由于反射界面不同，兩束光反射時的相位突變也不同。 兩者的區別在于，下面我們通過實驗來測量一下。 一開始觀察到干涉場中心為亮點，干涉場最外緣為亮環，共有20條????亮條紋（包括中心亮點） 。 現在慢慢調整一只手臂的反光板，讓反光板沿著手臂的方向平移。 觀察干涉條紋的明暗變化，發現同心環條紋變得越來越稀疏。 干涉場中心的明暗變化了23個周期，干涉場最外側的明暗變化了20個周期。 （本題中，將條紋數視為精確的計數值，干涉儀兩臂的長度為cm量級。） （1）求相位突變之差。 ?? (2) 移動鏡子后，可以觀察到多少條干涉亮條紋（考慮到中心亮點）？ (3)利用該干涉儀測量某種透明液體的折射率。 將平坦的石英槽插入邁克爾遜干涉儀的臂中，使石英槽的表面垂直于臂的方向。 然后調整石英槽與臂之間的角度，改變?5.00?； 在角度變化過程中，干涉場中心的明暗變化了10個周期。 現在將待測液體注入石英罐中，如圖1b所示。 再次調整石英槽的傾斜角度，使其恢復與臂垂直。 在此過程中，干涉場中心的明暗變化了17個周期。 已知照明光的波長為633nm，石英槽內壁之間的距離為t 2.00mm，空氣的折射率為1.00。
求出待測液體的折射率。 第 14 頁，共 2 頁。 (40 分) 長直彈簧由涂有絕緣漆的磷青銅絲繞成圈。 它可以看作是一個橫截面半徑為 的長直螺線管。 彈簧的原始長度Nrk為(ll??r)，剛度系數為。 假設在彈簧變形過程中，螺線管始終可以視為均勻密繞，其橫截面半徑的變化可以忽略不計 0 0 。 忽略邊緣效應、漏磁和重力。 真空磁導率為。 ?0 (1) 使用恒流源，通過軟導線向螺線管通恒定電流，并在供電期間利用外力防止彈簧變形。 外力慢慢撤去后，I0彈簧達到新的平衡位置（但仍能被壓縮或拉伸），此時的長度記為。 lp(i) 嘗試推導出一個可解的代數方程（但不一定要解），求出通電彈簧在其平衡位置附近發生小變形時的等效彈性lp系數k（表達式可以包含參數）； leffp(ii ) 求出能夠達到上述平衡狀態的取值范圍（表達式不得包含參數）。 Il0p (2) 改變(1)中的通電條件。 如果先將彈簧螺線管的兩端接上一根零電阻的軟理想導線，形成一個回路，并假設彈簧螺線管的電阻也為零，回路初始加載一個電流，并外接一個力用于防止彈簧在任何地方變形。 外力慢慢撤去后，彈簧達到新的平衡位置（但仍能被壓縮或拉伸），此時的長度記為。
試求當通電彈簧在其平衡位置附近發生小變形時的等效彈性系數l★ l★ppk★。 eff 3. (40 分) 如圖 3a 所示，質量和半徑均質的實心球從傾角為 的無限長固定斜面發射。 已知球中心的初速度垂直于斜面，球的大小為 ，旋轉角速度為零。 為了方便描述實心球隨后的運動，在斜面參考系中建立如圖3a所示的平面直角坐標系，其中軸線沿斜面向下，軸線垂直于斜面。平面且向上。 假設球與斜面的碰撞是彈性的，碰撞時間極短，且垂直于斜面的球的速度在碰撞前后保持不變。 進一步假設斜面足夠粗糙，使得球與斜面碰撞時，球與斜面之間的摩擦力足夠大，接觸點不存在相對滑動。 已知球繞其直徑的轉動慣量為I 2 mR2，求5 (1) 球第一次碰撞前的中心速度和球的自轉角速度； (2) 第一次碰撞后球的中心速度和旋轉角速度； (3) 第一次碰撞后球中心沿軸線的速度和球旋轉的角速度； (4) 前一次碰撞期間斜坡對球施加的總沖量。 4.（60點）如圖4a所示，一根長度和質量均勻的剛性細棒，一端有一個2am的小孔，嵌套在一個半徑為（是圓環上的點）的水平環的點上。環固定點）； 點RPPP?（與桿一起）隨環繞環中心軸以恒定角速度旋轉； 同時，桿可以無摩擦地繞P點旋轉，并且桿和環的半徑始終在內部同一垂直平面內； 桿與垂直OP之間的角度為。
重力加速度的大小為。 ?gS (1) 將所有類型的保守力所做的功與勢能的變化聯系起來。 嘗試寫出桿的機械能表達式（表達式可能包含）； ? (2)在S參考系中，導出桿處于平衡構型時需要滿足的條件； ?? (3) 在S參考系中，對于問題(2)得到的結果，用圖解法分析在I?0???π/2?中可能出現的桿的平衡構型的個數, II ?π / 2 ?? ? π ? , III 和 IV 象限，以及對應的 , , 各參數之間需要滿足的條件 ?π ?? < 3π/2? ?3π/2 ?? ? 2π ?a R ?; 第 24 頁，共 4 頁 (4) 在 S 參考系中，象限繪圖 畫出桿上相對于 P 點產生力矩的力示意圖（對于分布力，只需示意性地畫出與貢獻于 P) 點的時刻，看看是否可能達到平衡。 配置來測試（3）中的分析結果； (5) 嘗試討論(3)中確定的桿的每個平衡配置的穩定性。 km 5. (40 分) 兩個相同的理想輕彈簧，其剛度系數和自然長度均為 0。兩個彈簧通過一個小質量球連接。
將彈簧 1 的自由端懸掛在天花板上，整個系統將自然下垂并初始靜止。 眾所周知，一旦兩個彈簧中的任何一個被拉伸到臨界毫克長度（臨界長度大于，這里代表重力加速度的大小），就會斷裂。 gk實驗發現，如果慢慢拉動下彈簧2的下端，上彈簧1就會被拉斷。 如果拉得太快，很有可能把下面的彈簧2折斷。 (1) 假設彈簧2下端所受的力隨時間變化，寫出彈簧1的長度和彈簧1的加速度滿足的運動方程F(t)x (t)x (t)11球??。 (2) 在簡單模型中，假設 F(t) 與時間的關系為 t0t = 0?F(t) ??tt ? 0??t? 0 其中 是一個大于零的常數，其尺寸影響應力加載的速度。 求彈簧 1 和 2 在該力作用下在 ( ) 時刻的長度 tx (t) 和 1 x (t)。 2 (3) 確定某個彈簧首先斷裂的時刻。 根據(2)的結果，t0?(i)發現彈簧1所對應的取值范圍必須首先被破壞； ?(ii)為 不一定是導致彈簧1首先斷裂的值。 分析彈簧1首先斷裂瞬間需要滿足的條件（t0?可包含在表達式中）； (iii) 找出彈簧2先斷裂的可能性。 屬性和價值之間的關系，并用這種關系來解釋所討論的實驗現象。
?? (4) 給定臨界長度為，保證彈簧2首先斷裂，嘗試確定需要滿足的關系。 有沒有可能兩個彈簧同時壞了？ 如果是這樣，L?嘗試找到一個令人滿意的關系表達式，使兩個彈簧同時達到臨界長度。 L 6.（60分）當金屬內部存在溫度梯度時，兩端都會產生電動勢。 這種效應應用于熱電偶溫度計等。為了分析這種現象，現建立一個簡單的經典玩具模型，如圖-6a所示：一塊厚度為 的金屬板，沿 方向無限延伸，位于n(x)x2Ly z?L ? x ? LT(x)z 區域； 而x?L區域是真空，電場為零。 將金屬內的導電電子視為在空間均勻的正電荷背景 E 0E (x)E 0 上移動的經典理想氣體。 當沒有溫度梯度時，電中性金屬內部的電子完全均勻分布，其數密度為； 當存在溫度梯度時，金屬內部的溫度是 n0、T(x)T +?T(x) 和 ?T(x) ?? T 的函數。 在（局部）熱平衡狀態下，金屬中的電子數密度 x –Lx L00 將稍微偏離 , 。 沿著金屬的方向也會有一個非常小的電場。 金屬表面內部也具有較小的表面電荷密度和。
已知電子質量為 ，其所帶電荷為 xE (x)x ?L? ?mx???ee?0 ( )。 忽略重力，玻爾茲曼常數為。 (1)顆粒數密度的不均勻會引起顆粒的擴散。 如果一段時間內通過平面上某一區域的粒子數為 n(x)yz j dAdt ，則稱為粒子流密度。 粒子擴散流密度 jj (x) 滿足菲克定律 xxx34 頁 dj (x) –D n(x)xdx 其中 是擴散系數 DT(x)D cn(x)c 這里 是已知常數。 在平衡狀態下，金屬內部不應有凈電流流動，因此前述的電子擴散流將被內部電場產生的漂移電流所抵消。 為了簡單起見，讓金屬的電阻率是一個與 n(x) 等無關的已知常數。找到金屬板內部電場的表達式 ?T(x)E (x)xd（用 n(x) 表示） )、T(x)、n(x) 和其他常數）。 dx (2) 試從靜電場高斯定理推導出E(x)滿足的微分方程； 利用(1)的結果消除電場，推導出微分方程x和滿足它的邊界條件。 真空介電常數為。 （提示：凈電荷密度包括正電荷背景） ?n ?T (3) 將(2)中的方程線性化，即只保留少量線性項如 、 并求解（解可包括 和）。
?n(x)?? ?? (4) 假設金屬內部存在溫度梯度，即不為零，但電子氣（可視為理想氣體）在任何地方; 電子 ?T(x)x 氣中的電子受到電場的影響，但厚度為 的薄層中的電子氣仍處于宏觀力學平衡狀態。 嘗試推導滿足 E (x)dx?T(x)x 的微分方程并將其線性化。 然后利用(3)的結果求出?T(x)。 x -L x +L (5) 根據(3)和(4)的結果，求金屬兩端電位差與溫度差（和）的比值（即（L ) -U(-L)S 金屬系數 ) ST(L) - T(-L) 注：正確分析金屬熱電現象必須考慮電子的量子效應。 本題的簡化經典模型并不適用于實際情況。 7.（40分）在CERN大型強子對撞機上進行了高能鉛芯-鉛芯碰撞實驗。 碰撞后的初始產物可以看作是一個溫度非常高的“火球”，其內部的物質主要是由靜止質量很小、速度極其接近光速的夸克組成。 本題忽略了物質中除夸克以外的其他成分，將其視為“夸克物質”，將夸克近似視為質點。 除了碰撞時刻之外，夸克之間不存在相互作用。 碰撞過程中粒子數量保持不變。 ，其速度分布是各向同性的。 已知，當溫度為時，在任意動量大小區間[p,p + dp]內，夸克粒子在夸克物質中能量的分布比（概率分布密度）E?k T 2 與eB 4πp dp 成正比，其中玻爾澤曼常數或理想氣體通用常數被認為是已知量。
P (1) 在本題的模型近似下，嘗試推導夸克物質的狀態方程（用壓力與平均能量密度的關系表示）。 u (2) 在本題的模型近似下，嘗試推導出用壓力、粒子數密度和溫度之間的關系表示的夸克物??質的狀態方程。 （3）在本題的模型近似下，嘗試求夸克物質的恒摩爾熱容和熱容比（恒壓摩爾熱容與恒摩爾熱容之比）。 (4) 假設鉛芯-鉛芯碰撞早期產物形成的“火球”近似球形，半徑約為3.0×10-15 m，其中夸克物質的溫度為約 400 MeV/kB。 隨后，“火球”迅速膨脹并冷卻下來。 當溫度達到約150 MeV/kB時，夸克物質中的夸克開始結合在一起形成質子和中子。 假設“火球”的膨脹和冷卻過程可以近似為準靜態絕熱過程，求質子和中子剛形成時“火球”的半徑。 第44頁，共39頁 第39屆全國中學生物理競賽半決賽參考答案（2022年9月17日9:00-12:00） 1. (1) 邁克爾遜干涉等效于薄膜干涉，且照明光是發散的，光束、鏡子和臂是垂直的，因此相當于等斜干涉。 假設起始時兩個d臂的光學長度差為，以亮條紋為中心：2π2d + ??= 2kπ①l 其中 是整數。 總共有 20 條亮條紋，因此對于干涉場最外層的亮條紋： k2π2d cos? +?? 2(k =?19)π②M?? 式中，為薄膜干涉的最大傾斜角，可得①②：M2π2d (1 ? cos ? ) 19 =?2π③M? 當鏡子移動時，條紋變得稀疏，表明兩臂之間的光程差變小。 假設鏡子移動了Δ。
中心變化： 2π2?d = 23 ?2π④? 最外側變化： 2π2?d cos? M 20 =?2π⑤? 所以可得： ? M 和 ?d ?⑥232 代入③式可得： 2π ?20?2d?1 -?19=?2π⑦?23?23?從此我們得到的：23?1922D?145?145?33替換為公式：2π?2?2?2?145? + + +??2Kπ⑨??2Kπ⑨???是： 2145? 2π + ?2π + ?? 2kπ⑩3?? 所以應該是： 2π???32π??+2k ?? k ? 【注：因為光波函數的周期為2π，（為整數）則認為正確]3m (2) 鏡子移動后，中心為亮點，干涉場最外緣為亮條紋。 假設共有亮條紋，則： 2π2(d ? ?d )(1 ? co ?s M ) = (m ?1)2π??由此可得： m =17?n?, i (3) 假設液體的折射率，如解題圖1a所示。 圖中，它們分別是光的入射角和折射角。 根據折射定律，有 sinnq ：?L (?)2(n OA =+ AC ? OB)? nt? sin?sin i ?t ?2 ?=+ t ???sin ? ???cos i? cos?cos i ?cos? ? ?? nn sin2 i ? ? 1sin2 ? ???2t=????? ????? cos icos i ? ? cos?cos? ??s in2 ?2nt 1 = ??2t cos ?2n 因此，將上述光的路徑差與 ?= 0 時的值進行比較，可得 ?2 ?sin ??L(0) ? ?L(?) = 2nt1 ? 1 ??2 (?? 2 ? t 1 ?cos ) = ??? N??n?sin2 ??? 由于角度比較小，??1，所以將上式展開為一個小量，并保留為一階小量：? t ?2t(1 ?cos?) =???N?n39屆全國中學生物理競賽復賽，我們得到 2t sin ?n?2t(1 ?cos?) ???N 將問題交給數據 t2.00 mm , ? 5.00=? , ?NN 2 =? N1 7 ，代入?公式得：n 1.41?評分標準：否。 （1）第23題：①②公式各3分，③公式2分，④⑤公式各3分，⑥公式4分， ⑧式2分，?式3分； 題（2）5分：?公式5分； （3）第12題：公式???各4分。
2. lI (1) (i) 不包括邊緣效應和漏磁。 設螺線管長度為 ，通電電流為 ，則管內磁感應強度為 ? NIB ? nI 0①0l 螺線管磁通匝數為 2 22 ? N πr I? NBπr 0②l 螺線管的電感螺線管為 ? ? N 2πr 2L 0③Il 彈簧的彈性勢能為 12W = k (l ? l )④k02 當 I = I0 時，電感器中儲存的磁場能量為 2 2 212 ? N πr IW = LI = 00⑤B022l ?l考慮一個緩慢而微小的變形過程，記錄為該過程中彈簧的微小伸長量（可以是正值或負值，視為無窮小量）。 設彈簧兩端加載的維持彈簧平衡的外力為（以拉伸方向為力的正方向），則根據函數原理，F ?l + ?A = ?W + ?W⑥SkB?A 其中是恒流源克服自感電動勢所做的功。 根據法拉第電磁感應定律，保持電流=恒定，螺線管所在電流返回S0路徑的自感電動勢為（與電流方向相反）???(LI 0 )U? t?t?A 恒流源克服自感電動勢所做的功為 S?( LI )2? =? =0A UIt? = ? = ??I t I LW⑦S000S?t 其中 2W = ?LIS 0 將式 ④⑤⑦ 代入式 ⑥，并與下式聯立 F ?l = ?W⑧ 比較可得 2 2 212 ? N ?r IWW =+ W + Wk(l =? l ) ? 00⑨ 由式 ⑧⑨ 得get 2 2?W1 ? πN r2Fk (l ?l ) +0I⑩020?l2llF 0 Slow 外力去除后，彈簧到達新平衡位置時的長度； 換句話說，當ll。
由式⑩可得 pp1 ? πN 2r 2 2k (l ?l ) +0I0?p 0。這就是需要滿足的代數方程。 p?l 如果 ll =+?l，對方程 ⑩ 進行小展開，得到 p?? πN 2r 2 2 ?F ?k =? 0 3 I 0 ??l +keff ?l =+??l?? p ??lkl 式中， 為高階小量，為通電彈簧在平衡長度附近發生小幅度變形時的等效彈性系數。 由式?? effp 得 2 2? πN 2r 2? πN r (3l ? 2l )020p0 2kk =?II?efflp 3 02lp 3 (l0 ? lp ) 0 (ii ) 由式?得 2kI (2l =?2l )l l?02 2 0p pp? πN r0 由均值不等式 a + b + c3 abcab? 得，當 = 0, = 0, c = 0 時； 當且僅當 ab c 取 == 等號 3 時，我們知道 33I 2 ? k ? 2l0 ? = 8kl0?02 2 ??2 2? πNr ? 3 ?27 ? πNr002 等號僅對應于 l= l 的情況。
所以 3I ?0?02 227 ? πNr0 (2) 忽略邊緣效應和漏磁。 由于整個通電回路的電阻為零，當彈簧被拉伸或壓縮時，回路的自感電動勢為零，這意味著自感磁通保持不變，因此 2 2? πN rLI = LI ? = 0I ??0 00l0l 其中彈簧長度為 螺線管的自感系數由公式③給出，其相應的電流為； LI2 2?πN rL = 00l0，因此電感的磁能為 22(LI ?)(LI ?)2 2 ?2120 00 0? N ?r IW = LI==l = 00 l?B2 ? N ?r2l00 從式 ④? 中，系統總能量為 2 2 ★212 ? N ?r IWW =+ Wk(l =? l ) + 00 l??l 考慮到變形過程緩慢且小，記為系統的微小伸長量過程中的彈簧（可以是正值，也可以是負值，視為無窮小量）。 設彈簧兩端加載保持平衡的外力為（以拉伸方向為正方向），則根據函數原理，該過程有FF ?l = ?WW，由式?給出。 由上式可得 2 2?W1 ? πN r2F k (l ?l ) +0I ??020?l2l0l ★★ F0 外力慢慢撤去后，彈簧達到新平衡位置時的長度。
這意味著當 ll 時，我們從方程 ? 得到 pp2 21 ? πN r2k (l ? ?l ) +0I ? 0?p 。 解為 2 21 ? πN r2l ?=l ?0I ??p 0 2kl 200If ll == +?l ，由式?可得 F k ?lk ? ?lpeff 。 因此，通電彈簧在平衡位置附近發生小變形時的等效彈性系數為k★k?eff。 評分標準：本題40分。 （1）題26分，其中（i）題21分，公式①②③④各1分，公式⑤⑥⑦⑧⑨⑩??各2分39屆全國中學生物理競賽復賽，公式?各1分； 第(ii)題5分，公式??各2分。 ?一級方程式
