1、.天體運動中的向心加速度與重力加速度北流市第一中學吳展紅在學習了天體運動以后，好多朋友覺得重力加速度就與向心加速度是一回事，即向心加速度就等于重力加速度，重力就等于向心力，因而出錯。雖然不然，下我們從力與運動的關系來剖析這個問題。萬有引力定理：是物體間互相作用的一條定理，1687年為牛頓所發覺。任何物體之間都有互相吸引力，這個力的大小與各個物體的質量成正比列，而與它們之間的距離的平方成正比。假如用M、m表示兩個物體的質量，r表示它們間的距離，則物體間互相吸引力為F=GMm/r2，G稱為萬有引力常數，其值約為6.6710-11單位N/kg2。為美國化學學家、化學家亨利卡文迪許通過扭秤
2、實驗測得。萬有引力定理的發覺和提出，使我們認識到自然界中存在的一種基本作用，更重要的是把其應用于天體的運動以及航天技術的研究當中，進而開創了人類探求宇宙奧妙的新紀元。萬有引力與航天這章內容比較深奧難懂，公式比較多中學生容易混淆，萬有引力公式與圓周運動公式相結合，得出一系列的公式。怎么能在紛亂的公式中找出其中的奧秘，關鍵還是要認清楚萬有引力與航天的規律。欲解決這種問題，現歸納以下幾條根據：在月球上的物體：（1）考慮月球的自轉：重力是萬有引力形成的，因為月球的自轉，因此月球表面的物體隨月球自轉時須要向心力。重力實際上是萬有引力的一個分力，另一個分力就是物體隨月球自轉時須要的向心力。如圖所示，因為經度
3、的變化，物體做圓周運動的向心力F也不斷變化，因此月球表面物體的重力隨經度的變化而變化，即重力加速度g隨經度變化而變化。其中G為萬有引力常量，M為月球的質量，m為地面物體的質量，R為月球直徑，r為隨著經度的變化物體距離軸線的厚度。（萬有引力向量=重力向量+向心力向量）GMm/R2=mg+mw2r由于同一個物體的W相等，隨著經度的降低r越來越小，而且萬有引力GMm/R2不變，mg越來越大即：隨著經度的降低，重力加速度g越來越大。因而在南北極重力加速度最大，在赤道附近最小。向心加速度：GMm/R2=mg+maga=w2r=mg+mw2r=(2/T)2r=mg+m(2/T)2r
4、=V2/r=mg+mV2/r重力加速度向心加速度相關公式的推論：GMm/R2=mg+mV2/r或GMm/R2=mg+m(2/T)2r（2）忽視月球的自轉：在赤道處R=r，物體的萬有引力分解的兩個分力f向和mg正好在一條直線上,則有F=mg+f向，所以，mg=F-f向=GMm/R2-mw2R因月球自轉角速率很小重力加速度計算公式，GMm/所以GMm/R2mg，(通常情況下不考慮自轉帶來的影響，覺得重力等于萬有引力，只有在南北極時物體不隨月球自轉GMm/R2=mg)“GM=gR2”通常稱為黃金代換式，在解題時常常用到。假定月球自轉推進，即mg=GMm/R2-mw2R知物體的
5、重力將變小.當GMm/R2=mw2R時，mg=0此時月球上物體無重力，而且它要求月球自轉的角速率w=GM/R3，比現今月球自轉角速率要大得多。月球附近的近地衛星：一般把高度在500千米以下的航天器軌道稱為低軌道，500千米2000千米高的軌道稱為中軌道。中、低軌道稱作為近地軌道（又稱順行軌道）。近地衛星是指軌道在月球表面附近的衛星，估算時軌道直徑可近似取月球直徑（這一點很重要）即：近地衛星：轉動直徑(R+h)月球直徑RGMm/（R+h）2=maGMm/R2=ma=mw2(R+h)=mw2R=mV2/(R+h)=mV2/R=m(2/T)2(R+h)=m(2/T
6、)2R（1）軌道直徑(R+h)R；運行速率=7.9kms，是所有衛星的最大繞行速率；（2）運行的周期為T=85min，是所有衛星最小周期；（3）向心加速度a=g9.8ms2，是所有衛星的最大加速度。（4）向心加速度a=g=w2R=V2/R=(2/T)2R=GM/R2角速率周期重力加速度=向心加速度人造衛星在離地面的高空中運行，它處于一種完全失重狀態，其重力，則重力加速度。但衛星遭到了它與月球之間的萬有引力，此完全來提供衛星繞月球做圓周運動所需的向心力。由公式得到衛星做圓周運動的向心加速度，方向指向月球的球心。如今我們構想一下，假若某一時刻，衛星的速率為零，這么想一下，此時的衛星具有的
7、加速度是多少？如果衛星的環繞速率變為零，但它遭到的萬有引力不變，一直與它繞月球做圓周運動時遭到的萬有引力一樣，只不過。此時的萬有引力飾演的角色發生了改變，衛星做圓周運動時，完全拿來向心力，而當時，全部拿來提供衛星的重力，所以衛星的重力加速度，方向與同向，即指向球心。也可以從另外途徑來證明此結果。當衛星的環繞速率為零時，它遭到的重力：（1）又由于在月球表面，我們可以得到：（2）從以上（1）（2）兩式，得到（3）在上文中，我們已得到，代入（3）式，得：，方向指向球心。由此得到同樣的結果。按照以上的剖析，對于同一顆衛星，在同一位置的兩種不同狀態下，其向心加速度和重力加速度是一樣的，不但大小一樣
8、，但是方向也一樣。月球遠地衛星：距離月球比較遠，距離月球的高度不可以忽視重力加速度計算公式，衛星距離地心r=R+HGMm/（R+H）2=maGMm/r2=ma=mw2(R+H)=mw2r=mV2/(R+H)=mV2/r=m(2/T)2(R+H)=m(2/T)2r向心加速度a=w2r周期=V2/r角速率=(2/T)2r=GM/r2月球同步衛星：即月球同步軌道衛星，又稱對地靜止衛星，是運行在月球同步軌道上的人造衛星。所謂同步軌道衛星，是指：衛星距離月球的高度約為h=36000km，衛星的運行方向與月球自轉方向相同、運行軌道為坐落月球赤道平面上方形軌道、運行周期與月球自轉一周的時間相等，即23時56分4秒，衛星在軌道上的繞行速率約為3.1公里/秒，等于月球自轉的角速率。在月球同步軌道上布設3顆通信衛星，即可實現除兩極外的全球通信。（1）線速率；（2）角速率；（3）周期；（4）向心加速度；（5）軌道直徑；（6）對地高度；之后我們在剖析這類問題時，首先要明晰研究的是月球表面隨月球自轉的物體還是上升到空中成為月球的衛星的物體，重力加速度是否等于向心加速度，要分類討論。嚴謹的學習心態，才是學習數學的金鎖匙。.