪許（H. ，1731-1810）。1772年至1773年間，卡文迪許做了雙層同心球實驗，精確地測量了電力與距離的關系，如圖所示。
卡文迪什分析說，由于帶電金屬球殼內部任何一點都沒有電力網校頭條，如果把球殼切成兩半，在空腔中放置一個電荷，電荷將不受任何力的作用，這意味著兩半球殼上的電荷對點電荷的靜電力相互抵消。卡文迪什證明了只有當靜電力與距離的平方成反比時，這兩種力才會抵消。他由此得出電力服從平方反比定律，并將電力表示為
卡文迪許的同心球實驗比庫侖的扭秤實驗早了13年，卡文迪許用的是當時最原始的電學測量儀器，由于設計巧妙，得到了非常可靠的結果，但這個結果卻從未發表過，這是為什么呢？
卡文迪什雖然是“學者中最富有的人，也是最富有的人中最博學的人”，但他生性孤僻，很少與人交往，又十分害怕成名后患上社交恐懼癥，所以干脆不發表研究成果，直到卡文迪什去世，研究成果才公之于眾。
直到一百年后，他的家人才將他的手稿交給了劍橋大學卡文迪什實驗室的首任主任麥克斯韋。經過系統的整理后，麥克斯韋驚訝地發現，卡文迪什的許多工作都是超越時代的，其中就包括對電學平方反比定律的探索。
1785年，庫侖也獨立測得了這一結果，雖然方法不同，但精度與13年前卡文迪許的實驗結果相差無幾。
8.1.1 庫侖定律實驗
庫侖是法國工程師、物理學家，對電學研究做出了巨大貢獻。他出生于法國南部昂古萊姆的一個富裕家庭。1806年8月23日，庫侖在巴黎逝世，享年70歲。庫侖為人正直，品德高尚。托馬斯·楊（1773-1829）稱贊庫侖的品德與他的數學研究一樣杰出。為紀念庫侖而發行的郵票也包含豐富的物理學歷史信息。人們可以看到庫侖的肖像和他的生卒日期，以及他使用的扭力秤。
庫侖是扭力天平的專家。他利用扭力天平實驗精確測量了兩個帶同種電荷的球之間的電排斥力。那么，什么是扭力天平呢？
在物理學的早期，人們發現測量微弱的效應非常困難，因為它們通常難以察覺。后來，物理學家米歇爾想出了懸空金屬線的設想。要折斷金屬線需要很大的力，但扭轉懸空金屬線則只需要很小的力。基于這一設想，法國物理學家庫侖和英國科學家卡文迪許分別于1785年和1789年獨立發明了扭力秤?？ㄎ牡显S利用扭力秤測量了引力常數。
1773年，法國科學院懸賞公開征集改進航海羅盤中磁針的方案。四年后，庫侖以論文《關于制作磁針的最佳方法》榮獲一等獎。庫侖認為磁針支架在軸上必然產生摩擦，于是提出用一根細頭發絲或絲線將磁針懸掛起來。庫侖在實驗中發現絲線扭轉時的力矩與磁針的角度成正比，因此可用此裝置測量靜電力和磁力的大小，從而發明了扭力秤。庫侖發明扭力秤的靈感來源于紡車。他在鄉間發現紗線的斷頭總是向相反的方向卷曲，紗線捻得越緊，卷曲的圈數就越多。他認為可根據紗線卷曲的程度測出力的大小，進而可用來測量電荷之間的作用力。
庫侖進行實驗所用的裝置叫庫侖扭秤。如圖所示，一根絕緣的輕棒懸掛在一根細銀絲的下端。棒的一端是帶電的金屬球A，另一端是與球A的重力平衡的不帶電的球B。當球上沒有力作用時，輕棒處于一定的平衡狀態。當將另一個帶電球C放入容器中，并靠近A時，C與A之間的力使棒繞懸掛點轉動，引起懸掛絲的扭轉，直到懸掛絲的扭轉力與電力平衡為止。這其實就是扭轉力矩與靜電力矩之間的平衡。由于懸掛絲很細，作用在球上的很小的力，都可能導致棒明顯偏離原來的位置。轉動的角度與力的大小成正比。通過懸掛線的扭轉角可以比較力的大小，并且兩個帶電體之間的不同距離易于調整和測量。
保持A、C小球所帶電荷不變，改變A、C之間的距離r，記錄懸掛絲每次扭轉的角度，即可求出力F與距離r的關系。
保持A、C球間距離不變，改變A、C的電荷q1、q2，記錄懸掛絲每次扭轉的角度，即可求出F與q1、q2的關系。
1785年，庫侖在論文《電力定律》中詳細介紹了實驗裝置、測試過程和實驗結果。
闡明：
（1）扭秤實驗可以測量弱力，其關鍵在于它把弱力的作用放大了兩倍：一方面，微小的力通過較長的杠桿臂產生較大的扭矩，使懸絲發生一定角度的扭轉；另一方面，在懸絲上固定一個平面鏡，平面鏡能把入射光反射到距離平面鏡較遠的刻度盤上，反射光到刻度盤上的光斑移動，可以揭示懸絲的微小扭轉。
（2）在庫侖之前，人們對電量的大小沒有量化的標準，即無法量化q1和q2的大小。今天我們所說的電量的單位是“庫侖”，庫侖根本無法定義“1庫侖”到底有多大。那么他是如何量化庫侖定律的呢？
他用了一個很簡單的方法，就是兩個完全相同的金屬球接觸，它們必然會平等地分享電荷，于是不斷地分享電荷，就得到了q個電荷，q/2，q/4……，通過控制變量，就得到了F和q之間的定量關系。
（3）庫侖用扭力天平實驗測量了電排斥力。不過不用擔心，除了同種電荷之間的排斥力，異種電荷之間還有吸引力。扭力天平實驗得出的同種電荷相互排斥的結論是
異性引力能共用嗎？這個還不能確定，所以需要繼續進行實驗研究電重力，這個扭秤實驗就沒法做了。因為扭絲的恢復力矩只和角度的一次方成正比，而引力卻和距離的平方成反比，也就是說引力的變化比力矩快，這不能保證扭秤的穩定性。如果兩個帶電小球相距較遠，誤差就大；如果距離較近，兩個小球往往會發生碰撞，因為扭秤很靈活，會有一定的左右搖擺。兩個小球之間引力的結果往往是它們接觸，電荷被中和，實驗就沒法繼續了。
（4）經過反復思考，庫侖利用動力學實驗解決了這個問題。地面上物體受到的引力與物體到地心距離的平方成反比，即
，必須
。
考慮一個周期為
，所以有
當懸浮在地面的物體繞懸浮點做小振幅擺動時，其振幅周期與物體距地心的距離成正比。
庫侖想象，如果不同電荷之間的引力也與它們之間距離的平方成反比，那么只需設計一個電擺就可以進行這個實驗。
如圖所示，庫侖讓小球帶正電，讓圓形金紙盤帶負電，實驗后得到以下結果：
實驗一：將圓形金色紙盤放置在距離球中心9英寸的位置，在20秒內揮動15次。
實驗2：圓形金色紙盤距離球中心18英寸，在41秒內擺動15次。
實驗三：圓形金色紙盤距離球中心24英寸，60秒內擺動15次。
距離之比為3：6：8，振動周期之比為20：41：60，如果振動周期之比符合距離的平方反比定律，則應為20：40：54。第三次實驗的結果接近理論值，庫侖正確地解釋了這一現象是由漏電引起的。這個漏電取決于帶電體的絕緣效率、帶電體的大小、其上的電荷密度以及空氣濕度。因為每分鐘的功率損耗約為四十分之一，而整個實驗大約需要四分鐘才能完成。在實驗的四分鐘里，考慮到功率的損耗，引力變小了，所以測得的擺動時間比理論值要長。經過修正后，兩個數值非常接近。
庫侖認為“帶相反電荷的電流體之間的作用力，與帶同種電荷的電流體之間的相互作用一樣，與距離的平方成反比”。這樣，庫侖利用類似于單擺的電擺法，測定出帶相反電荷的電流體之間的吸引力也與它們距離的平方成反比。在修正了實驗中的錯誤后，庫侖用實驗揭示了電、磁相互作用的過程。
需要指出的是，庫侖只是測量了距離平方的反比關系，才正式把靜電力和靜磁電力歸納到萬有引力的范疇。需要強調的是，庫侖并沒有具體驗證靜電力與電荷的乘積成正比，靜磁電力與磁荷的乘積成正比。后來，德國物理學家高斯（C. Gauss，1777-1855）提出了直接從庫侖定律定義電荷測量的思想。1839年，高斯發表了一篇題為《關于吸引力或排斥力與距離平方成反比的普遍定理》的論文，提出了靜電學的高斯定理。
（5）卡文迪什—麥克斯韋實驗方案已經成為當今人們驗證平方反比定律的最佳實驗方案。
由于直接測量困難（漏電等）、干擾和誤差大，庫侖獨創的直接測量電引力或電斥力的方法一般不采用。這時，我們不得不佩服當時的扭秤專家庫侖，能把實驗進行得如此精確、準確。這也從一個側面體現了老一輩物理學家的嚴肅、嚴謹。
卡文迪什-麥克斯韋實驗的思路是，對于均勻帶電的球形腔導體，可以測量腔內電荷。若腔內電荷為零，則
，如果不為零，則
。
1772 年，卡文迪什得出結論
19 世紀 70 年代，麥克斯韋重復了這個實驗，發現
1971 年，結果
外觀
它應該等于零。
（6）但人們仍然非常關心
是否嚴格為零。
因為電力平方反比定律的準確性不僅直接影響電磁場理論的準確性，而且與光子的靜質量是否為零也有直接的關系。
（哪怕是一個非常小的數值），它都會引起連鎖反應，導致物理學大廈的重建，具體來說：
① 電動力學的規范不變性將被破壞；
②電荷不再守恒，電荷有可能憑空出現或突然消失；
③光子的偏振態會發生改變；
④黑體輻射公式（見第27章）將被修改，這將破壞量子理論的基礎；
⑤還會發生真空色散，即不同頻率的光在真空中有不同的速度，從而破壞光速不變性，狹義相對論將被重置。
這些事件嚴重動搖了物理學的基礎，我們必須認真對待。
（7）庫侖扭秤實驗實際數據其實很少，他只做了幾組實驗（由于漏算嚴重等原因），當然他每組實驗都做得很認真、很細致，不然也不會有
結果雖然數據太少，但確實是一個硬傷。所以，庫侖定律不是大量實驗觀察的結果，而是基于事實的科學思維外推的結果，就像伽利略的兩次著名的理想實驗一樣。
(8)在該定律中出現了一個新的物理量：電荷的定義。
在電力的表達中，需要引入一個定量描述兩個點電荷大小的物理量——電荷量。這樣不僅可以表明它是電力，而且可以通過q1、q2的大小和正負來區分電力的大小以及這種力是吸引還是排斥。
在物理學中，開辟一個新領域、發現一個新定律，往往伴隨著新概念的提出和新物理量的定義。例如，牛頓定律定義了慣性質量，萬有引力定律定義了引力質量高中物理的相關科學家，熱力學定義了內能和熵，靜磁場定義了磁通量、磁感應強度等，靜電場問題中定義了電量、電場強度、電勢、電勢能、電場能量等。
（9）電力的方向恰好在兩個點電荷的連線上，電力在空間中具有球對稱性。需要注意的是，雖然這兩個性質與實驗大致相符，但前者并不是后者的嚴格要求。即便如此，我們還是愿意相信它們是正確的，因為我們更愿意相信空間是各向同性的，沒有偏好性。
這個例子說明，物理定律有高低兩級之分，它們之間有一定的從屬關系，而且高級別定律會包含低級別定律，顯得更有普遍性。
（以上物理學史部分內容參考自微信公眾號“中國科學院高能物理研究所”2017年2月9日文章-新知丨物理學史上的庫侖定律）
電荷的單位是“庫侖”，用符號C表示。其實C是一個非常大的單位。想象兩個點電荷，每個電荷為1C，距離為1m。庫侖斥力為
這相當于
其實這么大的電量是不可能存在的，因為周圍的空氣已經被擊穿了，所以帶電體的電量一般不會很大。
8.1.2庫侖法律持有的條件
仔細地看著教科書，在描述庫侖定律中，有一個句子“在真空中靜止”，這表明庫侖的定律是有條件的：①真空。
（1）真空。
真空狀況實際上是不必要的。 GES中的GES等。
在介電系統的實際應用中，我們將增加一個物理量
（相對介電常數），用于描述介電環境和真空環境之間的差異。
（2）靜止。
積分指控是否是靜止的，這是一個非常嚴重的問題，需要詳細且深入的解釋。
眾所周知，牛頓的第三定律實際上是在特殊條件下的勢頭保護范圍的產物，如果兩個物體形成一個封閉的系統，而不是由外部力量采用的，那么它們的動力是通過彼此之間的內部力量來保存的。
但是，在電荷系統中，庫侖不再遵循牛頓的第三定律。可能會有挪用公款和反饋，這會導致兩種電荷的總動量增加或減少，如果將電場添加到該系統中，則該系統的勢頭再次保留，牛頓的第三定律再次成立。
當我們談論時，似乎我們引入了一種非同尋常的物質形式 - “字段”。
使用D'方程式（請參見下文，讀者不必擔心等式中的各種物理數量），可以計算出移動電荷周圍的電勢時的電勢會滯后，而該電位始終落后于及時激發它的源頭，我們稱這種潛在的潛在潛力是延遲的潛力。
延遲電位（）表明，電荷產生的物理效應不能立即傳輸到場點，但在以后的時間內傳輸。
（3）點充電。
理想的點電荷模型的引入說明了電荷的量子性質。
在進行大量實驗后，在1834年，法拉第（）給出了電解定律：當相等的電荷通過不同的電解質時，電極上沉淀的物質的量與物質的化學等效物成正比（相對原子質量與原子價的比率）。
換句話說，E應該是基本電荷，所有對象的電荷應該是它的整數倍數。
1909年，的油滴實驗（如圖所示）直接測量了油滴的電荷。
我們還發現電子幾乎永遠不會衰減，它們的衰減周期大約
年份比已知宇宙的年齡要大得多（138.2億年）。
總而言之，可以說，守護指控定律既不能創建也不能被銷毀，也不能被銷毀，只能將費用從一個對象轉移到另一個對象，或者從一個對象的一個??部分轉移到另一個對象到另一個對象，在任何物理過程中，保留了代數的費用。
闡明：
從庫侖定律的整個過程中，我們可以理解：
（1）物理學非常嚴格。
（2）物理學對于特定的實驗定律非常精確，表達式必須非常合適，必須精確，確定法律的條件必須非常嚴格和客觀，并且法律的應用范圍必須明確且明確。
（3）物理法律是一個很長的過程。
（4）從發現庫侖定律的發現，我們還應該了解，得出一般物理定理和法律的過程經歷了以下過程：
obse obse;
②提出問題；
③猜猜答案；
④設計實驗測量；
并找到關系并發現模式；
⑥形成定理和法律（通常需要引入新的物理數量或新模型，找到新的內容和正確的表達式）；
⑦檢查其建立，應用范圍，準確性，理論地位和現代意義的條件；
⑧在追求法律的有效性背后是否存在更高和更深的物理原因，因為在正確的陳述背后必須有正確的理解。
（5）此案還告訴我們，創新的思維很難通過練習來發展創新思維和創新能力，這是俗話說的持續積累，只有一個偉大的積累才能取得巨大的成就，只有一個偉大的知識才能使我們的態度良好。