從微積分的角度來(lái)看,功率是功對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),即 P=frac{dW}{dt}=frac{Fds}{dt}=Ffrac{ds}{dt}= Fv,其中v=frac{ds}{dt}是瞬時(shí)速度,所以計(jì)算的是瞬時(shí)功率。
然后對(duì)時(shí)間取導(dǎo)數(shù),frac{dP}{dt}=frac{Fdv}{dt}=Fa=ma^2,即功率對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)(可以理解為速率成功率的變化和功率變化的速度)等于質(zhì)量乘以瞬時(shí)加速度的平方,均為瞬時(shí)。
因?yàn)楹狭愣ǎ约铀俣群愣ǎ磎a^2是恒定值w有用功的計(jì)算公式w有用功的計(jì)算公式,則P=ma^2t。 然后將a=frac{v}{t}代入勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中,我們有P=mfrac{v^2}{t}。
正如v=frac{s}{t}只能用于勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(否則計(jì)算平均速度)一樣,P=frac{W}{t}也只能在功率不變的情況下使用(否則您要尋找的是平均功率)。 但是從P=ma^2t可以看出,功率隨時(shí)間變化,那么就不能用W=Pt求功,只能用積分,W=int dW=int Pdt。
將 P=ma^2t 代入積分表達(dá)式,得 W=int ma^2tdt=frac{1}{2}ma^2t^2=frac{1}{2}mv^2。
這有點(diǎn)類(lèi)似于運(yùn)動(dòng)學(xué)公式。 雖然我們有 s=vt, v=at,但是不會(huì)有 s=at^2 而是 frac{1}{2}at^2。 原因是公式s=vt只適用于勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。 如果有加速則無(wú)法使用。