牛津大學數學家 Kim Min-hyun 對找出哪些有理數解特定類型的方程特別感興趣。 這個問題困擾了數論學家數千年。 他們在解決問題方面幾乎沒有取得什么進展。 當一個問題被研究了很長時間卻沒有得到解決時，我們可以得出結論，唯一的解決方案就是有人想出一個全新的想法。 這正是金正恩所做的。
在過去的十年中，金描述了一種在看似無模式的有理數世界中尋找模式的全新方法。 這并不是基于純粹的數字世界，而是借用了物理學的概念。
古老的挑戰
方程的有理數值解對人類思維具有強烈的吸引力。 它們是許多最著名的數學猜想的主題。
有理數包括整數和任何可以表示為兩個整數之比的數字，例如 1、-4 和 99/100。 數學家對解所謂“丟番圖方程”（著名的丟番圖方程，從古至今研究的最有趣的“世界問題”）的有理數特別感興趣，比如 x^2 + y^2 = 1 。 這些方程以丟番圖命名，他于公元三世紀在亞歷山大研究了這些方程。
有理數解很難以任何全面的方式找到，因為它們不遵循任何幾何模式。 考慮方程 x^2 + y^2 = 1。該方程的實解形成一個圓。 去掉這個圓上所有不能用分數表示的點，剩下的就是所有有理數解。 有理數解似乎隨機散布在圓的圓周上，根本沒有任何圖案。
通常很容易找到一個或多個合理的解決方案。 但數學家更感興趣的是尋找所有有理解。 這是非常困難的，即使是證明一個可理解的量的最簡單的陳述也足以讓你成為數學名人。 1986年，格爾德·福廷斯獲得了數學界的最高榮譽菲爾茲獎，主要是因為他解決了一個叫做莫德爾猜想（）的問題，并證明了某些數學問題。 Fantu 方程只有有限個有理解。
福廷斯的證明是數論中的一個里程碑。 這也是數學家所說的“無效證明”，意思是它實際上沒有計算有理解的數量。 有理數點看起來就像方程圖上的隨機點。 數學家希望，如果他們改變思考問題的方式，這些點將開始看起來更像一個他們可以用某種精確方式描述的“星座”。 問題是已知的數學領域沒有提供這樣的工具。
目前，關于這個新想法可能有兩個主要建議。 其中之一來自日本數學家望月新一（ ）。 2012年，他在京都大學教員網站上發表了數百頁詳細而新穎的數學論文。 另一個新想法來自 Min-Hyun Kim，他試圖在擴展的數字環境中思考有理數，其中隱藏的模式開始顯現出來。
對稱解
數學家常說，物體越對稱，就越容易研究。 考慮到這一點，他們希望將丟番圖方程的研究置于更加對稱的環境中。 如果他們能做到這一點，他們就可以使用新的相關對稱性來追蹤他們正在尋找的有理數點。
要了解對稱性如何幫助數學家解決問題，請畫一個圓圈。 也許您的目標是找到圓上的所有點。 對稱性很有用，因為它創建了一個“地圖”，允許您從已知的點導航到尚未發現的點。
假設你已經找到了南半圓上的所有有理點。 由于圓具有反射對稱性，因此您還找到了北半圓上的所有有理點。 事實上，即使你只知道一個點的位置，結合圓的對稱性知識，你也可以找到圓上的所有點（只需將圓的無限旋轉對稱性應用到原點即可）。
但是，如果您正在研究的幾何對象非常不規則，您將必須努力識別每個單獨的點（不存在允許您將已知點映射到未知點的對稱性）。
一組數字也可以具有對稱性數學家和物理學家，一組數字越對稱，就越容易理解（對稱關系可以用于發現未知值）。 具有特定對稱關系的數字形成一個“群”，數學家可以利用群的性質來理解它所包含的所有數字。
方程的有理解集不具有任何對稱性，也不能形成群，這使得數學家面臨著一次不可能發現一個解的任務。
從 20 世紀 40 年代開始，數學家開始探索如何將丟番圖方程置于更加對稱的環境中。 數學家克勞德·查伯蒂 ( ) 發現，在他構建的一個更大的幾何空間中數學家和物理學家，有理數形成了自己的對稱子空間。 然后他將這個子空間與丟番圖結合起來。 兩者相交的點表示方程的有理解。
20 世紀 80 年代，數學家 ( ) 改進了 的方法。 此后的幾十年里，科爾曼-夏伯蒂方法一直是數學家尋找丟番圖方程有理解的最佳工具。 然而，只有當方程的圖形與較大空間的大小成特定比例時，它才有效。 當比例失調時，很難找到方程曲線與有理數相交的精確點。
如果環境空間中有一條曲線，并且有太多有理點，那么有理點就會聚集在一起，很難區分哪些點在曲線上。
為了擴展查伯蒂的工作，金想要找到一個更大的空間來思考丟番圖方程——一個有理點更加分散的空間，使他能夠研究丟番圖方程的更廣泛的交集。
空間中的空間
如果您正在尋找更大類型的空間以及有關如何使用對稱性“導航”的線索，物理學是一個不錯的選擇。
一般來說，在數學意義上，“空間”是具有幾何或拓撲結構的任何點的集合。 隨機分布的一千個點不會形成一個空間（因為沒有結構將它們連接在一起）。 但球體是一個特別連貫的點排列，它是一個空間。 對于環面、二維平面或我們生活的四維時空來說也是如此。
除了這些空間之外，還有更多奇異的空間，你可以把它們想象成“空間中的空間”。 舉一個非常簡單的例子，假設你有一個三角形（這是一個空格）。 現在想象一下所有可能的三角形的空間。 這個大空間中的每個點都代表一個特定的三角形，其坐標由它所代表的三角形的角度給出。
這種觀點在物理學中很有用。 在廣義相對論的框架中，空間和時間是不斷演化的，物理學家認為每一個時空構型都是所有時空構型空間中的一個點。 空間中的空間也出現在稱為規范理論的物理學領域，該領域涉及物理空間中的場。 這些場描述了當您在空間中移動時電磁力和重力等力如何變化。 您可以想象這些場在空間中的每個點都有稍微不同的配置，并且所有這些不同的配置一起形成高維“所有場空間”中的點。
這個物理場的空間與數論中King提出的“數擴展空間”非常相似。 要理解其中的原因，請考慮光束的示例。 物理學家想象光在高維場空間中移動。 在這個空間中，光所遵循的路徑遵循“最少作用原理”（即從 A 到 B 所需時間最少的路徑）。
物理學中出現的這些較大的空間具有它們所代表的任何空間中所不存在的附加對稱性。 這些對稱性引起人們對特定點的注意，例如強調時間最小化路徑。 在另一種情況下以另一種方式構建，這些相同類型的對稱性可能會強調其他類型的點，例如與方程相對應的理解點。 這一原理解釋了為什么光從一種材料移動到另一種材料時會發生彎曲（彎曲的路徑可以最大限度地減少所需的時間）。
將對稱性與物理學聯系起來
數論沒有可追蹤的粒子，但它確實有空間和時間之類的東西，而且它還提供了一種繪制路徑和構建所有可能路徑的空間的方法。 根據這個基本對應關系，金正在設計一個方案，其中尋找光的軌跡和尋找丟番圖方程的有理解的問題是同一問題的兩個方面。
丟番圖方程的解形成空間（這些是方程定義的曲線）。 這些曲線可以是一維的，例如圓形，也可以是更高維的。 例如，如果繪制丟番圖方程 x^4 + y^4 = 1 的（復）解，您將得到一個三孔環面。 這個環面上的有理點缺乏幾何結構（這就是它們很難找到的原因），但它們可以對應于高維空間中具有結構的點。
King 通過在圓環上繪制環的思考，在高維空間中創建了這個空間。 繪制路徑的過程如下。 首先，選擇一個基點，然后從該點到任何其他點繪制一個循環，然后再返回。 重復此過程以繪制將基點連接到環面上其他點的路徑。 這些循環在基點開始和結束。 這組循環是數學中一個重要的中心對象——它被稱為空間的基本群。
環面上的任何點都可以用作基點。 每個點都有一條從它延伸出來的獨特路徑。 這些路徑集中的每一個都可以表示為高維“所有路徑集的空間”中的一個點（就像所有可能的三角形的空間）。 這個空間中的空間在幾何上非常類似于物理學家在規范理論中構建的“空間中的空間”（當從環面上的一個點移動到另一個點時，路徑集的變化方式與真實空間中的相同）當從一個點移動到另一個點時，會以非常相似的方式發生變化）。 該空間內的空間具有環面本身不存在的附加對稱性。 雖然環面上的有理點之間存在不對稱性，但如果進入所有路徑集的空間，就會發現與有理點相關的點之間存在對稱性。 你獲得了以前看不見的對稱性。
這些路徑中存在一種“隱藏的算術對稱性”，這與規范理論的內部對稱性非常相似。
正如查伯蒂所做的那樣，金通過思考他所構建的更大空間的交叉點找到了合理的解決方案。 他利用這個空間的對稱性來縮小交集。 他希望開發出一個能夠準確檢測這些點的方程。
在物理環境中，您可以想象一束光可能經過的所有路徑。 這是您的“完整路徑空間”。 物理學家感興趣的空間點是那些與時間最小化路徑相對應的點。 這些點對應于有理數點生成的復雜路徑，并且具有相同的屬性。 也就是說，這些點最小化了當您開始思考丟番圖方程的幾何形式時出現的某些屬性。
不確定的未來
今天，物理學語言幾乎完全脫離了數論的實踐。 這幾乎肯定會改變。 四十年前，物理學與幾何學和拓撲學之間幾乎沒有聯系。 然后，在 20 世紀 80 年代，一些數學家和物理學家（現在都是偉大的思想家）準確地弄清楚了如何使用物理學來研究形狀的屬性。
如果不了解物理學，就幾乎不可能對幾何和拓撲感興趣。 我有理由相信數論將在未來幾十年內實現這一目標。 這種聯系是如此自然。
