前段時間完美聊了一下麥克斯韋多項式，這么聊到世界上最完美的公式，就肯定離不開歐拉公式，假如說麥克斯韋多項式首次讓數(shù)學學界迎來了大一統(tǒng)，這么歐拉公式就可以被稱為“公式之母”，無數(shù)物理界以及數(shù)學界的公式都是受他影響而誕生，可以說促進了物理界和數(shù)學界的大發(fā)展，物理家們更是評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”。而這個公式的發(fā)明者歐拉也被譽為“數(shù)學之王”，是物理界的四大天王（“數(shù)學之神”阿基米德、牛頓、“數(shù)學王子”高斯、歐拉）。
我們先來說說歐拉，歐拉可以說就是為物理而生，人家9歲，就把牛頓的《自然哲學的物理原理》看完了。
13歲考入巴塞爾學院一開始是主修哲學和法律。后來認為太容易了，太輕松了。一口氣又修了語文、神學、希伯來語以及西班牙語。
閑暇還研究音樂、物理、建筑啥的。這他都認為學院過的很閑。花了三年時間就把六個專業(yè)學完了，之后結業(yè)了......
順手考了一個碩士，可能是認為碩士學習的內(nèi)容太簡單了，歐拉完全提不起興趣。心想要不然就考個博士吧。
之后碩士讀了一年了就成功報考了博士。
這種歐拉才心滿意足，認為還是有點學習的價值，乖乖讀了3年。19歲就成功博士結業(yè)了。博士結業(yè)論文就是寫的數(shù)學論文。
為什么說歐拉自負腹黑氣性大，由于他20歲的時侯出席倫敦科大學獎金的角逐，就拿了一個第二。
歐拉啥時侯受過這樣的氣啊，心想即使自己聯(lián)賽的時侯也是灑灑水，沒那么認真。也不至于就第二吧。
當初拿第一的皮埃爾·布格也是厲害人物，在多個領域有很高成就，被后世尊為“造船工程學之父”。
可惜他碰上的對手是歐拉。
歐拉很吵架，后果很憤怒。接出來12年，建筑比賽的亞軍都被歐拉拿了。
到了33歲，歐拉才認為氣消，不再參與賽事。27歲那年，他發(fā)明了一系列對人類影響深遠的符號——圓周率的符號π、函數(shù)符號f(x)、以及三角學符號sin、cos、tg等等都是他發(fā)明的。
歐拉憑一己之力，成功為中國語文教材貢獻了無數(shù)的知識點。讓中國中學生在高考、高考的語文火場里苦苦掙扎，但是，這只是人家做的一點點微博貢獻。
從初等幾何的歐拉線，四面體的歐拉定律，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到圖論中的歐拉函數(shù)，微分多項式的歐拉多項式，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學的歐拉多項式，復變函數(shù)的歐拉公式都是他獻給理科系學院生的禮物。
還有哥德巴赫推測也是哥德巴赫寄信給歐拉時提出的。現(xiàn)今流行的版本是歐拉記載出來的。
哥德巴赫獻給歐拉的信
歐拉在物理的勤勞還有天賦真的是前無古人。堪稱科研就和生活一樣。可能在喝一杯水的時侯，就立刻想處一個公式來了。
另外，他還順便創(chuàng)造了幾個全新的學科：拓撲學、彈道學、分析熱學，還自學成為了制圖學家。全亞洲的天文學家正在討論該怎么估算慧星的軌道，100多個專家苦苦嘗試卻毫無進展。
27歲的歐拉據(jù)說了這件事以后，顯擺之心油但是生，為了炫耀自己的情商，他連續(xù)兩天不吃不喝不睡，搞出了一套估算慧星軌道的方式。
但是天道好輪回，天才也收稅，因為連續(xù)兩天沒合眼，他的眼睛操勞過度，瞎掉了...
不過他表示還可以再堅持一下，30歲的獨眼歐拉出版了震古爍今的專著《力學，或解析地表述運動的理論》，提出了質(zhì)點的概念。
還在速率與加速度問題上引入了矢量，一系列巨大成果，改變了人類發(fā)展的邁向。
32歲時侯，好久沒有跨界的他，心中搔癢的，于是出版了一部音樂理論專著，順便發(fā)明了，空氣動熱學和流體動力學。。
在59歲的時侯，歐拉徹底瞎了，而且歐拉認為似乎解放了新世界。即使看不清楚，沒有辦法估算，可是歐拉強大的心算能力填補了這一點。
歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他就能復述年輕時代筆記的內(nèi)容。
但是老年時期能夠清楚記得維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀》，這本書有多厚呢，人民出版社翻譯的英文版共有300多頁。
歐拉可以清晰記得哪一句在哪一頁哪一段哪一行。
有一個反例足以說明他的本領，歐拉的兩個中學生把一個復雜的收斂級數(shù)的17項加上去，算到第50位數(shù)字，二人相差一個單位。
歐拉為了確定到底誰對阿基米德原理數(shù)學公式，用心算進行全部運算，最后把錯誤找了下來．歐拉在截肢的17年中；還解決了使牛頓嘔吐的月離問題和好多復雜的剖析問題．歐拉以驚人的記憶力還有能力解決了須要估算的困局，寫東西更勤快了。還成立了剖析熱學和質(zhì)心熱學
他喜歡拿自己的孩子做背板，之后在那兒估算。就和這幅圖一樣。
1771年阿基米德原理數(shù)學公式，64歲的歐拉由于斯特拉斯堡的起火災波及歐拉住宅，帶病而截肢的64歲的歐拉被困守在起火中。
其實他被他人從火場中救了下來，但他的臥室和大量研究成果全部化為灰燼了。
記憶力驚人的歐拉表示，燒毀了有哪些，我再重新寫下來不就好了。
他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)覺的公式，之后口述其內(nèi)容，由他的中學生非常是大女兒A·歐拉（物理家和化學學家）口供。
但是雖然歐拉鏖戰(zhàn)了13年，仍然才整理下來一小部份被焚毀的成果，可以說假如不是這場失火，這么歐拉遺留出來的成果你想想對文明的進步會有多大的發(fā)展。
他起火以后整理下來的小部分成果共包括886本書籍和論文，其中剖析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，化學和熱學占28%，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占3%，圣彼得堡科大學為了整理他的專著，足足繁忙了四十七年。
以歐拉命名的公式與定律，足足有數(shù)十個。這其中最為著名的就是我們的主體“歐拉公式”，這條恒方程第一次出現(xiàn)于1748年歐拉在洛桑出版的書，它是復剖析的歐拉公式特例。。
歐拉公式并沒有多復雜，反倒等式簡單，有點像武林前輩，達到了最高境界，返璞歸真一樣的覺得。
看上去是不是非常地簡單，而且這個公式在先前雖然是許多的物理界用盡一生都很難尋思明白，它將物理里最重要的幾個常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個趕超數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π；兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及物理里常見的0。
這么為何說這個公式十分復雜呢？由于你可以用特別多不同的方法去證明它，你既可以用物理歸納法證明，也可以用推理證明，也可以多項式推論，還可以用復變函數(shù)求證，甚至你可以用平面幾何學、物理學、拓撲學來推證。所以才說他蘊涵了所有的物理元素，甚至蘊涵了宇宙的至理法則。
自然數(shù)也被稱為歐拉數(shù)的“e”含于其中。自然對數(shù)的底、素數(shù)定律、完全率、阻力落體、粒子運動，大到飛船的速率，小至蝸牛的螺線，都蘊涵著“e"
而另外一個趕超數(shù)，π，你們相比很清楚了，就是圓周率。這兩個趕超數(shù)都是歐拉發(fā)明的。
也包含了最重要的運算符號+，最重要的關系符號=。而0和1，是構造群，環(huán)，域的基本元素，也是構造代數(shù)的基礎。而虛單位i使數(shù)軸上的問題擴充到了平面，在烏魯木齊爾的4元數(shù)與凱萊的8元數(shù)中也離開不了它。
所以你明白為何這個公式十分之復雜了嗎？也正是由于其囊括范圍這么廣泛，如三角函數(shù)、傅里葉級數(shù)、泰勒級數(shù)、概率論、群論等遭到了它的影響。它同樣對化學學影響也十分巨大，如機械波論、電磁學、波動光學以及引起了電子學革命的量子熱學的理論基礎也蘊藏其中。也將數(shù)學學中的圓周運動、簡諧震動、機械波、電磁波、概率波等聯(lián)系在了一起......
舉一個反例，你可以使用歐拉公式將三角函數(shù)轉換為指數(shù)(由泰勒級數(shù)易得)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]
泰勒展開有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復數(shù)集。可以說歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到了復數(shù)域，完善了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，被譽為“數(shù)學中的天橋”。
還可以把它擴充為時間的函數(shù)。（引用至CSDN）
加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時間，w是系數(shù)。把平面上的繞圈擴充成了空間中的繞圈，橫軸表示時間t，兩個縱軸分別為實部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍線經(jīng)過的點是e^ix，即，把頻域上的e^ix分別投射到了實軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時間t的函數(shù)．圖中可見到正余和正切的投射（紅／綠）。假如用做3D圖，拖動旋轉角度療效更直觀．這就是傅立葉變換原理：將頻域值分拆映射到時域，通過三角函數(shù)的疊加表示。
還有拓撲學里的歐拉公式
v+f-e=x(p)，v是四面體p的頂點個數(shù)，f是四面體p的面數(shù)，e是四面體p的棱的條數(shù),x(p)是四面體p的歐拉示性數(shù)。假如p可以同胚于一個球面（可以淺顯地理解為能吹脹而繃在一個球面上），這么x(p)=2，假若p同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，這么x(p)=2-2h。x(p)稱作p的歐拉示性數(shù)，是拓撲不變量，就是無論再怎樣經(jīng)過拓撲變型也不會改變的量，是拓撲學研究的范圍。
所以看完以后，你能夠曉得為何歐拉公式被譽為“上帝創(chuàng)造的公式”了吧，好多物理家甚至化學學家都從歐拉公式里得到了啟發(fā)，高斯以前說：“一個人第一次聽到這個公式而不倍感它的魅力，他不可能成為物理家。”
化學學家蓋瑞·費曼哀嘆：歐拉恒方程不可是“數(shù)學最奇妙的公式”，也是現(xiàn)代數(shù)學學的定量之跟。
只是不曉得為物理而苦悶的諸位，是不是聽到這個公式非常驚訝，雖然好多我們中中考學院的公式都是受它影響～