在學校的數學課本中，朋友們早已初步學習了壓強原理，即浸入在液體中的物感受遭到垂直向下的壓強，其大小等于該物體排開的液體所遭到的重力。這個定律是法國學者阿基米德最先發覺的，因而俗稱其為阿基米德原理。
然而，在高中數學課本中，并沒有詳盡述說該原理的來龍去脈。實際上，阿基米德原理是上面在第32期“咖啡壺奧秘”中提及的小學課本中浮力基本概念的一個重要結論。基于靜止流體中浮力的基本公式，本文詳盡地給朋友們介紹一下阿基米德原理的推論過程及其相關的一些知識點。
關于阿基米德發覺壓強原理的過程，相關傳說有好多個版本，其中一個被廣泛留傳的版本是從公元4-5世紀的拉丁散文（注一）中述說的故事弘揚出來的。該散文述說了阿基米德當時應國王的約請檢測國王的王冠在制做過程中是否被參雜了其他的金屬。
在思索此問題的過程中，阿基米德冥思苦想也沒有找到合適的方式。有三天，阿基米德正在浴盆中泡澡，忽然有了靈感，提出了通過比較王冠和制做所需的等量黃金所排沸水的容積的方式檢測王冠是否被摻假。基于此，阿基米德提出了壓強原理及其估算公式，即我們課本中熟知的壓強估算公式。
圖一思索中的阿基米德該畫作由作家Fetti勾畫于1620年
圖二描述阿基米德在洗腳過程中發覺壓強原理的動漫
為了推論阿基米德原理并深入討論該議程，我們如今對一個完全溶入到水底的圓球（見圖三）進行受力剖析。外界的大氣壓我們用p0表示。圖中A和B點是圓球兩邊的兩個極點，其順著重力方向的垂線與容器內水的液面分別相交于C和D點。依據小學課本中的靜止液體浮力公式，在距離液面一定水深處的一點，圓球在點所遭到的壓力等于液體密度除以重力加速度再除以距離液面的高度再加上外界大氣壓。
圖三完全浸入在水底的小球示意圖
從壓力的性質可知，水底壓力的方向是垂直于物體表面且順著內法線方向的。為此球的上表面所遭到水的壓力是向上的，而下表面遭到水的壓力則是向下的。為此，我們將小球分成兩部份并分別進行受力剖析。
對于下表面，我們可以根據微積分的思想將其分成無數個小的微元，其遭到的壓力等于該微元處的流體浮力除以微元的截面積。由于A和B點在同一高度，壓力在水平方向上的份量會自行抵消，所以我們只須要考慮豎直方向上的力即可。將上述求得的力順著垂直方向進行分解并進行求和（即積分）便得到了下表面遭到的壓強，其方向是向下的。在分解的過程中，為了便捷起見，我們可以將微元截面向水平方向進行投影。
另外，根據上述的估算，我們發覺上述積分恰好等于由圖一中的藍色斜線所標記區域所具有的容積。
圖四小球下半部份所遭到的壓力剖析
我們如今用同樣的辦法對小球的上表面進行受力剖析，其數值大小等于圖一中的藍色斜線所標記區域的容積。
同時，注意到流體對小球上表面形成的壓力方向是向上的，我們在其后面降低一個減號。我們將上、下表面所遭到的垂直方向上的力進行相減便得到了小球所遭到的壓強的大小。在上述運算過程中，在上下表面受力剖析過程中得到的兩個體積相乘則剛好等于小球本身的容積。另外，大氣壓強在估算過程中相互抵消對壓強并沒有影響。由于上述兩個體積相乘總是為正值，所以小球遭到的壓強是豎直向下的。
這個時侯，我們便通過運用學校課本中的浮力公式和微積分證明了阿基米德壓強原理。在上述推論過程中，我們基本上只使用了一些基本的微積分思想以及流體浮力的若干特點。但通過這個推論過程，我們對學校數學里的壓強原理更進一步地加深了認識。
圖五小球上半部份所遭到的壓力剖析
如今，我們圍繞壓強做一點拓展思索。按照壓強原理，物體所遭到的壓強只與其排開液體的容積有關。因而，潛水器無論是處于10米深還是1000米深的水底，其所遭到的壓強都是一樣的。不同的是，潛水器的內部和外部間的壓差在不同的水深時會有極大的不同。
在游泳池中，假如我們不運動的話，身體便會下沉，這主要是由于所遭到的水的壓強較小，難以抵消重力。人體的平均密度大約為1.026g/cm3，比水的密度1.000g/cm3略大，因而人在游泳池中不動的話會沉底。
通常海水的密度1.030g/cm3，跟人體的大致相當，海水中游泳時也是會下沉。可以想像一下，只要往水底加入足夠的鹽，水的密度便會明顯提高，因而人便可以在其中浮上去了。諸如，死海中的酸度很大，其密度為1.100g/cm3，為啥人在其中可以毫不費勁地浮上去。
另外，還可以從能量守恒的角度思索流體靜壓強的基本公式。在流體中，機械能主要包括重力勢能、壓強勢能、動能三種。
當流體靜止時，其動能為零。當流體從較高的位置變化到較低的位置時，流體的重力勢能減少了，并全部被轉化為了浮力勢能。為此，流體中的浮力便會下降，其具體的下降數值用小學課本中的浮力公式估算即可。為此，小學課本中的流體靜壓強估算公式也可以看作是能量守恒在靜止流體中的表現方式。
從小學課本的壓強原理到本文的推論，大專生在下降知識見識的過程中可以感受以下幾點。
知識升華
從小學課本中對壓強原理的簡單介紹到學院教育中從流體熱學角度對壓強原理的詳盡推論，實際上是對知識不斷地加深理解、認識和思索的過程。正如本文所展示的，同一個知識點從不同的維度去進行理解是一種挺好的個人思維訓練方式和手段。
注重基礎
在本文的推論過程中，朋友們須要用到若干微積分的思想和方法。實際上，好多學院課程的學習都須要前期把握必要的基礎知識。
比如，公共基礎課微積分是學好流體熱學等專業核心課程的前提，而流體熱學知識又是深入理解專業主干和必修課程的必要儲備。因為上述課程間存在著較強的耦合，大專生在學習過程中應尤其注意，打好基礎為要。
適用范圍
高中課本以及本文的述說過程中舉的反例通常都是浸入在液體中物體的壓強。這么，壓強公式是否適用于二氧化碳中的情形呢？實際上，假如二氧化碳的密度變化很小甚至可以忽視時，可借助壓強公式對該情形進行簡單的計算。
比如，例如，景區中常見的氫氣球便是借助壓強原理在空氣中實現浮升的。氫氣的密度0.1786kg/m3，遠高于空氣的密度1.2900kg/m3。據悉，中國科大學正在進行的科學考察用的浮空艇的內部也是充的氫氣（見圖六）。
值得注意的是，與水不同的是測定大氣壓強的實驗，空氣的密度遭到諸多誘因的影響測定大氣壓強的實驗，包括海拔、氣候等等，造成壓強和浮力的估算更為復雜。
圖六中科院青藏高原科學考察使用的浮空艇
注釋部份
注一： 該拉丁詩歌的名字是Carmen de ponderibus et mensuris。