研究滾動球體的學術數學和理論熱力學有很多問題。 滾球與地面之間存在純滾動、“滾滑”等不同運動狀態。 根據不同的運動狀態，有多種摩擦力，如靜摩擦力、滑動摩擦力、靜滾動摩擦力矩和動滾動摩擦力矩[1]。 為了更好地理解摩擦力與小球運動狀態之間的關系，本文建立了統一的摩擦力物理模型，并利用軟件對“拉小球”問題進行了仿真分析。
1 摩擦的物理模型
摩擦力的物理表達式為
f的方向與相對速度或相對運動趨勢相反，其大小與正壓力N成反比。摩擦素數μ可分解為兩部分的乘積
其中 |μd| 表示動摩擦素數的大小，ε表示摩擦力的方向和實際摩擦素數與動摩擦素數的偏離程度。 一般來說，靜摩擦的質數μs大于動摩擦的質數μd，例如鑄鐵與鑄鐵之間μs≈6μd，銅與低碳鋼之間μs≈1.47μd
為了便于計算機進行積分和微分運算，可以構造ε對相對速度vr的解析函數，使其圖像滿足圖1。當vr較大時，不對摩擦素數進行修正，即符號與相對運動方向一致。 當 vr 較小且接近靜止時，摩擦素數需要修正值，如圖 1 中的峰值所示。
這個解析函數可以用下面的方式表示（方式不唯一）
第一項對應滑動摩擦素數，第二項是修正項。 實際上，在用計算機求解問題時，只有取較大的K值才能得到滿意的結果。所以在下面，這個解析函數寫成
(3)
滾動摩擦阻力均勻的時刻是由于球與地面不是理想的質心，發生彈性變形。 鉛垂約束力系統的作用點與理想位置的偏差形成了滾動摩擦阻力的均勻力矩[1, 2]。類似于滑動摩擦和靜摩擦，也可以構造無量綱系數εr(ω)為統一描述，類似公式（1）（2）（3）
其中 μr 是寬度維度的系數。
2 具體問題及解決方案 2.1 攜帶動物積木
問題描述：如圖2所示，方塊初始靜止，F從0開始線性減小，銅與低碳鋼的距離μs=0.53，μd=0.36，分析方塊運動
木塊受到外力F和摩擦力f，根據牛頓第二定理和式（1）、式（2），有如下微分方程
它的數值解[3]可以用它來求解。 加速度與外力的關系如圖3所示，圖中的數學量已經過無量綱化處理。
從圖中可以看出，隨著外力的減小，木塊最初是靜止不動的。 當外力恰好等于最大靜摩擦力時，加速度突然發生變化，物體開始滑動。 可以看出，估計的結果與實際的化學過程是一致的。
2.2 運球
問題描述：如圖4所示，木塊初始靜止，F從0開始線性下降，t1時刻外力去除。
以圖4中箭頭方向為正方向，根據牛頓第二定理和旋轉定律[4]，可得
注意，相對速度是球體表面與地面的相對速度
球體繞剛體的旋轉力矩為
將方程（1）（2）（4）（5）（9）（10）代入方程（8），可得關于v和ω的二元一階微分方程組
其數值解可采用該方法求解，參考相平面表示法[5]，以（角）速度為縱軸，以（角）加速度為橫軸，使得可以觀察到整個運動過程，如圖5所示。
為便于比較，去掉式（3）和式（6）的第二項滾動摩擦時摩擦力的方向，即認為靜摩擦和動摩擦相等，μs=μd，μrs=μrd，得到運動相位圖，如圖6所示。
3 討論
圖 5 和圖 6 所示的球面運動的相位軌跡都圍繞著一個閉合圖形，代表了從靜止到運動再回到靜止的整個過程。 垂直軸兩側的軌跡代表加速度段，其中施加線性減小的外力F。 縱軸兩側的軌跡代表減速段，沒有施加外力F。 關注圖 5 中段落的數學意義。
(1)OA段：小球靜止。由于外力F小，由靜摩擦力fs清河滾動摩擦力Mrs平衡
(2)A點：變為純滾動(a=βr)，摩擦力仍為靜摩擦力fs。 外力F和靜摩擦力fs產生的扭矩克服了靜滾動阻力Mrs，靜滾動摩擦Mrs變為動滾動摩擦Mrd滾動摩擦時摩擦力的方向，球突然滾動起來。
(3)AB段：保持純滾動(a=βr)，摩擦力仍為靜摩擦力fs。 隨著外力F的減小，加速度a和角加速度β減小。
(4)B點：變為“滾動打滑”(a>βr)，摩擦力變為滑動摩擦力fd。 外力F過大，使靜摩擦fs變為滑動摩擦fd，因為fd<fs，剛體加速度突然減小，角加速度突然減小。
(5)BC段：保持“滾滑”(a>βr)。
隨著外力F的減小，加速度a減小，角加速度β不變，因為滑動摩擦力fd和動滾動阻力Mrd不變。
(6) C點：保持“滾滑”(a≠βr)。
在C處撤去外力后，加速度a反之，由滑動摩擦力fd唯一確定。 角加速度β是恒定的，因為滑動摩擦力fd和動態滾動阻力Mrd是恒定的。
(7)CD段：保持“滾動和打滑”(a<βr)。 加速度保持C點結束時的狀態，直到D點。
(8) D點：轉化為純滾動(a=βr)，滿足v=ωr，滑動摩擦力fd轉化為靜摩擦力fs，fs和Mrd共同決定剛體加速度a。
(9)DO段：保持純滾動(a=βr)，不斷減速，直至最終停止。
值得注意的是，圖中實線重疊的過程是“純滾動”，實線分開的過程是“滾動滑動”。
對比圖5和圖6可以發現，如果假設靜摩擦力等于動摩擦力，μs=μd，μrs=μrd，分析結果會有很大偏差。
4個推論
本文建立了摩擦的物理模型，并利用軟件對具體問題進行了仿真分析。
(1)借助無量綱系數ε(vr)εr(ω)構造摩擦力和滾動摩擦力的統一表達式，見式(3)(6)，進行計算機仿真分析。
(2) 開球問題分為4個節點和5個階段的過程。 每個節點的加速度都會有突變，每個過程都有明確的數學意義。
(3) 該物理模型可用于教學驗證理論分析的正確性。
參考
[1] 傅國慶，李黛云． 滾動摩擦成因及其對運動影響的解釋[J]. 湖南廣播電視學院學報, 2009(2): 79-80.FUGQ, LIDY.[J].廣播電視, 2009(2): 79-80.(in)
[2]徐玉華． 滾動摩擦概念細化[J]． 廣州大學學報(工程技術版), 1996(4): 96-98. XUYH.[J]. of(and), 1996(4) : 96-98.(in)
[3] 孔祥強． 基于軟件的常微分方程終值可視化[J]． 南京師范大學學報, 2015, 34(10): 20-2. .based in value [J]. of, 2015, 34(10): 20-2. （在）
[4] 謝傳峰，王琦． 理論熱[M]． 南京: 高等教育出版社, 2015: 59-65, 251-263.
[5]程鵬． 手動控制原理[M]． 上海：高等教育出版社，2010：229-236.
作者簡介：王雯雯，女，院長，主要從事化學教學與科研工作，研究方向為功能薄膜材料與元器件。
引用格式：李文濤，李文博，王文文。 基于對球面摩擦的深入認識[J]. 化學與工程, 2020, 30(5): 72-75.
結尾