試卷第1頁(yè)，共8頁(yè) 高中物理競(jìng)賽電磁學(xué)專項(xiàng)練習(xí)20題（附答案及詳解） 一、回答問(wèn)題 1、如圖所示，在一根直長(zhǎng)螺旋管中間設(shè)一個(gè)由導(dǎo)線組成的環(huán)，環(huán)的軸線與螺旋管的軸線重合。環(huán)由兩個(gè)阻值不同的半圓環(huán)組成，它們的阻值R1、R2未知。在兩個(gè)半圓環(huán)A、B連接處接三塊純電阻電壓表，導(dǎo)線AVB沿環(huán)直徑準(zhǔn)確放置，在螺旋管兩側(cè)放置0A V1 B和A V2 B，長(zhǎng)度任意。當(dāng)交流電通過(guò)螺旋管時(shí)，發(fā)現(xiàn)V0和V的讀數(shù)分別為5V和10V。 問(wèn)：V的讀數(shù)是多少？ 這里忽略螺旋管外的磁場(chǎng)和電路的電感。 2、在圖1、2、3所示的無(wú)限長(zhǎng)的直載流導(dǎo)線中，若電流I隨時(shí)間t變化，則其周?chē)臻g的磁場(chǎng)B也將隨t變化，從而激發(fā)出感應(yīng)電場(chǎng)E。在載流導(dǎo)線附近的空間區(qū)域，B隨t的變化，乃至E隨t的變化，都可以近似地看作與I隨時(shí)間t的變化同步。而在距離載流導(dǎo)線足夠遠(yuǎn)的空間區(qū)域，B和E隨t的變化將滯后于I隨t的變化。考慮到電磁場(chǎng)變化的傳播速度是光速，即使標(biāo)題圖中討論的空間區(qū)域的維度很大，即若將其建模為圖中趨于無(wú)窮大的x，則由于這個(gè)距離滯后于I隨t的變化而引起的B和E隨t的變化的影響實(shí)際上可以忽略不計(jì)。在此前提下，解決下面的問(wèn)題（1）系統(tǒng)如圖1、圖2所示。令I(lǐng)=I(t)①通過(guò)分析，確定圖1中xOy平面上P點(diǎn)處感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度EP三個(gè)分量EPx、EPy、EPz的零分量。②圖2中l(wèi)〉l矩形框的環(huán)路方向已定，試求環(huán)路電動(dòng)勢(shì)e12③設(shè)圖1中P點(diǎn)、Q點(diǎn)處感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小分別為EP和EQ，試求EP-EQ的值（2）由兩根無(wú)限長(zhǎng)反向電流導(dǎo)體組成的系統(tǒng)如圖3所示。再令I(lǐng)=I(t)。試求P3點(diǎn)處感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向和大小。現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)如圖1所示的網(wǎng)絡(luò)。該網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)以A為原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（1985，930）的無(wú)限大方網(wǎng)絡(luò)。現(xiàn)有兩個(gè)這樣的網(wǎng)絡(luò)AB和AB，在它們的單位長(zhǎng)度上配置的電氣元件分別為一個(gè)電容為C的電容器和一個(gè)電感為L(zhǎng)的線圈，網(wǎng)絡(luò)中的電阻可以忽略不計(jì)，將它們連接起來(lái)組成如圖2所示的電路。S為調(diào)頻信號(hào)發(fā)生器，能發(fā)出頻率為f=（0，+w）Hz的電正弦交流信號(hào)，即U=U sin（2t），U為已知常數(shù)，R為已知保護(hù)電阻S00。試求S的頻率f以及軀干電流達(dá)到最大值時(shí)的軀干峰值電流。在空間若干點(diǎn)處放置若干點(diǎn)電荷q1，q2，q3，q4，…，qn。對(duì)于點(diǎn)i，該點(diǎn)處其余n-1個(gè)點(diǎn)電荷的電勢(shì)和為U。若在這n個(gè)點(diǎn)上放置另n個(gè)點(diǎn)電荷q，q，q，q，…，i123q，且U，（i=1,2，…，n）ni（1）證明：xn qU，= xn q，U（n+2）iiiii=1i=1（2）利用（1）中的結(jié)論，證明真空中一對(duì)導(dǎo)體電容器的電容量與兩導(dǎo)體所帶電荷無(wú)關(guān)。（一對(duì)導(dǎo)體上帶相等但相反的電荷） （3）利用（1）中的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：如圖所示，正四面體ABCD所有面均為導(dǎo)體，但彼此絕緣。已知四個(gè)面帶電后電勢(shì)分別為Q、Q、Q、Q，求四面體中心的電勢(shì)試卷第3頁(yè)，共8頁(yè)。有七塊相同的金屬板，面積為S，放置在真空中。除4和5號(hào)板之間的距離為2d外，其他兩塊相鄰板之間的距離均為d，且1和5、3和7用導(dǎo)線連接。計(jì)算：（1）由4和6號(hào)板組成的電極的電容（2）若在4和6之間施加電壓U，求每塊板上所受的作用力。6.如圖所示，由一塊圓形平行金屬板構(gòu)成一個(gè)電容器，金屬板的半徑為R，它們之間的距離為d。兩塊金屬板的中平面（即平行于兩板且平分兩板之間面積的平面）上有一個(gè)點(diǎn)P。 P到兩中心O的距離為R+r（r0）R。已知極板的表面電荷密度為，且Rrd，求P點(diǎn)電場(chǎng)的大小。EP7.一個(gè)環(huán)形鐵芯上繞有N匝絕緣導(dǎo)線，導(dǎo)線兩端接有電動(dòng)勢(shì)為c的交流電源。環(huán)形鐵芯上放有一個(gè)均勻的細(xì)環(huán)，其電阻為R，自感可忽略不計(jì)，細(xì)環(huán)上a、b點(diǎn)間環(huán)（劣弧）的長(zhǎng)度為細(xì)環(huán)長(zhǎng)度的1/1。在a、b點(diǎn)接一個(gè)電阻為r的交流電流表G。接法有兩種，分別如圖1和圖2所示。試算用這兩種方式計(jì)算通過(guò)G的電流。試卷第4頁(yè)，共8頁(yè)8.有一個(gè)平面方形無(wú)限大帶電網(wǎng)絡(luò)。每個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為r，線電荷密度為λ（λ 0）。有一個(gè)帶電荷為Q（Q 0），質(zhì)量為m的粒子，恰好位于某個(gè)網(wǎng)格的中心，若沿某一方向擾動(dòng)它，它將移動(dòng)d，dr。試計(jì)算它所受電場(chǎng)力的大小，并描述它隨后的運(yùn)動(dòng)。（提示：可能的公式=1+ + + +）。（1）一維電磁駐波E(x) = Asin(kx)在x方向上被限制在x = 0和x = a之間。二x(2)弦理論認(rèn)為物理空間不止三維，額外隱藏維度空間像薄圓柱體表面一樣卷起來(lái)。二x(2)弦理論認(rèn)為物理空間不止三維，額外隱藏維度空間像薄圓柱體表面一樣卷起來(lái)，如圖中y坐標(biāo)所示。設(shè)圓柱體半徑為b(a)。電磁波在圓柱表面的形式為E(x,y)=Asin(kx)cos(ky)，式中y為圓柱周?chē)郫B空間的坐標(biāo)。求k的可能值。xyy(3)光子能量W=hc·k2+k2，式中hc=1239(eV·nm)，eV代表1電子伏特，2πxy1nm等于109m。人類目前能產(chǎn)生的最高能量光子約為1。
0×。如果這個(gè)能量能產(chǎn)生折疊空間的光子，那么b的值滿足什么條件？ 10、圖1所示的二極管電路中，從A端輸入圖2所示波形的電壓，如果電容最初不充電，試畫(huà)出三個(gè)周期內(nèi)B、D點(diǎn)電壓的變化情況。如果把三極管看作一個(gè)理想開(kāi)關(guān)，那么B點(diǎn)電壓的極限是多少？ 試卷第5頁(yè)，共8頁(yè) 11、理想非門(mén)可以看作一個(gè)受控電壓源：當(dāng)輸入電壓小于U=6V時(shí)，輸出端相當(dāng)于C與地線之間的一個(gè)理想電壓源，電源電壓為U=12V；當(dāng)輸入電壓大于U時(shí)，輸出端相當(dāng)于C與地線之間的短路。等效電路圖如圖1所示。不同非門(mén)中的接地點(diǎn)可以看作同一點(diǎn)。我們可以利用非門(mén)、電容和電阻制作一個(gè)輸出方波信號(hào)的多諧振蕩器。給出圖2電路中U與時(shí)間的關(guān)系。02提示：對(duì)于圖3中的RC電路貝語(yǔ)網(wǎng)校，從電路接通的那一刻起，電容上的電壓隨時(shí)間的變化為U(t)=U(1e tRC)012。如圖所示，在一圓形區(qū)域（足夠大）內(nèi)，有一個(gè)垂直于紙面、向內(nèi)的磁場(chǎng)B=k，該磁場(chǎng)隨時(shí)間均勻增大。在距圓心O d的位置P處有一顆釘子，釘在一根長(zhǎng)度為l、質(zhì)量為mt的均勻絕緣桿的中心。絕緣桿可以在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，不受摩擦。絕緣棒上半部分均勻帶正電，電荷數(shù)為Q，下半部分均勻帶負(fù)電，電荷數(shù)為Q。初始時(shí)刻，絕緣棒垂直于OP試卷第6頁(yè)，共8頁(yè) (1)計(jì)算P點(diǎn)處釘子所受的壓力 (2)若絕緣棒受到輕微擾動(dòng)，在平面內(nèi)做往返轉(zhuǎn)動(dòng)（速度很小，洛倫茲力可以忽略），1證明此運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并計(jì)算周期。 （絕緣桿繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I=ml2）1213.在圖1所示的電阻網(wǎng)絡(luò)中，圖中每個(gè)電阻的阻值分別為r（1）求R、RABAC（2）現(xiàn)將網(wǎng)絡(luò)接入電路，如圖2所示。交流間接電感L，A、B接在角頻率為的交流電源上，現(xiàn)為了提高系統(tǒng)的功率因數(shù)，在A、B之間接一個(gè)電容C，求使得功率因數(shù)r等于1的電容C，已知L=14。兩圓形線圈分別繞制N1、N2匝，半徑分別為i、r2，設(shè)大圓的電阻為R。試求：（1）兩線圈在同軸共面位置時(shí)的互擾系數(shù)（2）在小線圈中通以恒定電流I，使它以速度v沿軸線勻速移動(dòng)，始終保持二者同軸。計(jì)算兩線圈中心距離為x時(shí)，大線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)。 （3）若將小線圈由共面移至很遠(yuǎn)的距離，計(jì)算通過(guò)大線圈的感生電荷。（忽略一切自感） 15.如圖所示，有一個(gè)兩端無(wú)限延伸的電阻網(wǎng)絡(luò)，設(shè)每小段電阻絲的阻值為1，求A、B間的等效電阻R是多少？（結(jié)果應(yīng)四舍五入保留三位顯著數(shù)字） AB試卷 第7頁(yè)，共8頁(yè) 16.如圖a所示，電阻R=R=1k，電動(dòng)勢(shì)E=6V，電路10中串聯(lián)兩個(gè)相同的二極管D，二極管D的IU特性曲線如圖b所示。計(jì)算： DD （1）通過(guò)二極管D的電流； （2）電阻R1消耗的功率。17如圖A所示，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)并聯(lián)運(yùn)行，共同向負(fù)載供電，負(fù)載電阻為R=24。由于某種原因，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)不同，=130V，r=1，=117V，112r=0。
6、求各發(fā)電機(jī)中的電流和它們發(fā)出的功率。 218、圖1所示無(wú)限旋轉(zhuǎn)內(nèi)接方導(dǎo)線網(wǎng)絡(luò)，是由一根厚度和材質(zhì)均勻的導(dǎo)線構(gòu)成的，其中每個(gè)內(nèi)接方導(dǎo)線的頂點(diǎn)分別在最外邊方導(dǎo)線四條邊的中點(diǎn)。已知與最外邊方導(dǎo)線邊長(zhǎng)相同的導(dǎo)線AB的電阻為R。求網(wǎng)絡(luò)中（1）A、C兩端之間的等效電阻R；（2）A、C兩端之間的等效電阻R。 EC試卷第8頁(yè)，共8頁(yè)19.如圖所示為正四面體框形電阻網(wǎng)絡(luò)，其中各小段的電阻為R。試求：（1）AB之間的電阻；（2）CD之間的電阻。 20、如圖所示的網(wǎng)絡(luò)中，我們只知道某些支路上的電流值及方向，某些元件參數(shù)及支路交叉口的電位值（相關(guān)數(shù)值及參數(shù)已在圖A上標(biāo)注出來(lái)）。請(qǐng)利用給出的相關(guān)數(shù)值及參數(shù)，計(jì)算出含有電阻R的支路上的電流值I及其方向。 xx 答案 第1頁(yè)，共30頁(yè) 參考答案 1. U = 20V 或0. V2 【解析】 【詳細(xì)解釋】 因?yàn)槁菥€管內(nèi)有交流電，所以電路中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)也是交變的，但可以僅限于某一時(shí)刻感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、電壓、電流的瞬時(shí)值。這是因?yàn)樵跊](méi)有電感和電容的情況下，各量的有效值之間的關(guān)系和瞬時(shí)值之間的關(guān)系是一樣的。 （1）當(dāng)R等于R，取UU時(shí)，電路中電流如圖所示，則 12ABI R + IR - c0 = 0, IR + I,R - c 0 = 0, 0 V01 120 R - IR + c 0 = 0, IR - I,R + c 0 = 0. 0 V02 220 重新排列后可得c0 = IR + I,R = I,R - IR。 20 V0 所以，U = I,R = 2IR + I,R = （2）當(dāng)RR時(shí)，取U為U，I取反，其它保持不變，則c0 = I,R - IR = I,R + IR V0 所以，U = I,R = I,R - 2IR = 0（此時(shí)R = 0，即R段為超導(dǎo)體，R４0） 綜上所述，U = 20V 或0V22。 （1）①EPz = 0 ②c = l0π1 (|( ))|ln x l2③EP - EQ = (|( ))|ln x l2(2)EP(x)= (|())|ln dx ，參考方向取與y軸相反方向 【解析】 【詳細(xì)解釋】（1）①設(shè)E 豐0，則在過(guò)P點(diǎn)、平行于xOy坐標(biāo)平面的平面上，以x為半徑，y軸Pz為中軸取圓，設(shè)環(huán)路方向如解圖所示。由于系統(tǒng)軸對(duì)稱，環(huán)路各點(diǎn)感應(yīng)電場(chǎng)E的角分量與圖中E方向一致且沿環(huán)路方向，且大小相同。由E進(jìn)行環(huán)路積分得到的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)Pz c 士0。另一方面，電流I的磁場(chǎng)B在環(huán)路所圍表面上的磁通量始終為零，磁通量的變化也為零，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，c=0。二者是矛盾的，所以必定是E=0。Pz若E±0，由于體系的軸對(duì)稱性，溶液圖1圓柱面上每一位置的場(chǎng)強(qiáng)E的y方向分量的方向和大小與圖中E Py的方向和大小相同。如果取一系列半徑x不同的同軸圓柱面，則各圓柱面上的場(chǎng)強(qiáng)E的y方向分量的方向和大小都相同，但大小應(yīng)隨x的增大而減小。這樣就使文圖2中矩形回路中感生電動(dòng)勢(shì)c±0符合法拉第電磁感應(yīng)定律，所以允許E±0Py。若E±0，由于軸對(duì)稱性，溶液圖1圓柱面上各位置的場(chǎng)強(qiáng)EE徑向分量的方向與PxPx對(duì)應(yīng)的E徑向方向一致，二者的大小也相同。將溶液圖1中圓柱面的頂部和底部封蓋起來(lái)，形成一個(gè)頂部和底部有兩個(gè)端面E的圓柱高斯面。
dS 通量積分之和為零，在 E 側(cè)。dS 通量積分不為零，這與獲得 jjs E 的麥克斯韋假設(shè)一致。 dS = 1c0 jjjVs pe dV = 0 矛盾，所以必定有 EPx = 0dt x12πx ②根據(jù)法拉第定律，參考文中圖2，c = 一dj x+l2一B (x )l dx ，其中B(dt x12πx 所以，c = 一(|( l1 ln ))??| = l0π1 (|( ))|ln ③根據(jù)麥克斯韋感應(yīng)電場(chǎng)假設(shè)，結(jié)合（1.1）問(wèn)題的答案，可知c = j E 。 dl = E (x)l 一E (x + l )l 121L結(jié)合①和②得到的結(jié)果，可知答案為 第3頁(yè)，共30頁(yè) E (x )l1 - E (x + l2 )l1 = l0π1 (|( ))|ln E (x )- E (x + l2 )= (|( ))|ln 即 EP - EQ = E (x)- E (x + l2)= (|())|ln （2）從物理角度看，遠(yuǎn)場(chǎng)應(yīng)為 E(x + l)) 02l2)w代入上式，可得 EP = E (x)= (|())|ln x l2 l2)w)w為書(shū)寫(xiě)方便，將EP改寫(xiě)為 EP) EP (x)= (|())|ln x l2 lz)w)wE (x)為發(fā)散，是由模型引起的，并非真實(shí)的發(fā)散。如圖所示，E(x)是左邊變化電流貢獻(xiàn)的E(x)與右邊變化電流貢獻(xiàn)的E(x)的復(fù)合，參考方向取與y軸相反的方向。即 E(x)=E(x)-E(x) (x)=(|( ))|ln=(|( ))|ln (x)=(|( ))|ln=(|( ))|ln 所以 E(x)=EP(x)=(|( ))|ln d-xx答案第4頁(yè)，共30頁(yè) UO13. I=0，f==π2πLC 【解析】【??詳細(xì)解釋】設(shè)電感網(wǎng)絡(luò)等效電感為L(zhǎng)=aL，則它的阻抗Z=aOj（j為單位虛數(shù)根）ABL1又因AB與AB結(jié)構(gòu)相同，阻抗形式相似，且Z=a。
j，所以總的1CCL LCOC阻抗Z = ZL + ZC + ZR = R + (|(aLOj一a O1C j))| = R +a (|(OL一O1C ))|j且峰值I0 =高中物理第20題，所以I0 = U0。R2 +a 2 (|(aL一O1C ))|2 一111所以，當(dāng)OL 一= 0，即O =時(shí)，I最大。此時(shí)I = 0，且f ==Q +Q +Q +Q4。 （1）證明見(jiàn)分析 （2）證明見(jiàn)分析 （3）Q = 【解析】【??詳細(xì)解釋】（1）設(shè)點(diǎn)i在點(diǎn)j上產(chǎn)生的電勢(shì)為aq。同理，易知點(diǎn)j在點(diǎn)i上產(chǎn)生的電勢(shì)為aq。對(duì)于這個(gè)二點(diǎn)系 ij iji j，有 U q = U q，即 a= aq qij jji iij i jji ji。因此，a = a。易知a是一個(gè)只依賴于位置的參數(shù)。又 U = aq + aq + aq + + aq = xn aq（設(shè)a = 0）jiij=1 則 U, = aq, + aq, + aq, + + aq, = xn aq,（a只依賴于位置）jijj=1 所以，qiUi, = qi (|(aij qj,))| = aij qi qj, = qi, (|(aij qj))| =qi,Ui答案第5頁(yè)，共30頁(yè)所以原公式（格林互易定理）成立 (2)設(shè)兩導(dǎo)體前后的靜電分別為Q、Q，它們對(duì)應(yīng)的電容分別為C、C 1212。??由（1）可知，xnqU,=QU-QU=Q（UU）（式中U、U分別為有Q時(shí)兩導(dǎo)體的靜電勢(shì)=1）同理，xnq,U=QU一QU=Q（U一U）（式中U、U分別為有Q時(shí)兩導(dǎo)體的電勢(shì)）=1由（1）可知，二者相等，則Q（U一U）=Q（U一U）所以，C=Q1=Q2=C1U一UU一U2，這與導(dǎo)體上帶電荷量的多少無(wú)關(guān)。 （3）根據(jù)題目要求，設(shè)四個(gè)面及中心O的電荷分別為q1、q2、q3、q4、0。同時(shí)高中物理第20題，四個(gè)面及中心的電位分別為Q 1、Q 2、Q 3、Q 4、QO。現(xiàn)將四個(gè)外表面接地，在中心放置一個(gè)Q的點(diǎn)電荷，中心電位為U，四個(gè)表面產(chǎn)生的感應(yīng)電荷相等，為1。此時(shí)四個(gè)表面及中心O的電荷與電位分別為4-、1-、1-、1-、1-、1-、Q；0、0、0、0、U 4444。由格林互易定理可得Q1。
(|(一))| +Q2. (|(一))| +Q3. (|(一))| +Q4. (|(一))| +QO. U = 0Q +Q +Q +Q，則可得 Q = S32c U 2 S13c U 2 S5. (1) C = S32c U 2 S13c U 2 2F = 16c U2 S0，方向向上； F = 81c U2 S0，方向向上6722d 2【解析】【??詳細(xì)講解】（1）由兩個(gè)極板4、6組成的電容器結(jié)構(gòu)，可以等效為如圖所示的電容器網(wǎng)絡(luò)，其中答案為第6頁(yè)，共30頁(yè) = Q = 則 C = Q = 則 C = 3446.圖1 SC = SC = C = C = C = C = 0=從圖中可以看出，每個(gè)電容器所攜帶的電荷滿足下列關(guān)系的各支路電壓：C，C = 0=。 = Q ． 2312Q = Q + Q ， = Q ． + 67 = UC 2C，34 + 56 = U ， CC． 23 34 + 56 = U ， CC． CCCC由以上各式可得 1CU ，19+ 1CU ，19+ Q45 = U=CU ， Q =CU ， Q =CU ， Q =CU ，19Q=0 19d 求端子 4、6 的電容，也可以先求出左圖所示電阻網(wǎng)絡(luò)的阻值，然后再求電容。將圖中 O ABC 的 Y 型接法改為 △ 型接法，得到圖 2 右圖所示電路，其阻值如圖所示，則易得 19R = R ． 4616U 直流電路的電阻、電壓、電流分別為 I = ． R 電容器組成的電路的電容、電壓、電荷分別為 Q = CU ． 1 類似地，C ~ ． R與上述電阻電路匹配電容電路，故答案為第7頁(yè)，共30頁(yè)33 3(33 3( 2c2c) ~，即C =C = .46(2)由于每塊極板上所受的力均為系統(tǒng)中其他極板上的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)作用于本極板上電荷的作用力，因此通過(guò)高斯定理很容易計(jì)算出每塊極板上的場(chǎng)強(qiáng)，進(jìn)而得到每塊極板上所受的力為Qc U 2 S11 2F = E Q11 20( E計(jì)算方法：1極板側(cè)面不帶電，下側(cè)帶電Q，為正電，即Q = Q = c US0，根據(jù)電荷守恒定律，2 ~ 7塊極板總電荷為Q1，為負(fù)電，將2 ~ 7作為一個(gè)整體考慮，容易得到E1 = 2c1 )0下面的符號(hào)Q代表極板所帶的總電荷第 i 個(gè)板塊。iF = EQ = 0。（顯然，該板塊的 Q = 0）22 22F = EQ = | 12 - 4567 |。
Q = F = EQ = | 12 - 4567 |。Q = 0，方向向下。00式中，Q = -Q + Q = -10c US0+ c US0 = -9c US0，= Q + Q = 16c US0，= -Q + Q = 3c US0，= -Q -Q = -16c US0，= -Q = -7c US0。同理可得：F = 32c U2 S0，方向向上；4361d 2F = 13c U2 S0，方向向下；5722d 2F = 16c U2 S0，方向向上；6722d 2F = 81c U2 S0，方向向上。
