我其實(shí)有些懷疑矩陣理論課程都是關(guān)于證明的。所以雖然這節(jié)課叫做規(guī)范的應(yīng)用，但你認(rèn)為你可以
有沒(méi)有實(shí)際的應(yīng)用題需要你計(jì)算？ 想太多了！
好了，廢話(huà)不多說(shuō)，我們先來(lái)介紹一下這節(jié)課要解決什么問(wèn)題。
如圖所示，我們可以看到，當(dāng)對(duì)矩陣求逆時(shí)，添加小擾動(dòng)后誤差可相差近 600,000。 可見(jiàn)的，
矩陣求逆時(shí)，誤差對(duì)其影響很大，而矩陣的逆矩陣對(duì)誤差非常敏感。us
要知道，在實(shí)際的工程應(yīng)用中，誤差是不可避免的。任何微小的誤差都會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生具體的影響。
影響，那么這個(gè)計(jì)算結(jié)果顯然是不可靠的。 在工程應(yīng)用中我們應(yīng)盡量避免這種現(xiàn)象的發(fā)生。 所以，
我們需要研究矩陣求逆時(shí)誤差的影響。這就是我們本課要討論的內(nèi)容
主題。
矩陣逆的攝動(dòng)
擾動(dòng)意味著小擾動(dòng)。 我們先介紹一下條件數(shù)的概念。
為了書(shū)寫(xiě)方便什么情況用動(dòng)量矩定理，有時(shí)省略下標(biāo)p。 接下來(lái)我們將看到條件數(shù) K_p(A) 給出
對(duì)結(jié)果變化的敏感性的度量。
下面我們給出具體證明：
通常，當(dāng)我們證明一個(gè)矩陣可逆時(shí)，要么行列式不等于0，要么它具有滿(mǎn)秩。但是這個(gè)定理的證明
稍有不同什么情況用動(dòng)量矩定理，通過(guò)范數(shù)證明可逆性。其實(shí)范數(shù)是一個(gè)數(shù)，矩陣的行列式也是一個(gè)數(shù)，所以我們可以
近似地說(shuō)，它們具有一致的關(guān)系。 下面使用范數(shù)的證明思路與行列式的證明思路大致相同。
類(lèi)似地，由于E+A=E-(-A)，所以它也是可逆的。
我們介紹以下幾個(gè)定理：
我們來(lái)解釋一下（2）。 不等式左邊的分子部分是A^{-1}的絕對(duì)誤差，整體可以看成A^{-1}
相對(duì)誤差。 K(A)是矩陣A的條件數(shù)。從這個(gè)性質(zhì)我們可以看出，當(dāng)K(A)較大時(shí)，A^{-1}的值
相對(duì)誤差會(huì)比較大。 這就是為什么我們說(shuō)K(A)是靈敏度的度量。當(dāng)條件數(shù)很小時(shí)，矩陣求逆
誤差不會(huì)很大，但是當(dāng)條件數(shù)很大時(shí)，矩陣求逆的誤差就會(huì)很大。
矩陣擾動(dòng)
與定理2類(lèi)似，這里我們給出了線(xiàn)性方程組誤差的度量。 當(dāng)K(A)很大時(shí)，方程組的解x對(duì)誤差很敏感（因?yàn)閤=A^{-1}b，使用了矩陣的逆）。 接下來(lái)我們看一個(gè)具體的例子：
古人云，一失足成千里。 在實(shí)際應(yīng)用中，確實(shí)需要警告。
定理3是關(guān)于A準(zhǔn)確而b有誤差的情況。 那么當(dāng)b準(zhǔn)確而A有錯(cuò)誤時(shí)會(huì)發(fā)生什么？ 我們有以下定理：
實(shí)際工程中的真實(shí)情況是A有誤差，b也有誤差。 定理如下：
