1、.天體運動中的向心加速度與重力加速度北流市第一中學(xué)吳展紅在學(xué)習(xí)了天體運動以后，好多朋友覺得重力加速度就與向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，因而出錯。雖然不然，下我們從力與運動的關(guān)系來剖析這個問題。萬有引力定理：是物體間互相作用的一條定理，1687年為牛頓所發(fā)覺。任何物體之間都有互相吸引力，這個力的大小與各個物體的質(zhì)量成正比列，而與它們之間的距離的平方成正比。假如用M、m表示兩個物體的質(zhì)量，r表示它們間的距離，則物體間互相吸引力為F=GMm/r2，G稱為萬有引力常數(shù)，其值約為6.6710-11單位N/kg2。為美國化學(xué)學(xué)家、化學(xué)家亨利卡文迪許通過扭秤
2、實驗測得。萬有引力定理的發(fā)覺和提出，使我們認識到自然界中存在的一種基本作用，更重要的是把其應(yīng)用于天體的運動以及航天技術(shù)的研究當中，進而開創(chuàng)了人類探求宇宙奧妙的新紀元。萬有引力與航天這章內(nèi)容比較深奧難懂，公式比較多中學(xué)生容易混淆，萬有引力公式與圓周運動公式相結(jié)合，得出一系列的公式。怎么能在紛亂的公式中找出其中的奧秘，關(guān)鍵還是要認清楚萬有引力與航天的規(guī)律。欲解決這種問題，現(xiàn)歸納以下幾條根據(jù)：在月球上的物體：（1）考慮月球的自轉(zhuǎn)：重力是萬有引力形成的，因為月球的自轉(zhuǎn)，因此月球表面的物體隨月球自轉(zhuǎn)時須要向心力。重力實際上是萬有引力的一個分力，另一個分力就是物體隨月球自轉(zhuǎn)時須要的向心力。如圖所示，因為經(jīng)度
3、的變化，物體做圓周運動的向心力F也不斷變化，因此月球表面物體的重力隨經(jīng)度的變化而變化，即重力加速度g隨經(jīng)度變化而變化。其中G為萬有引力常量，M為月球的質(zhì)量，m為地面物體的質(zhì)量，R為月球直徑，r為隨著經(jīng)度的變化物體距離軸線的厚度。（萬有引力向量=重力向量+向心力向量）GMm/R2=mg+mw2r由于同一個物體的W相等，隨著經(jīng)度的降低r越來越小，而且萬有引力GMm/R2不變，mg越來越大即：隨著經(jīng)度的降低，重力加速度g越來越大。因而在南北極重力加速度最大，在赤道附近最小。向心加速度：GMm/R2=mg+maga=w2r=mg+mw2r=(2/T)2r=mg+m(2/T)2r
4、=V2/r=mg+mV2/r重力加速度向心加速度相關(guān)公式的推論：GMm/R2=mg+mV2/r或GMm/R2=mg+m(2/T)2r（2）忽視月球的自轉(zhuǎn)：在赤道處R=r，物體的萬有引力分解的兩個分力f向和mg正好在一條直線上,則有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R2-mw2R因月球自轉(zhuǎn)角速率很小重力加速度計算公式，GMm/所以GMm/R2mg，(通常情況下不考慮自轉(zhuǎn)帶來的影響，覺得重力等于萬有引力，只有在南北極時物體不隨月球自轉(zhuǎn)GMm/R2=mg)“GM=gR2”通常稱為黃金代換式，在解題時常常用到。假定月球自轉(zhuǎn)推進，即mg=GMm/R2-mw2R知物體的
5、重力將變小.當GMm/R2=mw2R時，mg=0此時月球上物體無重力，而且它要求月球自轉(zhuǎn)的角速率w=GM/R3，比現(xiàn)今月球自轉(zhuǎn)角速率要大得多。月球附近的近地衛(wèi)星：一般把高度在500千米以下的航天器軌道稱為低軌道，500千米2000千米高的軌道稱為中軌道。中、低軌道稱作為近地軌道（又稱順行軌道）。近地衛(wèi)星是指軌道在月球表面附近的衛(wèi)星，估算時軌道直徑可近似取月球直徑（這一點很重要）即：近地衛(wèi)星：轉(zhuǎn)動直徑(R+h)月球直徑RGMm/（R+h）2=maGMm/R2=ma=mw2(R+h)=mw2R=mV2/(R+h)=mV2/R=m(2/T)2(R+h)=m(2/T
6、)2R（1）軌道直徑(R+h)R；運行速率=7.9kms，是所有衛(wèi)星的最大繞行速率；（2）運行的周期為T=85min，是所有衛(wèi)星最小周期；（3）向心加速度a=g9.8ms2，是所有衛(wèi)星的最大加速度。（4）向心加速度a=g=w2R=V2/R=(2/T)2R=GM/R2角速率周期重力加速度=向心加速度人造衛(wèi)星在離地面的高空中運行，它處于一種完全失重狀態(tài)，其重力，則重力加速度。但衛(wèi)星遭到了它與月球之間的萬有引力，此完全來提供衛(wèi)星繞月球做圓周運動所需的向心力。由公式得到衛(wèi)星做圓周運動的向心加速度，方向指向月球的球心。如今我們構(gòu)想一下，假若某一時刻，衛(wèi)星的速率為零，這么想一下，此時的衛(wèi)星具有的
7、加速度是多少？如果衛(wèi)星的環(huán)繞速率變?yōu)榱悖獾降娜f有引力不變，一直與它繞月球做圓周運動時遭到的萬有引力一樣，只不過。此時的萬有引力飾演的角色發(fā)生了改變，衛(wèi)星做圓周運動時，完全拿來向心力，而當時，全部拿來提供衛(wèi)星的重力，所以衛(wèi)星的重力加速度，方向與同向，即指向球心。也可以從另外途徑來證明此結(jié)果。當衛(wèi)星的環(huán)繞速率為零時，它遭到的重力：（1）又由于在月球表面，我們可以得到：（2）從以上（1）（2）兩式，得到（3）在上文中，我們已得到，代入（3）式，得：，方向指向球心。由此得到同樣的結(jié)果。按照以上的剖析，對于同一顆衛(wèi)星，在同一位置的兩種不同狀態(tài)下，其向心加速度和重力加速度是一樣的，不但大小一樣
8、，但是方向也一樣。月球遠地衛(wèi)星：距離月球比較遠，距離月球的高度不可以忽視重力加速度計算公式，衛(wèi)星距離地心r=R+HGMm/（R+H）2=maGMm/r2=ma=mw2(R+H)=mw2r=mV2/(R+H)=mV2/r=m(2/T)2(R+H)=m(2/T)2r向心加速度a=w2r周期=V2/r角速率=(2/T)2r=GM/r2月球同步衛(wèi)星：即月球同步軌道衛(wèi)星，又稱對地靜止衛(wèi)星，是運行在月球同步軌道上的人造衛(wèi)星。所謂同步軌道衛(wèi)星，是指：衛(wèi)星距離月球的高度約為h=36000km，衛(wèi)星的運行方向與月球自轉(zhuǎn)方向相同、運行軌道為坐落月球赤道平面上方形軌道、運行周期與月球自轉(zhuǎn)一周的時間相等，即23時56分4秒，衛(wèi)星在軌道上的繞行速率約為3.1公里/秒，等于月球自轉(zhuǎn)的角速率。在月球同步軌道上布設(shè)3顆通信衛(wèi)星，即可實現(xiàn)除兩極外的全球通信。（1）線速率；（2）角速率；（3）周期；（4）向心加速度；（5）軌道直徑；（6）對地高度；之后我們在剖析這類問題時，首先要明晰研究的是月球表面隨月球自轉(zhuǎn)的物體還是上升到空中成為月球的衛(wèi)星的物體，重力加速度是否等于向心加速度，要分類討論。嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)心態(tài)，才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的金鎖匙。.