諸位AP男子伴們好呀~2022年5月10日進行的AP數學C熱學考試早已結束，本場考試為線下紙筆考試，CB官網已更新了數學C熱學北美FRQ真題。
2022年的AP數學C熱學考試早已結束，明天官方放出了兩個Set的FRQ，我們趕快一上去瞧瞧都考了什么內容吧！
試題整體難度和知識點
兩個Set的對應題目考的知識點相仿，第1題主要是考察牛頓運動定理，第2題主要在考察動量和實驗剖析，第3題主要是考察轉動的牛頓第二定理。整體的難度中等，有的題目和以往題目極為相像；據悉，涉及實驗剖析和圖象解釋的題目可能略難，質心轉動的題目某些小題可能略難。整體相比2021年考試難度來看，難度系數有所上漲。
與2021年題目對比的點評
第1道題比較新穎，之前沒有出現過類似的變力剖析問題，可以作為明年新出現的題目類型進行重點研究；第2道題目，相信你們都比較眼熟，第2道題目考察的題目模型和2021年很類似，都是一個物塊沿斜面下降，在右端有運動監測裝置等，只不過第2道題目引入了動量和能量，并在此基礎上進行考察；第3道題目的圖象問題和2021年極為類似，考察的知識點和解題方式近乎吻合。
為此，你們假如做了2021年的北美題的話動量定理彈性碰撞二級結論，相信你們這套題目一定可以領到理想的分數。
逐題點評
第一題
Set1
一個電動機在右側下方提供一個大小恒定不變的拉力，置于椅子上的小物體遭到繩子拉力的作用往左滑動，小物體和桌面之間有磨擦力，均不考慮其余位置的磨擦力和其余物體的質量。
（a）畫出小物塊在x=L位置處的受力剖析圖。
考點：Unit2牛頓運動定理中的受力剖析圖。
思路：小物塊遭到向上的重力、向上的支持力、沿繩子斜向左上方的拉力和水平往右的磨擦力。在這兒要非常注意磨擦力的方向，與物塊的運動方向相反。
（b）推論繩子與水平面的傾角θ與水平位置x的函數關系。
考點：Unit1位移和三角函數關系。
思路：從圖中可以看出，位移x、豎直高度H、滑輪到物塊的豎著的繩子的寬度，構成一個直角三角形，借助余弦函數關系，可以找到繩子與水平面的傾角θ與水平位置x的表達式。
（c）
i：推論物塊遭到的支持力和水平位置x的函數關系。
考點：Unit2中的牛頓第一定理。
思路：按照豎直方向上受力平衡，可以寫出
，得出
，之后再將sinθ根據三角形的邊之間的關系進行替換就好。
ii：推論物體所受的合力與水平位置x的關系表達式。
考點：Unit2中的牛頓第二定理。
思路：按照水平方向上物體受力不平衡、豎直方向上物體受力平衡可以推論出，物體遭到的合力就是水平方向上的合力。依據受力剖析圖，寫出水平方向的牛頓第二定理表達式：
;再將磨擦力借助
進行替換帶入可以得到合力的最終受力表達式，最后的話，再將三角函數表達式借助幾何三角形的邊進行替換就好。
（d）寫出（但不用求解）從x=L到x=0繩子拉力做功的表達式。
考點：Unit3中的變力做功問題。
思路：依據變力做功，直接寫出變力做功積多項式就好。
（e）比較繩子從x=L到x=L/2、從x=L/2到x=0做功的大小。
考點：Unit3中的變力做功問題。
思路：從x=L到x=L/2、x=L/2到x=0拉力的水平位移都一樣，因而判定拉力前后兩段位移做功大小，只須要判定拉力的水平分力大小就好，拉力的水平分量表達式為，隨著物塊向左滑動，θ在減小，cosθ在減少，所以拉力的水平分力也在減少，所以平均來看，前半段拉力的水平分力小于后半段的水平分力，所以前半段拉力做功會更大一些。
Set2
一個質量為m的小雪橇在遭到繩子的拉力和桌面磨擦力的條件下，給定一個初速率，往右進行滑動。其中繩子的拉力大小恒定不變，不考慮其余位置的磨擦和其余物體的質量。
（a）畫出運動開始很小一段時間后（小雪橇停止運動前的某個時刻），小雪橇的受力剖析圖。
考點：Unit2牛頓運動定理中的受力剖析圖。
思路：小雪橇遭到向上的重力、向上的支持力、沿繩子斜向左下方的拉力和水平向左的磨擦力。在這兒要非常注意磨擦力的方向，與小雪橇的運動方向相反。
（b）推論繩子與豎直方向的傾角θ與運動距離x的函數關系。
考點：Unit1位移和三角函數關系。
思路：從圖中可以看出，位移x、豎直高度y、左下方設備到小雪橇的豎著的繩子的寬度，構成一個直角三角形，借助余弦函數關系，可以找到繩子與豎直方向的傾角θ與運動距離x的表達式。
（c）
i：推論物塊遭到的支持力和水平位置x的函數關系。
考點：Unit2中的牛頓第一定理。
思路：按照豎直方向上受力平衡，可以寫出
，之后再將cosθ根據三角形的邊之間的關系進行替換就好。
ii：推論物體所受的合力與水平位置x的關系表達式。
考點：Unit2中的牛頓第二定理。
思路：按照水平方向上物體受力不平衡、豎直方向上物體受力平衡可以推論出，物體遭到的合力就是水平方向上的合力，按照受力剖析圖，寫出水平方向的牛頓第二定理表達式：;再將磨擦力借助
進行替換帶入可以得到合力的最終受力表達式，最后的話，再將三角函數表達式借助幾何三角形的邊進行替換就好。
（d）推論從x=0到x=L，繩子拉力做功的表達式。
考點：Unit3中的變力做功問題。
思路：按照變力做功，寫出變力做功積分表達式，再進行物理積分就好。這個題化學多項式不難，而且物理積分難度會相應大一些，你們估算要仔細認真。
（e）小雪橇在運動水平距離2L后靜止。比較系統從x=0到x=L、從x=L到x=2L因為磨擦力做功耗損掉的能量的大小。
考點：Unit3中的非保守力做功和能量守恒。
思路：磨擦力做功的數值的絕對值就是系統耗損的能量。從x=0到x=L、從x=L到x=2L磨擦力的位移都一樣，因而只須要比較這兩段過程中磨擦力的大小，結合磨擦力的表達式，
,θ在減小，cosθ在減少，磨擦力在降低，因而平均來看，前半段的磨擦力要比后半段的磨擦力要大，所以前半段磨擦力做功的絕對數值要大。
第二題
Set1
貨車1從斜面上往下降，撞到靜止在水平面上的貨車2，之后兩者共速在一起朝右運動。水平面的最右方有一個運動偵測器，可以拿來記錄貨車的運動。整個過程中不考慮磨擦和轉動影響。
（a）在碰撞過程中，比較貨車1給貨車2和貨車2給貨車1的沖量的大小關系。
考點：Unit4中的沖量、Unit2中的牛頓第三定理。
思路：依據牛頓第三定理，貨車1給貨車2的力和貨車2給貨車1的力等大反向，再結合兩者斥力的時間相同，可以得出兩者的沖量是相等的。
（b）畫出碰撞前后，貨車1和貨車2的動量隨時間變化的圖象。
考點：Unit4中的動量、動量定律和動量守恒定理。
思路：兩大車碰撞前，貨車1由靜止開始下降，速率均勻降低，抵達平面后速率不變，因而貨車1的動量先是直線型降低，再保持不變，貨車2動量為0保持不變；碰撞后，由于系統動量守恒，貨車2獲得動量后保持不變，貨車1的動量會減少一部份，之后繼續保持不變；在這兒要非常注意，貨車1的動量降低量和貨車2的動量降低量大小一樣，建議在圖象中把這層涵義表示下來。
（c）題干給出了貨車碰撞后的速率表達式，要我們進行證明。
考點：Unit4中的動量守恒定理和Unit3中的機械能守恒。
思路：借助機械能守恒，可以求得貨車1運動到水平面（和貨車2碰撞前）的速率；再依據動量守恒定理，可以求得系統碰撞后的速率表達式，即可得證。
（d）對于不同的釋放高度H，測出系統共速后的速率v，給出了
的圖象。要求畫出最優擬合線并估算貨車2的質量。
考點：最優擬合線的畫法和通過直線斜率估算目標變量。
思路：依據上一問的速率表達式，最優擬合線應當是一條直線，注意畫的時侯不是聯接所有點畫折線而是要讓不在直線上的數據大致平均分布在直線外側，例如五個數據點可能有兩個在直線上、一個在直線上方、兩個在直線下方。這條直線的斜率是
，估算斜率的時侯要注意不是取數據點而是取直線上的點，得到斜率以后通過估算便可得出貨車2的質量
。
（e）通過比較實驗測得的數據
和實際用天平測得
的大小，來推測貨車1質量
與0.25kg的大小關系。
考點：實驗偏差剖析。
思路：可以按照斜率表達式，推論
和
的關系，因而再按照題干已知條件，再去反推貨車1的質量
和0.25kg的大小關系。
Set2
物塊1在壓縮彈簧一段距離的情況下，被彈簧推開（物塊1與彈簧不聯接）獲得一個初速率，與水平面上靜止的物塊2發生完全非彈性碰撞，碰撞后一起共速往右運動。水平面兩側有運動偵測器，拿來記錄系統的運動。不考慮各類磨擦。
（a）在碰撞過程中，比較物塊1給物塊2和物塊2給物塊1的沖量的大小關系。
考點：Unit4中的沖量、Unit2中的牛頓第三定理。
思路：依據牛頓第三定理，物塊1給物塊2的力和物塊2給物塊1的力等大反向，再結合兩者斥力的時間相同，可以得出兩者的沖量是相等的。
（b）畫出碰撞前后，物塊1和物塊2的動量隨時間變化的圖象。
考點：Unit4中的動量、動量定律和動量守恒定理。
思路：兩大車碰撞前：物塊1先是遭到彈簧的彈力做變速運動（隨著彈簧伸長，加速度越來越?。x開彈簧后，做勻速運動，因而物塊1的動量先是曲線降低（上凸類型）再保持不變，物塊2動量為0保持不變；
碰撞后：由于系統動量守恒，物塊2獲得動量后保持不變，物塊1原先的動量減少一部份，之后繼續保持不變；在這兒要非常注意，物塊1的動量降低量和物塊2的動量降低量大小一樣，建議在圖象中把這層涵義表示下來。
（c）題干給出了物塊碰撞后的速率表達式，要我們進行證明。
考點：Unit4中的動量守恒定理和Unit3中的機械能守恒。
思路：借助機械能守恒，可以求得物塊1運動到水平面（和物塊2碰撞前）的速率；再依據動量守恒定理，可以求得系統碰撞后的速率表達式，即可得證。
（d）對于不同的彈簧壓縮距離Δx，測出系統共速后的速率v，給出了v-Δx的圖象。要求畫出最優擬合線并估算物塊2的質量。
考點：最優擬合線的畫法和通過直線斜率估算目標變量。
思路：依據上一問的速率表達式，最優擬合線應當是一條直線，注意畫的時侯不是聯接所有點畫折線而是要讓不在直線上的數據大致平均分布在直線外側，例如五個數據點可能有兩個在直線上、一個在直線上方、兩個在直線下方。這條直線的斜率是
，估算斜率的時侯要注意不是取數據點而是取直線上的點，得到斜率以后通過估算便可得出物塊2的質量
。
（e）通過比較實驗測得的數據
和實際用天平測得
的大小，來推測彈簧勁度系數k與150N/m的大小關系。
考點：實驗偏差剖析。
思路：可以按照斜率表達式，推論彈簧勁度系數k和物塊2的質量
的關系，因而再按照題干已知條件，再去反推彈簧勁度系數k與150N/m的大小關系。
第三題
Set1
一個有支柱的固體圓盤可以繞圓盤中心做無磨擦轉動。一條繩子通過圓盤而且在圓盤的最頂端被固定住，記該點為P點。繩子的左上端連著一個彈簧，右端連著一個物塊。開始彈簧處于原長，在此初始條件下，開始漸漸釋放右端的物塊，使其平緩運動，最終達到平衡的狀態，此時圓盤的最頂端轉過的角度為θ。題干中給出了圓盤圍繞其中心旋轉的轉動力矩表達式。
（a）推論物塊的質量表達式。
考點：Unit2中的牛頓第一定理和胡克定律。
思路：物塊遭到繩子的拉力和自身重力，但是處于受力平衡；繩子的拉力又等于彈簧的拉力，為此，彈簧的拉力大小就是物塊的重力大??；彈簧的拉力可以通過胡克定律F=kx求解，彈簧的形變量在這道題為圓盤轉過的弦長，即θR。再借助彈簧的彈力乘以g，即可求得物塊的質量大小。
（b）在題干初始平衡的條件下，忽然把聯接物塊的繩子割斷。畫出割斷繩子的頓時，圓盤的受力剖析圖。
考點：Unit5中的受力剖析圖。
思路：割斷繩子的頓時，圓盤遭到剛體發出向上的重力，剛體方向向下的支持力和圓盤上端繩子和圓盤分離處沿切線方向向上的拉力。
（c）推論繩子割斷頓時的系統角加速度的表達式。
考點：Unit5中扭矩的估算，轉動方式的牛頓第二定理。
思路：圓盤遭到三個力，但只有拉力是有轉矩的，割斷繩子頓時，拉力的大小為kθR動量定理彈性碰撞二級結論，拉力的力臂為R，拉力的扭矩為
，再結合轉動方式的牛頓第二定理，τ=Iα，可以得出，再代入圓盤的轉動力矩，因而可以得出圓盤的角加速度。
（d）畫出繩子割斷后，圓盤的角速率隨時間變化的圖象。時間截至到P點重新回到最低點的時刻。
考點：Unit5中扭矩的估算，轉動方式的牛頓第二定理，角速度和角加速度的關系。
思路：按照（c）問，可以判定圓盤在P點重新回到最低點的過程中始終處于加速轉動的狀態，因而角速率在不斷減小；但是，依據（c）中推出的角速率的表達式，可以看出角加速度隨著θ的減少也會降低；因而，在轉動過程中，θ在減少，所以角加速度也在減少，所以角速率-時間圖象的斜率（斜率是角加速度）也在不斷減少，因而，角速率-時間圖象是上凸函數類型，且在P點重新回到最低點時，角速率達到最大，角加速度為0。
（e）轉軸的支點位置改變后，圓盤遭到的力的轉矩和（b）問相比，是否發生變化，是變大還是變小。
考點：Unit5中扭矩的估算。
思路：支點改變后，圓盤遭到的重力開始出現扭力，而（b）問沒有，因而，重力扭力變大；拉力的力臂愈發緊靠轉軸中心，力臂減少，所以拉力的扭矩比（b）問中增長，因而，拉力扭力變小。支柱給的支持力仍然沒有扭力，故保持不變。
Set2
一根均勻的質量為m寬度為L的棒子，上端連著一根彈簧，距上端L/4的位置有一個支點。開始因為一個中學生右端拖著棒子，彈簧處于原長狀態；之后，朋友的手平緩放松，棒子右端平緩增長，最終在棒子水平的時侯，朋友的手徹底撤掉，系統此時也處于平衡狀態。題干給出木棍圍繞該質點的轉動力矩為I。
（a）畫出棒子水平位置平衡狀態下的受力剖析圖。
考點：Unit5中的受力剖析圖。
思路：棒子在最下端遭到向上的彈簧的拉力，距離棒子上端L/4處，遭到向下支點給的支持力；距離棒子上端L/2處，遭到豎直向上的自身的重力。在轉動的受力剖析圖里，物體遭到的力不可以進行平移，要造成注意。
（b）推論木棍處于水平位置平衡狀態時，彈簧的伸長量Δx的表達式。
考點：Unit5中扭矩的估算、轉動方式的牛頓第一定理和胡克定律。
思路：木棍遭到三個力，以支點為轉動中心，只有彈簧的彈力和木棍自身的重力有扭力，且這兩個力的扭矩方向相反，大小相等。按照轉動方式的牛頓第一定理，可以列舉
kΔxL/4=mgL/4,因而可以估算得出Δx的表達式。
（c）另外一個中學生在右端施加了一個新的力將鐵棒壓至如右圖所示位置，此時彈簧的伸長量為，然后學生由靜止釋放木棍。（手施加的力忽然撤走）
i：畫出木棍由靜止開始轉動至水平位置的過程中，角加速度隨時間變化的表達式。
考點：Unit5中扭矩的估算，轉動方式的牛頓第二定理，角加速度。
思路：木棍由靜止釋放后，鐵棒遭到的彈簧的扭矩小于自身重力的扭矩，所以木棍遭到的合扭力為τ=(kΔx-mg)Lcosθ/4，Δx為彈簧的伸長量,θ為木棍與水平位置的傾角；按照轉動方式的牛頓第二定理，τ=Iα，可以得出，(kΔx-mg)Lcosθ/4=Iα；
隨著時間的延展，鐵棒遭到的合扭力在減少，角加速度也在變小，而且角速率卻在降低，因而位移變化的越來越快，扭力變化的速度也會變快，所以角加速度和時間圖象的斜率會越來越陡；木棍處于水平位置時，鐵棒遭到的合扭力為0，因而角加速度為0，所以角加速度是一個隨著時間不斷減少，但是在木棍回到水平位置的時刻減少到0的一個上凸函數類型。
ii：推論初始釋放位置處，角加速度的表達式。
考點：Unit5中扭矩的估算，轉動方式的牛頓第二定理，角加速度。
思路：木棍由靜止釋放后，鐵棒遭到的彈簧的扭矩小于自身重力的扭矩，所以木棍遭到的合扭力為，
為彈簧的伸長量,為木棍與水平位置的傾角；按照轉動方式的牛頓第二定理，τ=Iα，可以得出，；經過進一步通分，便可得出角加速度的表達式。
（d）如右圖所示，在距離支點相同的位置處，固定兩個質量為m的小物塊，并在此前提下，鐵棒又被推至相同的位置處，并進行釋放。問此時的角加速度和沒有小物塊時的角加速度的大小關系。
考點：Unit5中扭矩的估算，轉動方式的牛頓第二定理，角加速度、轉動力矩。
思路：小物塊添加后，系統的轉動力矩會變大，而且系統的合外扭力卻沒有發生變化；為此，依照轉動方式的牛頓第二定理，可以得出角加速度會升高。
寫在最后
以上就是北美考情的剖析了，對于復習今年考試的朋友來說，應該注意對基礎公式和模型的把握，AP的出題風格并不會有太激進或太靈活的變化，和課內的呼應比較好，因而復習前重點研究以往考過的真題或則模試題也十分具有價值。