前段時(shí)間完美聊了一下麥克斯韋多項(xiàng)式，這么聊到世界上最完美的公式，就肯定離不開歐拉公式，假如說麥克斯韋多項(xiàng)式首次讓數(shù)學(xué)學(xué)界迎來了大一統(tǒng)，這么歐拉公式就可以被稱為“公式之母”，無數(shù)物理界以及數(shù)學(xué)界的公式都是受他影響而誕生，可以說促進(jìn)了物理界和數(shù)學(xué)界的大發(fā)展，物理家們更是評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”。而這個(gè)公式的發(fā)明者歐拉也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，是物理界的四大天王（“數(shù)學(xué)之神”阿基米德、牛頓、“數(shù)學(xué)王子”高斯、歐拉）。
我們先來說說歐拉，歐拉可以說就是為物理而生，人家9歲，就把牛頓的《自然哲學(xué)的物理原理》看完了。
13歲考入巴塞爾學(xué)院一開始是主修哲學(xué)和法律。后來認(rèn)為太容易了，太輕松了。一口氣又修了語文、神學(xué)、希伯來語以及西班牙語。
閑暇還研究音樂、物理、建筑啥的。這他都認(rèn)為學(xué)院過的很閑。花了三年時(shí)間就把六個(gè)專業(yè)學(xué)完了，之后結(jié)業(yè)了......
順手考了一個(gè)碩士，可能是認(rèn)為碩士學(xué)習(xí)的內(nèi)容太簡(jiǎn)單了，歐拉完全提不起興趣。心想要不然就考個(gè)博士吧。
之后碩士讀了一年了就成功報(bào)考了博士。
這種歐拉才心滿意足，認(rèn)為還是有點(diǎn)學(xué)習(xí)的價(jià)值，乖乖讀了3年。19歲就成功博士結(jié)業(yè)了。博士結(jié)業(yè)論文就是寫的數(shù)學(xué)論文。
為什么說歐拉自負(fù)腹黑氣性大，由于他20歲的時(shí)侯出席倫敦科大學(xué)獎(jiǎng)金的角逐，就拿了一個(gè)第二。
歐拉啥時(shí)侯受過這樣的氣啊，心想即使自己聯(lián)賽的時(shí)侯也是灑灑水，沒那么認(rèn)真。也不至于就第二吧。
當(dāng)初拿第一的皮埃爾·布格也是厲害人物，在多個(gè)領(lǐng)域有很高成就，被后世尊為“造船工程學(xué)之父”。
可惜他碰上的對(duì)手是歐拉。
歐拉很吵架，后果很憤怒。接出來12年，建筑比賽的亞軍都被歐拉拿了。
到了33歲，歐拉才認(rèn)為氣消，不再參與賽事。27歲那年，他發(fā)明了一系列對(duì)人類影響深遠(yuǎn)的符號(hào)——圓周率的符號(hào)π、函數(shù)符號(hào)f(x)、以及三角學(xué)符號(hào)sin、cos、tg等等都是他發(fā)明的。
歐拉憑一己之力，成功為中國語文教材貢獻(xiàn)了無數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。讓中國中學(xué)生在高考、高考的語文火場(chǎng)里苦苦掙扎，但是，這只是人家做的一點(diǎn)點(diǎn)微博貢獻(xiàn)。
從初等幾何的歐拉線，四面體的歐拉定律，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到圖論中的歐拉函數(shù)，微分多項(xiàng)式的歐拉多項(xiàng)式，級(jí)數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉多項(xiàng)式，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式都是他獻(xiàn)給理科系學(xué)院生的禮物。
還有哥德巴赫推測(cè)也是哥德巴赫寄信給歐拉時(shí)提出的?，F(xiàn)今流行的版本是歐拉記載出來的。
哥德巴赫獻(xiàn)給歐拉的信
歐拉在物理的勤勞還有天賦真的是前無古人。堪稱科研就和生活一樣?？赡茉诤纫槐臅r(shí)侯，就立刻想處一個(gè)公式來了。
另外，他還順便創(chuàng)造了幾個(gè)全新的學(xué)科：拓?fù)鋵W(xué)、彈道學(xué)、分析熱學(xué)，還自學(xué)成為了制圖學(xué)家。全亞洲的天文學(xué)家正在討論該怎么估算慧星的軌道，100多個(gè)專家苦苦嘗試卻毫無進(jìn)展。
27歲的歐拉據(jù)說了這件事以后，顯擺之心油但是生，為了炫耀自己的情商，他連續(xù)兩天不吃不喝不睡，搞出了一套估算慧星軌道的方式。
但是天道好輪回，天才也收稅，因?yàn)檫B續(xù)兩天沒合眼，他的眼睛操勞過度，瞎掉了...
不過他表示還可以再堅(jiān)持一下，30歲的獨(dú)眼歐拉出版了震古爍今的專著《力學(xué)，或解析地表述運(yùn)動(dòng)的理論》，提出了質(zhì)點(diǎn)的概念。
還在速率與加速度問題上引入了矢量，一系列巨大成果，改變了人類發(fā)展的邁向。
32歲時(shí)侯，好久沒有跨界的他，心中搔癢的，于是出版了一部音樂理論專著，順便發(fā)明了，空氣動(dòng)熱學(xué)和流體動(dòng)力學(xué)。。
在59歲的時(shí)侯，歐拉徹底瞎了，而且歐拉認(rèn)為似乎解放了新世界。即使看不清楚，沒有辦法估算，可是歐拉強(qiáng)大的心算能力填補(bǔ)了這一點(diǎn)。
歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他就能復(fù)述年輕時(shí)代筆記的內(nèi)容。
但是老年時(shí)期能夠清楚記得維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀(jì)》，這本書有多厚呢，人民出版社翻譯的英文版共有300多頁。
歐拉可以清晰記得哪一句在哪一頁哪一段哪一行。
有一個(gè)反例足以說明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個(gè)中學(xué)生把一個(gè)復(fù)雜的收斂級(jí)數(shù)的17項(xiàng)加上去，算到第50位數(shù)字，二人相差一個(gè)單位。
歐拉為了確定到底誰對(duì)阿基米德原理數(shù)學(xué)公式，用心算進(jìn)行全部運(yùn)算，最后把錯(cuò)誤找了下來．歐拉在截肢的17年中；還解決了使牛頓嘔吐的月離問題和好多復(fù)雜的剖析問題．歐拉以驚人的記憶力還有能力解決了須要估算的困局，寫東西更勤快了。還成立了剖析熱學(xué)和質(zhì)心熱學(xué)
他喜歡拿自己的孩子做背板，之后在那兒估算。就和這幅圖一樣。
1771年阿基米德原理數(shù)學(xué)公式，64歲的歐拉由于斯特拉斯堡的起火災(zāi)波及歐拉住宅，帶病而截肢的64歲的歐拉被困守在起火中。
其實(shí)他被他人從火場(chǎng)中救了下來，但他的臥室和大量研究成果全部化為灰燼了。
記憶力驚人的歐拉表示，燒毀了有哪些，我再重新寫下來不就好了。
他抓緊這最后的時(shí)刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)覺的公式，之后口述其內(nèi)容，由他的中學(xué)生非常是大女兒A·歐拉（物理家和化學(xué)學(xué)家）口供。
但是雖然歐拉鏖戰(zhàn)了13年，仍然才整理下來一小部份被焚毀的成果，可以說假如不是這場(chǎng)失火，這么歐拉遺留出來的成果你想想對(duì)文明的進(jìn)步會(huì)有多大的發(fā)展。
他起火以后整理下來的小部分成果共包括886本書籍和論文，其中剖析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，化學(xué)和熱學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，圣彼得堡科大學(xué)為了整理他的專著，足足繁忙了四十七年。
以歐拉命名的公式與定律，足足有數(shù)十個(gè)。這其中最為著名的就是我們的主體“歐拉公式”，這條恒方程第一次出現(xiàn)于1748年歐拉在洛桑出版的書，它是復(fù)剖析的歐拉公式特例。。
歐拉公式并沒有多復(fù)雜，反倒等式簡(jiǎn)單，有點(diǎn)像武林前輩，達(dá)到了最高境界，返璞歸真一樣的覺得。
看上去是不是非常地簡(jiǎn)單，而且這個(gè)公式在先前雖然是許多的物理界用盡一生都很難尋思明白，它將物理里最重要的幾個(gè)常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個(gè)趕超數(shù)：自然對(duì)數(shù)的底e，圓周率π；兩個(gè)單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及物理里常見的0。
這么為何說這個(gè)公式十分復(fù)雜呢？由于你可以用特別多不同的方法去證明它，你既可以用物理歸納法證明，也可以用推理證明，也可以多項(xiàng)式推論，還可以用復(fù)變函數(shù)求證，甚至你可以用平面幾何學(xué)、物理學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)來推證。所以才說他蘊(yùn)涵了所有的物理元素，甚至蘊(yùn)涵了宇宙的至理法則。
自然數(shù)也被稱為歐拉數(shù)的“e”含于其中。自然對(duì)數(shù)的底、素?cái)?shù)定律、完全率、阻力落體、粒子運(yùn)動(dòng)，大到飛船的速率，小至蝸牛的螺線，都蘊(yùn)涵著“e"
而另外一個(gè)趕超數(shù)，π，你們相比很清楚了，就是圓周率。這兩個(gè)趕超數(shù)都是歐拉發(fā)明的。
也包含了最重要的運(yùn)算符號(hào)+，最重要的關(guān)系符號(hào)=。而0和1，是構(gòu)造群，環(huán)，域的基本元素，也是構(gòu)造代數(shù)的基礎(chǔ)。而虛單位i使數(shù)軸上的問題擴(kuò)充到了平面，在烏魯木齊爾的4元數(shù)與凱萊的8元數(shù)中也離開不了它。
所以你明白為何這個(gè)公式十分之復(fù)雜了嗎？也正是由于其囊括范圍這么廣泛，如三角函數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、泰勒級(jí)數(shù)、概率論、群論等遭到了它的影響。它同樣對(duì)化學(xué)學(xué)影響也十分巨大，如機(jī)械波論、電磁學(xué)、波動(dòng)光學(xué)以及引起了電子學(xué)革命的量子熱學(xué)的理論基礎(chǔ)也蘊(yùn)藏其中。也將數(shù)學(xué)學(xué)中的圓周運(yùn)動(dòng)、簡(jiǎn)諧震動(dòng)、機(jī)械波、電磁波、概率波等聯(lián)系在了一起......
舉一個(gè)反例，你可以使用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]
泰勒展開有無窮級(jí)數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1?。珃^2/2?。珃^3/3！＋z^4/4?。珃^n/n?。藭r(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集?？梢哉f歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，完善了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。
還可以把它擴(kuò)充為時(shí)間的函數(shù)。（引用至CSDN）
加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時(shí)間，w是系數(shù)。把平面上的繞圈擴(kuò)充成了空間中的繞圈，橫軸表示時(shí)間t，兩個(gè)縱軸分別為實(shí)部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍(lán)線經(jīng)過的點(diǎn)是e^ix，即，把頻域上的e^ix分別投射到了實(shí)軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時(shí)間t的函數(shù)．圖中可見到正余和正切的投射（紅／綠）。假如用做3D圖，拖動(dòng)旋轉(zhuǎn)角度療效更直觀．這就是傅立葉變換原理：將頻域值分拆映射到時(shí)域，通過三角函數(shù)的疊加表示。
還有拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式
v+f-e=x(p)，v是四面體p的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，f是四面體p的面數(shù)，e是四面體p的棱的條數(shù),x(p)是四面體p的歐拉示性數(shù)。假如p可以同胚于一個(gè)球面（可以淺顯地理解為能吹脹而繃在一個(gè)球面上），這么x(p)=2，假若p同胚于一個(gè)接有h個(gè)環(huán)柄的球面，這么x(p)=2-2h。x(p)稱作p的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無論再怎樣經(jīng)過拓?fù)渥冃鸵膊粫?huì)改變的量，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。
所以看完以后，你能夠曉得為何歐拉公式被譽(yù)為“上帝創(chuàng)造的公式”了吧，好多物理家甚至化學(xué)學(xué)家都從歐拉公式里得到了啟發(fā)，高斯以前說：“一個(gè)人第一次聽到這個(gè)公式而不倍感它的魅力，他不可能成為物理家?！?span style="display:none">2v2物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
化學(xué)學(xué)家蓋瑞·費(fèi)曼哀嘆：歐拉恒方程不可是“數(shù)學(xué)最奇妙的公式”，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)的定量之跟。
只是不曉得為物理而苦悶的諸位，是不是聽到這個(gè)公式非常驚訝，雖然好多我們中中考學(xué)院的公式都是受它影響～