阿基米德浮力定律一開(kāi)始是由阿基米德通過(guò)無(wú)數(shù)次的實(shí)驗(yàn)得出的：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力大小等于物體排開(kāi)液體所受重力。
這個(gè)定律的證明其實(shí)并不難：我們用p(r)表示液體在不同位置的壓強(qiáng)，它是關(guān)于位置r的函數(shù)。這里我們僅討論各向同性的液體（如水，在各個(gè)方向上性質(zhì)相同），那么p(r)是個(gè)標(biāo)量。而浮力實(shí)際上就是液體對(duì)物體的總壓力（液體對(duì)物體表面的壓力的合力），F(xiàn)浮=∫∫ p(r)ds（壓強(qiáng)關(guān)于面積的積分），此處不好用高斯定理或者stokes定理（因?yàn)閜(r)是標(biāo)量且是面積和體積之間的關(guān)系），所以用一個(gè)高斯定理的一個(gè)推論：Φ(x,y,z)=Φ(r)為可微的三維的點(diǎn)函數(shù)，則存在下列面積分和體積分的關(guān)系：=∫∫ Φds=∫∫∫▽(Φ)dV.(即面積的積分等于梯度的體積分)。則F浮=∫∫∫▽(p)dV
在來(lái)看液體壓強(qiáng)的形成：液體的內(nèi)壓強(qiáng)是由上層液體的重量引起的，對(duì)于均勻的流體，不難由以一為單位面積為底柱體中的液體重量得到在r=(x,y,z)處的壓強(qiáng)p(r)=r(x,y,z)=ρg(h-z)，其中ρ,h,g分別為液體的密度，液面高度和重力加速度。把壓強(qiáng)公式代入即得：F=ρg∫∫∫dV=ρgV，由此即得阿基米德定律。當(dāng)然，這個(gè)結(jié)論把地球想象成了平的，在地球?yàn)轭?lèi)球形的情況下，阿基米德定律是存在一定的誤差的，當(dāng)流體的體積過(guò)大時(shí)。
