麥克斯韋方程組本質(zhì)上是四個(gè)簡(jiǎn)潔的微分方程，它們共同高度概括了經(jīng)典電磁學(xué)（靜電學(xué)、靜磁學(xué)和電動(dòng)力學(xué)）。 它們也是愛因斯坦創(chuàng)立狹義相對(duì)論（1905年）的理論基礎(chǔ)和靈感源泉。 靜電學(xué)和靜磁學(xué)在麥克斯韋之前就已得到發(fā)展和完善。 法拉第出現(xiàn)后，人們對(duì)磁和發(fā)電有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。 然而，所有這些電磁理論直到直到現(xiàn)在才以微分方程的形式表達(dá)。 后來在用數(shù)學(xué)總結(jié)的過程中，發(fā)現(xiàn)靜磁學(xué)中的安培定律并不適用于交變電場(chǎng)（比如電容器的充放電過程），于是聰明的麥老擅自在安培定律中加了一項(xiàng)（歷史學(xué)家（稱為位移電流），不僅滿足了數(shù)學(xué)要求，還解釋了電磁的產(chǎn)生。如果想完全理解方程，必須從靜電學(xué)、磁學(xué)開始，對(duì)矢量微積分有很好的掌握和充分理解( )。
靜電學(xué)的基本目的是了解靜電荷之間的相互作用，這基本上涉及兩個(gè)定律，即庫侖定律（'s Law）和電場(chǎng)疊加原理（ ）。 庫侖定律指出，兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的相互作用與平方成反比。 它是通過反復(fù)實(shí)驗(yàn)得出的經(jīng)驗(yàn)法則。
tilde{F}=kfrac{Qq}{tilde{r}^2}tilde{r_0}, k=frac{1}{4pi} 。
其中，Q為測(cè)試電荷，q為源電荷，r為Q與q之間的距離（坐標(biāo)系原點(diǎn)為q），tilde{r_0}為方向單位向量物理學(xué)家畢奧，為電介質(zhì)真空中常數(shù)。電場(chǎng)疊加原理指出，多個(gè)源電荷對(duì)測(cè)試電荷的作用是矢量之和，兩個(gè)電荷之間的相互作用不會(huì)受到其他電荷存在的影響，即
tilde{F}=sum_{N}^{}{tilde{F_n}}=Qsum_{N}^{}{frac{kq_n}{tilde{r}^2}}tilde{ r_0}（點(diǎn)電荷），
等式與除Q得到電場(chǎng)強(qiáng)度E相同。如果電荷是連續(xù)分布的（比如不規(guī)則的帶電塊），那么連續(xù)的電荷分布就被切割成無數(shù)個(gè)小源“點(diǎn)電荷”Delta q，然后利用電場(chǎng)疊加原理求出總相互作用（做積分）。
電通量（Flux）定義為電場(chǎng)強(qiáng)度（Field）與垂直于它的平面面積的乘積，它代表穿過該平面（偉大的發(fā)明?。┑碾妶?chǎng)線的數(shù)量（因?yàn)殡妶?chǎng)強(qiáng)度）。 大小由電場(chǎng)線的密度決定）。電通量可以用數(shù)學(xué)上的矢量點(diǎn)乘（選擇垂直分量）來精確表示，即
Phi=lim_{N infty}{}sum_{N}^{}{}tilde{E}cdotDelta tilde{a_n}=int_{S}^{}tilde{E }cdot d tilde{a_n} 。
（可以用類似的極限來理解以下積分。）現(xiàn)在想象一個(gè)被球面包圍的點(diǎn)電荷 q。 通過球面的電通量為： Phi=frac{1}{4pi}frac{ q}{r^2}cdot4pi r^2=frac{q}{} ，這意味著通過球面的電通量與球面半徑無關(guān)，而只與球面包圍的電荷量有關(guān)。 這意味著包含 Phi 可以表示球體中的電荷量，這是庫侖平方反比定律的直接結(jié)果，否則 Phi 將與半徑相關(guān)。然后在上面的球面周圍包裹一個(gè)任意形狀的閉合曲面。 容易知道，穿過球面的電場(chǎng)線數(shù)量必定經(jīng)過任意曲面，即球面與任意曲面的電通量相等。 因此，上述結(jié)論適用于任何閉合曲面（也可以定量證明）。 再次利用電場(chǎng)疊加原理，有
Phi=oint_{S}^{}tilde{E}cdot dtilde{a}=frac{sum_{}^{}{q}}{}=frac{Q}{ }
其中 S 是任意閉合表面，Q 是閉合表面中的總電荷。 這就是高斯定律的積分形式，麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程。然后利用高斯定理，也叫散度定理（Gauss'，詳細(xì)介紹請(qǐng)參考費(fèi)曼第二卷），將面積積分轉(zhuǎn)換為將方程左側(cè)轉(zhuǎn)化為體積積分， oint_{S}^{}tilde{E} cdot d tilde{a}=int_{V}^{}div tilde{E}cdot d {tau} 和 Q=int_{V}^{}rho dtau ，代入原方程得
divtilde{E}=frac{rho}{} ,
其中rho是電荷密度，dtau是體積元，是高斯定律的微分形式。 如果體積V減小到足夠小的尺寸，我們就得到divtilde{E}的物理意義，divtilde{E}=lim_{V 0}{}frac{1}{V} oint_{S} ^{}tilde{E}cdot dtilde{a} ，是點(diǎn)電荷附近單位體積的電通量。 高斯定律則表明電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，而電荷就是電場(chǎng)的來源。
與靜電學(xué)類似，靜磁學(xué)主要研究電流之間的相互作用，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)恒定的電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)并對(duì)移動(dòng)的電荷施加力，這種力用高中時(shí)學(xué)到的洛倫茲力來表示。 在進(jìn)一步理論推導(dǎo)之前，必須明確所有靜磁學(xué)都是關(guān)于恒定電流（ ）。 所謂恒定，是指電流中的電荷不會(huì)造成電荷積累。 例如，在三維電流中，取一個(gè)足夠小的圓柱面，其橫截面垂直于電流方向，進(jìn)去的電荷與出來的量相等。 首先定義三個(gè)維度的電流tilde{J}=frac{dtilde{I}}{da_bot}，其中a_bot是垂直于電流的橫截面。 注意，此時(shí)電流是一個(gè)矢量。 根據(jù)局域電荷守恒與發(fā)散定理，I=oint_{S}^{}tilde{J}cdot dtilde{a}=int_{V}^{}div tilde{J}d tau =-int_{V}^{}frac{d(rho dtau)}{dt} ，則得到局域電荷守恒公式 ( )，divtilde{J}=-frac{ rho}{t}。 在靜磁（恒流）情況下，等式右邊為0（體積V中的電荷總量保持不變），即電流散度為0（divtilde{J}=0）。 下面介紹一下Biot-Sager定律，該定律與靜磁學(xué)中的庫侖定律類似。 它定量地給出了恒定線性電流（直線）周圍磁場(chǎng)的大小和方向，也是通過重復(fù)實(shí)驗(yàn)得出的。 的，
tilde{B}(tilde{r})=frac{mu_0}{4pi}int_{}^{}frac{tilde{I}timestilde{r_0}}{r^ 2}dl=frac{mu_0}{4pi}Iint_{}^{}frac{dtilde{l}timestilde{r_0}}{r^2}
第二項(xiàng)到第三項(xiàng)是因?yàn)?dtilde{l} （單位長(zhǎng)度向量）和 tilde{I} 方向相同。 磁場(chǎng)的方向由矢量差乘以右手定則給出，tilde{r_0}是方向單位。 向量，注意這個(gè)定律也服從平方反比關(guān)系。同時(shí)取方程兩邊的散度()，然后用級(jí)數(shù)得到
div波浪號(hào){B}=0
這是系統(tǒng)的第二個(gè)方程，它表明不存在像正負(fù)電荷這樣的磁單極子（ ）。然后在原方程兩邊取旋度（Curl）可得
旋度tilde{B}=mu_0tilde{J}(tilde{r}) ,
這就是所謂的安培定律，該定律指出電流會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。 現(xiàn)在取方程兩端的面積積分，并利用斯托克斯定理 (' ) 將面積積分轉(zhuǎn)換為線積分：int_{S}^{}curltilde{B}cdot da=oint_{ C} ^{}tilde{B}cdot dtilde{l}=mu_0oint_{S}^{}tilde{J}da=mu_0I ，其中 C 是曲面 S 的邊界，I 是閉合曲線 C 包含總電流。 第二項(xiàng)和第四項(xiàng)一起是安培定律的積分形式，它可以讓我們輕松計(jì)算對(duì)稱物體的磁場(chǎng)，而無需繁瑣的畢奧定律。 現(xiàn)在讓曲面S收縮得足夠多，就可以得到curltilde{B}的物理意義，即curltilde{B}=lim_{S 0}{frac{1}{S}oint_ {C }^{}tilde{B}cdot dtilde{l}} 是電流附近磁場(chǎng)閉合曲線的線積分。
在閉合電路中，有兩種力驅(qū)動(dòng)電流，電源中攜帶電荷 f_s 的力（單位電荷施加的力）和電場(chǎng)力 E（單位電荷）在電線中。 現(xiàn)在我們將電動(dòng)勢(shì)(力)定義為閉合電路周圍電路中單位電荷所施加的合力的路徑積分，=oint_{}^{}(tilde{f_s}+tilde{ E})cdot d tilde{l}=oint_{}^{}tilde{f_s}cdot dtilde{l} ，注意反轉(zhuǎn)的 tilde{E} 的路線分?jǐn)?shù)為 0 (field)假設(shè) tilde{E} 是由靜電荷產(chǎn)生的，這也是平方反比關(guān)系的直接結(jié)果。 當(dāng)時(shí)做了三個(gè)實(shí)驗(yàn)：磁場(chǎng)線切割磁場(chǎng)、磁場(chǎng)移動(dòng)而導(dǎo)線不移動(dòng)但磁場(chǎng)強(qiáng)度不變、磁場(chǎng)線不移動(dòng)但磁場(chǎng)強(qiáng)度改變，以及在這兩種情況下都獲得了感應(yīng)電流。 第一個(gè)實(shí)驗(yàn)利用電動(dòng)勢(shì)的定義，用洛倫茲力代替冪力，很容易得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（注意tilde{B}永遠(yuǎn)不會(huì)起作用）； 第二個(gè)實(shí)驗(yàn)和第一個(gè)實(shí)驗(yàn)一樣，只是交換了參考系，但是可以。他不這么認(rèn)為（速度為0的時(shí)候，導(dǎo)線中的充電速度怎么會(huì)受到洛倫茲力的影響??？??？） ，他認(rèn)為這是一個(gè)巧合。 這個(gè)問題基本上開啟了狹義相對(duì)論（事實(shí)上，參考系交換后，電場(chǎng)力在驅(qū)動(dòng)電荷。電場(chǎng)和磁場(chǎng)只是在不同參考系中對(duì)電荷的作用是一樣的?。?； 第三個(gè)實(shí)驗(yàn)讓他有了一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)——改變磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)（電荷不再是電場(chǎng)的唯一來源?。?。 第三種情況，單位電荷所受的力僅來自于感應(yīng)電場(chǎng)，即=oint_{}^{}tilde{f}cdot dtilde{l}=oint_{}^{ }tilde{E }cdot dtilde{l}。 然后用磁通量的變化來表示磁場(chǎng)的變化，即=-frac{dPhi_B}{dt}。 結(jié)合前面的公式，磁通量的定義為 oint_{}^{}tilde{E}cdot dtilde{l}=-frac{dPhi_B}{dt}=-int_{} ^{}frac{ tilde{B}}{ t}cdot dtilde{a} ，然后用 ' 將左項(xiàng)轉(zhuǎn)換為右項(xiàng)對(duì)應(yīng)的面積積分，得到，
旋度tilde{E}=-frac{ tilde{B}}{ t} ,
這是方程的第三部分，以他的名字命名為法拉第定律，該定律指出變化的磁場(chǎng)也可以產(chǎn)生電場(chǎng)。
現(xiàn)在回到之前提到的安培定律的微分形式，取方程兩邊的散度（div）。 數(shù)學(xué)立即要求等式左邊為0（curl必須為0），等式右邊是電流。 恒流下發(fā)散度為0（之前已經(jīng)給出證明），但交流電下發(fā)散度不是0。 例如，將電容器連接到交流電壓，并且在兩個(gè)極板之間建立閉合圓形曲線C。 高斯定律指出，由于C所含的電流I為0，所以其周圍沒有磁場(chǎng)，但實(shí)驗(yàn)表明電容器周圍有磁場(chǎng)！ 安培定律不適用于非恒定電流，但這是預(yù)期的，因?yàn)榘才喽稍醋赃m用于恒定電流的畢奧定律。 直到，他改變了前面提到的局部電流守恒公式，divtilde{J}=-frac{ rho}{ t}=-frac{ }{ t}( \tilde{E}) =-div(\frac{ tilde{E}}{ t}) ，如果安培定律右邊減去這一項(xiàng)，不就使得散度一直為0了嗎？ 于是等式的第四部分就出來了。 。 。現(xiàn)在
旋度tilde{B}=mu_0tilde{J}+mu_0\frac{ tilde{E}}{ t} ,
這樣，即使上述電容器中間的tilde{J}為0物理學(xué)家畢奧，也存在由變化的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁場(chǎng)。 該定律指出，變化的電場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)。
4 個(gè)方程組在一起就是，上帝說：
divtilde{E}=frac{rho}{}
div波浪線{B}=0
旋度tilde{E}=-frac{ tilde{B}}{ t}
旋度tilde{B}=mu_0tilde{J}+mu_0\frac{ tilde{E}}{ t}