貢獻(xiàn)者：addis;零穹
預(yù)備知識(shí)質(zhì)心，角動(dòng)量定律，勻加速直線運(yùn)動(dòng)
1.質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
若質(zhì)心繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這么質(zhì)心的位置只需一個(gè)變量即可完全確定（一個(gè)自由度），我們令該變量為拐角$theta$。$theta$關(guān)于時(shí)間$t$的行列式就是質(zhì)心定軸旋轉(zhuǎn)的角速率$omega$。我們還可以定義角速率$omega$關(guān)于時(shí)間的行列式（即$theta$關(guān)于時(shí)間的二階行列式）為角加速度（），記為$alpha$
begin{}alpha=frac{txrzbvzd^{2}{theta}}{txrzbvzd{t}^{2}}~.end{}
我們可以把質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)類比質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，把$theta$，$omega$和$alpha$分別類比為直線運(yùn)動(dòng)中的位置$x$，速率$v$和加速度$a$，由于后三個(gè)變量之間的物理關(guān)系是完全相同的：$v,omega$分別是$x,theta$的一階求導(dǎo)，而$a,alpha$分別是$x,theta$的二階行列式。
于是我們可以立刻類比勻加速直線運(yùn)動(dòng)得到勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（即$alpha$為常數(shù)）的一些公式，如
begin{}omega=+alphat~,\theta=+t+\alphat^2~,\^2-^2=2alpha(-)~.end{}
在以上三個(gè)標(biāo)量的基礎(chǔ)上，我們可以定義它們的矢量方式${{theta}}$，${{omega}}$和${{alpha}}$，令它們的方向?yàn)檗D(zhuǎn)軸的方向，用左手定則來判別。在質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的約束下，三個(gè)矢量的方向都是轉(zhuǎn)軸的方向，所以通常用標(biāo)量就足夠了，這就好比討論質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，用標(biāo)量表示位置物理旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)公式，速率，加速度就夠了。只有當(dāng)轉(zhuǎn)軸會(huì)隨時(shí)間改變時(shí)才有必要使用矢量方式（見“慣性張量”）。
要判定質(zhì)心上任意一點(diǎn)的速率，使用即可（見）
begin{}{{v}}={{omega}}\times{{r}}={{omega}}\times{{r}}_bot~.end{}
圖1：質(zhì)心定軸旋轉(zhuǎn)時(shí)任意一點(diǎn)的線速率
以上只是運(yùn)動(dòng)學(xué)而不含動(dòng)力學(xué)，也就是并沒有考慮力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。下邊我們將通過角動(dòng)量定律得出類似牛頓第二定理的動(dòng)力學(xué)公式：
begin{}tau_z=Ialpha~,end{}
其中$tau_z$是外力對(duì)系統(tǒng)的合扭力在轉(zhuǎn)軸方向（令為$z$軸）的份量，對(duì)應(yīng)牛頓第二定理中的力$F$；$I$（有時(shí)也用$J$）是一個(gè)和質(zhì)心的質(zhì)量分布有關(guān)的量叫轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，對(duì)應(yīng)牛頓第二定理熱學(xué)中的質(zhì)量$m$。2.角動(dòng)量的軸向份量與轉(zhuǎn)動(dòng)力矩
要討論質(zhì)心的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和所受轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系，我們須要先來看角動(dòng)量矢量在轉(zhuǎn)軸正方向的份量。之后會(huì)曉得若定軸旋轉(zhuǎn)的質(zhì)心的質(zhì)量分布關(guān)于轉(zhuǎn)軸有某種旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，這么質(zhì)心的角動(dòng)量矢量必將是平行于轉(zhuǎn)軸的，但是對(duì)于更通常的質(zhì)心（如），定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量矢量就未必與轉(zhuǎn)軸平行（如）。所以為了簡(jiǎn)單起見我們先討論其軸向的份量，完整的矢量關(guān)系之后會(huì)在“慣性張量”中見到。
我們把轉(zhuǎn)軸的某個(gè)正方向定義為$z$軸正方向，單位矢量記為$hat{{{z}}}$。對(duì)于質(zhì)心上的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，角動(dòng)量在$z$方向的份量為
begin{}L'_{z}={{L}}\cdothat{{{z}}}=({{r}}\times{{p}})\cdothat{{{z}}}~.end{}
首先把質(zhì)點(diǎn)的位矢在$z$方向和垂直$z$方向分解（稱為水平方向），${{r}}={{r}}_z+{{r}}_bot$。因?yàn)?{{p}}$仍然沿水平方向，按照叉乘的幾何定義，${{r}}_z\times{{p}}$也是沿水平方向，只有${{r}}_bot\times{{p}}$沿$z$方向。另外，在圓周運(yùn)動(dòng)中，直徑仍然與速率垂直，所以${{r}}_bot$一直與${{p}}$垂直。得出推論
begin{}L'_z=leftlvert{{r}}_botrightrvertleftlvert{{p}}rightrvert=mr_botv=mr_bot^2omega~.end{}
現(xiàn)今討論質(zhì)心的角動(dòng)量，若把質(zhì)心分成無數(shù)小塊，每小塊的質(zhì)量分別為$m_i$，離軸的距離$r_{boti}=sqrt{x_i^2+y_i^2}$，角動(dòng)量軸向份量為$L_{iz}$則質(zhì)心的弱冠動(dòng)量$z$份量為
begin{}L_z=sum_iL_{iz}=omegasum_im_ir_{boti}^2~,end{}
用定積分寫成
begin{}L_z=omegaintr_bot^2,txrzbvzd{m}=omegaintr_bot^2rho({{r}}),txrzbvzd{V}~.end{}
定義質(zhì)心繞固定軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩（of）為
begin{}I=intr_bot^2,txrzbvzd{m}=intr_bot^2rho({{r}}),txrzbvzd{V}~.end{}
注意角動(dòng)量的大小除了取決于質(zhì)心的質(zhì)量分布，還取決于轉(zhuǎn)軸的位置和方向。最后得質(zhì)心沿軸方向的角動(dòng)量份量為
begin{}L_z=Iomega~,end{}
可見$L_z$和旋轉(zhuǎn)角速率成反比。3.角加速度與扭矩
預(yù)備知識(shí)單擺
要剖析質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)心所受外力的關(guān)系，就要對(duì)系統(tǒng)使用角動(dòng)量定律。在這兒“系統(tǒng)”指的就是質(zhì)心本身，不包含任何相對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的物體。我們要分辨兩種轉(zhuǎn)軸：幾何轉(zhuǎn)軸是一條假想的有正方向的幾何直線，質(zhì)心上任意一點(diǎn)都繞該直線做圓周運(yùn)動(dòng)，任何做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的質(zhì)心都存在幾何轉(zhuǎn)軸。化學(xué)轉(zhuǎn)軸可以有粗細(xì)有質(zhì)量、也可以對(duì)質(zhì)心提供約束力。化學(xué)轉(zhuǎn)軸不是質(zhì)心做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所必須的，比如真空無重力環(huán)境中自由旋轉(zhuǎn)的物體有幾何轉(zhuǎn)軸但不須要任何化學(xué)轉(zhuǎn)軸。
約束物體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)可能是多種多樣的，比如通過軸承將物體套在一根固定的桿上，此時(shí)桿則不屬于質(zhì)心的一部份，桿對(duì)旋轉(zhuǎn)體的所有斥力都視為系統(tǒng)外力。另一種太原小異的情況諸如桿固定在旋轉(zhuǎn)體上一起轉(zhuǎn)動(dòng)，而桿兩端套在固定的軸承上，此時(shí)桿可以視為質(zhì)心的一部份，故無需剖析桿和物體之間的互相作用，軸承對(duì)桿的任何斥力都視為系統(tǒng)外力。又譬如一個(gè)環(huán)型物體通過滑輪固定在一個(gè)環(huán)型軌道上轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)滾輪對(duì)物體的力為外力，幾何轉(zhuǎn)軸處沒有任何其他結(jié)構(gòu)。其實(shí)無論機(jī)械結(jié)構(gòu)有多么復(fù)雜，我們只須要把機(jī)械結(jié)構(gòu)中不發(fā)生形變的、作為整體繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的部份看成質(zhì)心，外部對(duì)它的一切力（矩）都視為系統(tǒng)外力（矩），這么以下的剖析就是組建的。
對(duì)系統(tǒng)使用“角動(dòng)量定律”的，注意等號(hào)兩側(cè)是矢量，所以各個(gè)份量必須相等，我們有
begin{}tau_z=frac{txrzbvzd{L_z}}{txrzbvzd{t}}~,end{}
將代入，并借助角加速度的定義得
begin{}tau_z=Ialpha~.end{}
這就是質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式，其方式可類比質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的牛頓第二定理$F=ma$：$tau_z$可以類比力$F$，$I$類比質(zhì)量$m$，$alpha$類比加速度$a$。角動(dòng)量軸向份量守恒
在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，依據(jù)，當(dāng)系統(tǒng)外對(duì)系統(tǒng)扭矩的軸向份量$tau_z$為零時(shí)，角動(dòng)量的軸向份量$L_z$守恒。這意味著質(zhì)心的角加速度為零（），也就是質(zhì)心做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)或靜止。類比到質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)就是當(dāng)$F=ma$中外力$F=0$時(shí)，加速度為零，質(zhì)點(diǎn)做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量守恒。
可見和“勻速運(yùn)動(dòng)不須要外力維持”一樣，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)也并不須要轉(zhuǎn)軸方向的外扭力維持。但是在日常生活中，正如水平直線軌道上具有初速率的滑塊會(huì)因?yàn)榕c軌道的磨擦力，空氣阻力等各類外力最終停止運(yùn)動(dòng)，具有初始角速率的物體也會(huì)在機(jī)械磨擦、空氣阻力等外扭矩的作用下最終停止轉(zhuǎn)動(dòng)，這與上述動(dòng)量守恒并不矛盾。
例1化學(xué)擺
化學(xué)擺（），也叫復(fù)擺（）。如，已知質(zhì)量為$M$的質(zhì)心關(guān)于某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩為$I$，轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心剛體的寬度為$r_c$，轉(zhuǎn)軸和形心的連線與豎直方向傾角為$theta$，求質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。
圖2：化學(xué)擺
首先我們把質(zhì)心看做質(zhì)點(diǎn)系，作剛體到轉(zhuǎn)軸的垂線，以垂足為座標(biāo)原點(diǎn)，以轉(zhuǎn)軸指向紙內(nèi)的方向?yàn)?z$軸正方向，令剛體的位置矢量為${{r}}_c$（與轉(zhuǎn)軸垂直），估算重力對(duì)質(zhì)心的合扭矩為（）
begin{}{{tau}}=M{{r}}_c\times{{g}}~.end{}
因?yàn)?{{r}}_c$與轉(zhuǎn)軸垂直，${{tau}}$與轉(zhuǎn)軸平行，所以
begin{}tau_z=Mgr_csintheta~.end{}
這說明，質(zhì)心所受轉(zhuǎn)矩相當(dāng)于質(zhì)量為$M$，厚度為$r_c$的單擺所受的扭力。代入得質(zhì)心擺的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式為
begin{}Iddottheta=Mgr_csintheta~,end{}
可以驗(yàn)證當(dāng)質(zhì)心的質(zhì)量全部集中在剛體時(shí)（$I=Mr_c^2$）我們就得到了單擺的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。
若已知初始角度和角速率，由質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定律可以求得任何角度時(shí)的角速率，詳見。
例2袋子傾倒
如，一長(zhǎng)方體袋子初始時(shí)夾角為$$，以初速率0無滑動(dòng)傾倒，求其運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式。
圖3：袋子傾倒
這和屬于同一模型，公式不再贅言。事實(shí)上，長(zhǎng)方體袋子的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和其截面長(zhǎng)圓形的旋轉(zhuǎn)一致，這本質(zhì)上是一個(gè)二維問題。初始時(shí)若袋子的剛體在轉(zhuǎn)軸一側(cè)時(shí)，袋子必然順秒針傾倒，反之逆秒針傾倒。若初始時(shí)剛體正好在轉(zhuǎn)軸上方，這么這是一個(gè)不穩(wěn)定平衡，任何微小的擾動(dòng)就會(huì)使袋子向某兩側(cè)傾倒。
例3
未完成：未完成。鏈接到這兒。
圖4：請(qǐng)?zhí)砑訄D片描述
4.垂直軸的角動(dòng)量
以上的討論中，我們有意避開討論垂直軸方向的角動(dòng)量份量$L_x,L_y$。通常情況下，我們不能保證她們是守恒的。在一些特殊情況下，比如質(zhì)心的形狀和質(zhì)量分布關(guān)于轉(zhuǎn)軸呈某種軸對(duì)稱物理旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)公式，這么容易證明質(zhì)心（關(guān)于任意固定點(diǎn)）的弱冠動(dòng)量${{L}}$只可能延轉(zhuǎn)軸方向，即$L_x=L_y=0$守恒。
在一些不對(duì)稱的情況下，比如一個(gè)傾斜的細(xì)桿繞轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)軸就須要對(duì)細(xì)桿施加一個(gè)不停旋轉(zhuǎn)的扭矩，細(xì)桿也會(huì)對(duì)軸施加一個(gè)反扭矩，這類似于斥力和反斥力，詳見“剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)2”。
比如圓盤、長(zhǎng)圓形、正三角形等繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)
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