一.RLC說明
RLC電路常見的有RLC串聯和RLC并聯電路，其原理是相通的，本次公式推論和電路說明以RLC串聯電路進行說明。
二.RLC公式推論
RLC電路當然就是一個二階電路，如右圖為一個串聯RLC電路：
其可用下列線性二階常微分等式描述：
RLC串聯電路的零輸入響應和零狀態響應都與微分多項式的系數即器件參數有關。
減振系數說明：
比如對于二階系統，其特點多項式標準方式為：
為減振系數，ωn為無減振振蕩頻度。
的大小反映了減振的大小。
>1為過減振，系統特點根為兩個負實根，不發生振蕩；
=1，為臨界減振；
減振系數：
諧振角頻度：
方程式可以寫為：
，
1）當
>1時，S1，S2均為不同的實根，u(t)響應是非振蕩性，稱為過減振響應。
2）當
=1?時，S1，S2為兩個相等的負實根，稱為臨界狀態。
3）當
三.零輸入狀態和零狀態響應
零輸入響應
零輸入響應的RLC電路如圖1所示，初始條件為電容電流UC等于U0，電感電壓I等于0，之后開關從左向右撥，依照電路參數的不同，零輸入響應有四種情況：
圖1零輸入響應RLC電路
（1）過減振，
>1，電路中的電壓在放電過程中永不改變方向，電容在全部時間內仍然在非振蕩放電，對應波形示意如圖2所示；
圖2過減振零輸入響應波形
（2）臨界減振，
=1，電容非振蕩放電，波形與過減振類似，如圖2所示；
（3）欠減振，
電容電流在零位附近做衰減振蕩放電，電壓也在零位附近做衰減振蕩，對應波形示意如圖3所示。
圖3欠減振零輸入響應波形
（4）無減振，R=0，電容電流按余弦規律做等幅振蕩，振蕩角頻度為
，對應波形示意如圖4所示，現實情況中減振R不可能為0，所以不存在此類現象。
圖4無減振零輸入響應波形
1.2零狀態響應
零狀態響應的RLC電路如圖5所示，初始條件為電容電流UC和電感電壓I均等于0，之后輸入激勵。與零輸入響應類似，零狀態響應也有四種情況：
圖5零狀態響應RLC電路
（1）過減振，
>1，電路中的電壓在充電過程中永不改變方向，電容在全部時間內仍然在非振蕩充電，對應波形示意如圖6所示；
圖6過減振零狀態響應波形
（2）臨界減振，
=1，電容非振蕩充電，波形與過減振類似如圖6所示；
（3）欠減振，
電容電流在電源電流值U0附近做衰減振蕩充電，并且不會超過電源電流的2倍，電壓在零位附近做衰減振蕩，對應波形如圖7所示。
圖7欠減振零狀態響應波形
（4）無減振，R=0，電容電流圍繞著電源電流值U0按余弦規律在0~2倍的電源電流大小之間做等幅振蕩，電壓圍繞零位附近做等幅的余弦振蕩，振蕩角頻度為
，對應波形示意如圖8所示，現實情況中減振不可能為0，不存在這些現象。
圖8無減振零狀態響應波形
三.RLC振蕩淺顯解釋
我們曉得電容電流是連續不能突變的，電容公式I=Cdu/dt，變換可得du=Idt/C，依照物理中的行列式知識可得，連續函數在極值點的行列式等于0，因而電容電流值最大時，即電流行列式du=0時，Idt/C=0，可得電容電壓I=0；同理，電感電壓是連續不能突變的串聯和并聯的電流電壓計算，電感公式U=Ldi/dt，電感電壓最大的時侯，電感電流UL=0。
2.1零輸入響應
從無減振零輸入響應的波形圖9開始剖析，初始條件電容電流為U0，電感電壓為0，因為內阻R=0，由圖1電路，依照基爾霍夫電流定理可知，無論何時，電感電流UL=電容電流UC。在0時刻，因為電容電流為U0，兩邊極板的電荷不平衡，極性為上正下負，所以電容開始放電，電路中的電壓開始降低，流向為順秒針方向，如圖10所示。直至t1時，電容放電完畢，電流UC=0，因而電感電流UL=0。按照上述電感特點，此時電路電壓I最大，電容兩邊極板電荷處于平衡狀態。t1時刻似乎電容處于電荷平衡狀態，并且因為電感電壓不能突變，不能頓時從最大值變為0，只能漸漸減少，這就造成電容的電荷平衡狀態被打破，電容重新被充電，極性與t0時刻相反，為上負下正，直到t2時電感電壓I=0，按照上述電容特點，此刻電容電流達到最大值。t2時刻似乎電感電壓I=0，并且此時電容兩邊極板的電荷又處于不平衡狀態了，電容又要開始放電，只是方向與0~t1時間段內相反，為逆秒針方向，后續剖析與前述思路相同，不再贅言，整個過程種電容電流和電壓相位剛好相差90°。
圖9無減振零輸入響應波形剖析
圖10零輸入響應電壓方向
當電路中的減振內阻R≠0時，波形如圖11所示，因為內阻R存在壓降UR，電感電流UL就不等于電容電流UC了，而是如下關系：UC=UL+UR。在0時刻，電容放電，電容電流UC增長，電壓I降低，內阻電流UR降低，直至t1時刻，電容電流UC和內阻電流UR相等，即UC=UR=IR時，此時電感電流UL就等于0，電壓I達到最大值，I=UC/R，其大于無減振狀態下的電壓最大值。t1時刻電容仍未放電完畢，因而在t1~t2時間段內，電容繼續放電直至t2時刻放電結束。而電感電壓在t1時刻達到最大值后開始回升，但電壓方向不變，到t2時，電容電流放電完畢，電感電壓開始給電容充電，電容極性變為上負下正串聯和并聯的電流電壓計算，直至t3時刻，電感電壓I=0，電容電流UC達到最大值。從剖析中可知，因為內阻R的存在，電感電壓在電容仍未放電完畢時就早已達到最大值，內阻R越大，電壓最大值I=Uc/R就越小，電壓達到最大值的時刻也越早，當
時，電壓與電容電流分別都在同一時刻達到0不再振蕩，產生非振蕩放電。
圖11欠減振零輸入響應波形剖析
2.2零狀態響應
零狀態響應同樣從無減振的波形圖12開始剖析，初始條件電容電流UC和電感電壓I均為0，激勵電流為U0，因為內阻R=0，由基爾霍夫電流定理得，無論何時，U0=UC+UL。在0時刻，電容開始充電，電容UC和電壓I開始降低，直至t1時刻，電容電流UC上升到U0，此時電感電流UL=0，電感電壓I達到最大值。t1時刻后，電壓I開始增長，但方向不變，電容繼續充電，直至t2時刻，電壓驟降到0，電容電流UC達到最大值2U0。t2時刻后，電容開始放電，電壓方向改變為相反方向，電壓開始反向減小，直至t3時刻，電容電流UC增長到U0，此時UL=0，電感電壓達到反向最大值。后續剖析類似，不再贅言。
圖12無減振零狀態響應波形剖析
當電路中的減振內阻R≠0時，因為內阻存在壓降，故U0=UR+UC+UL，波形如圖13所示。在0時刻，電容開始充電，電容電流UC和電壓I開始降低，直至t1時刻，U0=UR+UC，UL=0，電壓達到最大值I=（U0-UC）/R，大于無減振狀態下的電壓最大值，隨后電感電壓開始增長。此時UC因為電壓方向相反，此刻UR值為正數），電壓達到反方向最大值，此時UC>U0，電容電流還未回升到U0，t3-t4時刻，電壓從反向最大值逐步減少到0，t4時刻，電壓為0，電容電流達到最小值，此時UL=Ldi/dt>0,UR=0,U0=UL+UC,U0>UC，因為電感電壓不能突變開始對電容充電，并且因為每次充放電在內阻里面耗損了能量，所以電壓峰值越來越小，從剖析中可知，內阻R越大，按照減振系數公式
，減振會越大，而減振有使電路從振蕩回到穩定的狀態的作用，電壓最大值I=（U0-UC）/R就越小，電壓達到最大值的時刻也越早，電容電流所能達到的最大值也越小，當
時，電容電流在電壓為0時達到的最大值接近等于U0，因為電容電流和激勵源U0沒有壓差，難以再充放電，最終產生非振蕩充電。
圖13欠減振零狀態響應波形剖析
四.總結
前述剖析中可知，RLC電路才能振蕩的初始條件是電容或電感處于不穩定狀態，即電容有充電或則放電的條件，流過電感的電壓不為0，最終穩態必然是電容不具備充放電的條件，同時電感電壓為0。
五.拓展
減振和內阻的區別聯系
減振是一個極其龐雜的概念，并不局限于熱學。在知網百科搜索減振的定義可以查出一堆，盡管各定義不同，但簡而言之，減振反映了對震動的衰減作用。內阻是一個熱學概念，同樣也可以查出一堆定義，但簡而言之，內阻反映了對電壓的制約作用。
兩者概念不同，區別是顯而易見的。因為減振和震動系統有關，所以內阻和減振只有在可能發生振蕩的電路中就會有聯系，而這些聯系無非存在兩種情況：1、電阻越大，對振蕩的衰減作用越大，即內阻減小而減振減小；2、電阻越大，對振蕩的衰減作用越小，即內阻減小而減振降低。
千萬不要以為：因為內阻是消耗能量的，所以減小內阻就一定會降低減振。事實上，降低內阻對振蕩可能起到消弱作用，也可能有減緩作用，這和電路的具體拓撲有關。
比如，對于RLC串聯電路（如右圖），當R=0時，相當于純LC振蕩電路，它的零輸入響應（在初始狀態不為0的情況下）是無減振振蕩，振蕩不會衰減，減振為0；而當R為無窮大時，相當于斷路，振蕩根本不會發生，或則說振蕩在頓時衰減為0，減振無窮大。在這些情況下，R越大，減振越接近無窮大；R越小，減振越接近0。
而對RLC并聯電路（如右圖），情況剛好相反，當R為無窮大時，電路為純LC振蕩電路，減振為0；而R=0時，LC被漏電，電流被強制為0，不會發生振蕩，減振為無窮大。在這些情況下，R越大，減振越接近0;R越小，減振越接近無窮大。
2、從里面的反例可以看出，內阻大小和減振大小的關系必須結合具體的電路能夠確定，不能簡單用內阻大小表示電路的減振大小。
3、至于電路中減振的有無和內阻的有無之間的關系，要看你說的“電阻有無”具體是哪些概念了。假如你覺得不消耗電能的內阻（0或無窮大電阻）是無內阻，而只有電路中有消耗電能的內阻才算有內阻，而且電路中被漏電、斷路的大道都忽視掉后依然可以振蕩，這么可以說有阻值的振蕩電路是有減振的，無內阻的振蕩電路是無減振的。