初步知識(shí)角動(dòng)量
思路：根據(jù)一個(gè)力學(xué)量（測(cè)量量）的經(jīng)典表達(dá)，可以寫(xiě)出相應(yīng)的算子（這其實(shí)是量子力學(xué)的一個(gè)重要假設(shè)，課本上經(jīng)常忽略它，直接告訴你可以這么做）
從經(jīng)典公式到運(yùn)算符
經(jīng)典力學(xué)中粒子的角動(dòng)量公式為
begin{align}&{{L}} = {{r}} \times {{p}}&(1)\end{align}
其中{{r}}是從參考點(diǎn)到物體的位置向量，{{p}}是粒子的動(dòng)量。 或者在直角坐標(biāo)系中寫(xiě)成組件形式（以原點(diǎn)為參考點(diǎn)）
begin{align}&L_x = y p_z - z p_y qquad L_y = z p_x - x p_z qquad L_z = x p_y - y p_x&(2)\end{align}
現(xiàn)在我們使用方程 2 來(lái)定義三個(gè)方向的角動(dòng)量算子。 這時(shí)x,y,z,p_x,p_y,p_z也應(yīng)該理解為運(yùn)算符。 類似地，如果 {{r}} = x hat{{{x}}} + y hat{{{y}}} + z hat{{{z}} } 表示位置向量運(yùn)算符，使用 {{p}} = p_x hat{{{x}}} + p_y hat{{{y}}} + p_z hat{{{ z} }} 表示動(dòng)量向量算子什么叫角動(dòng)量，角動(dòng)量向量算子可以通過(guò)方程1來(lái)定義。我們還可以定義角動(dòng)量平方（標(biāo)量）算子
begin{align}&{{L}} ^2 = {{L}} \cdot {{L}} = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2&(3)\ 結(jié)束{對(duì)齊}
除了x、y、z三個(gè)方向上的角動(dòng)量分量外，我們還可以將任意方向上的角動(dòng)量分量表示為 hat{{{n}}} \cdot {{L}}運(yùn)算符和所有與 {{L}} ^2 運(yùn)算符進(jìn)行交換。
begin{align}&L_n = n_x L_x + n_y L_y + n_z L_z qquad (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1)&(4)\end{align}
交換關(guān)系
對(duì)于角動(dòng)量分量，理想的情況是如果特征方程可以解
begin{align}&{{L}} psi = {{l}} psi&(5)\end{align}
我們可以得到向量特征值{{l}}，那么測(cè)量{{L}}特征態(tài)的結(jié)果一定是{{l}}。 但事實(shí)上，{{L}}幾乎從來(lái)不會(huì)單獨(dú)使用，因?yàn)樯厦娴墓綗o(wú)解。 為什么呢？求解上式，充要條件是psi存在，使得三個(gè)分量同時(shí)有解。
begin{align}&L_x psi = l_x psi qquad L_y psi = l_y psi qquad L_z psi = l_z psi&(6)\end{align}
不幸的是，L_x、L_y和L_z中的任意兩個(gè)都不可交換，因此不存在公共特征函數(shù)（參見(jiàn)“算子交換和公共特征向量函數(shù)”）。可以證明，三個(gè)算子之間的交換關(guān)系為
begin{align}&[L_x, L_y] = {i} L_z qquad [L_y, L_z] = {i} L_x qquad [L_z, L_x] = {i} L_y&(7)\end {對(duì)齊}
事實(shí)上，我們只能同時(shí)知道三個(gè)分量之一（不確定性原理，通常我們選擇求解 L_z L_z psi = l_zpsi 的特征方程。
幸運(yùn)的是，L^2 與 L_x、L_y、L_z（或任何 L_n）可交換，因此必須存在一組特征函數(shù)，它們同時(shí)是 L_x、L_y、L_z 和 L^2 之一的特征函數(shù)。 我們習(xí)慣計(jì)算L^2和L_z的共同特征向量。
升高和降低算子和特征值
如果要求解L^2和L_z的共同特征函數(shù)，通常的方法是先將算子的表達(dá)式轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)，然后求解方程。 但是我們現(xiàn)在將使用一種更簡(jiǎn)單（但非常重要）的方法，即提升算子（已經(jīng)在簡(jiǎn)單諧振子問(wèn)題中看到）來(lái)繞過(guò)本征函數(shù)，直接求出公共波函數(shù)的簡(jiǎn)并性以及兩個(gè)操作員。
由于沒(méi)有辦法找出升、降算子什么叫角動(dòng)量，這里我們直接給出并證明L_z的升、降算子分別為
begin{align}&L_pm = L_x pm {i} L_y&(8)\end{align}
根據(jù)提升算子的一種定義，要證明它們是提升算子，只需證明 [L_z, L_pm] L_pm 即可。 結(jié)論是（證明見(jiàn)常用算子交換表）
begin{align}&[L_z, L_pm] = pm hbar L_ pm&(9)\end{align}
與簡(jiǎn)諧振子的提升算子類似，我們也需要一個(gè)歸一化系數(shù)，使得 hat{{{L}}} _pm leftlvert l,m right = A_ pm left lvert l,m pm 1 right 成立（參見(jiàn)軌道角動(dòng)量升落算子歸一化）。結(jié)論是
begin{align}&hat{L} _pm leftlvert l, m right = hbar sqrt{l(l + 1) - m(m pm 1)} leftlvert l , m pm 1 right&(10)\end{align}
由于 leftlvert l,m right 也是
（已撤消）