6/1905年——奇跡的一年
日本知名化學學家彭羅斯說：
在20世紀，我們非常辛運地目睹了我們世界的數學圖象的兩次重大革命。第一次革命推翻了我們的空間和時間觀，把二者結合為我們現今稱之為時空的東西，人們發覺這些時空以一種微妙的形式彎曲著，進而導致人們早就熟悉的、無處不在而又神秘的引力現象。第二次革命完全改變了我們理解物質和幅射本性的方法，給了我們一種實在的圖象，其中粒子的行為像是波，而波的行為像是粒子，我們一般的數學學描述顯得具有本質上的不確定性，而一個物體可以同時在幾個地方呈現其自身。我們用“相對論”一詞概括第一次革命，而用“量子論”概括第二次革命。二者如今都已通過觀測得到確認，其達到的精確度在科學史上乃是空前的。
……特別令人驚奇的是一位化學學家——阿爾伯特·愛因斯坦——對自然界有這么非凡的洞察力，以至于在1905年這一年中就為20世紀的這兩次革命奠定了基礎。
日本知名化學學家邁克爾遜正在做實驗
19世紀末，精典數學學獲得了全面的發展，產生了以精典熱學、電磁場理論和精典統計熱學為三大支柱的理論體系。這一理論體系，可以說早已達到了相當完整、系統和成熟的地步，因此有一種豁達主義的情緒覺得，數學學早已充分把握了理解整個自然界的原理和方式，相當多的化學學家深信，早已發覺的數學定理適宜于任何情況，永遠不會被改變；隨后的工作，無非是把兩個方面的理論結合上去：一個是以不能分割的原子的概念為基礎的物質熱學理論，另一個是以飽含連續彈性介質為基礎的以太理論。這一步工作一旦完成——他們也堅信不疑它必定迅速完成，數學學科將無事可干，剩下的工作只需將數學常數的檢測值精確到小數點前面幾位。
正當一部份人沉迷于豁達主義氛圍中時，數學學的發展卻與這些過于豁達的心愿正好相反。在19世紀末到20世紀初三段不太長的時間里，因為一系列實驗中的新發覺，一場激烈的科學革命迅速爆發，并以極快的速率滲透到化學學各類最基本的思想和原理之中。
1881年是非常重要的一年。這年8月，日本《科學刊物》發表了年青的日本化學學家邁克爾遜的文章。文章中邁克爾遜宣稱，他首次用實驗否認：“以太靜止的假定被證明不正確，這個假定肯定是錯誤的?！?span style="display:none">Ue5物理好資源網(原物理ok網)
日本知名化學學家開爾文爵士
接著，1895年日本法蘭克福學院院長倫琴發覺X射線，1896年日本數學學家貝克勒爾發覺放射性，1897年德國卡文迪許實驗室處長湯姆遜發覺電子……這一系列發覺，嚴重地沖擊著精典化學學傳統的數學思想。數學學面臨嚴重的危機，連素以保守見稱的意大利科學界元老開爾文，也不得不于1900年4月27日在澳洲皇家學會的講演中承認：“動力學理論……的優美性和明確性被兩朵‘烏云’遮蔽得黯然失色了?！?span style="display:none">Ue5物理好資源網(原物理ok網)
第一朵“烏云”涉及的是熱學、電磁理論中最基本的數學思想問題，第二朵“烏云”涉及的則是二氧化碳分子運動理論。我們先來瞧瞧第一朵“烏云”是哪些。
當時，幾乎所有數學學家都相信，因為麥克斯韋理論的輝煌成功，傳播電磁波的載體以太，就代表了“絕對空間”。既然代表了絕對空間，其實就可以通過“精密的”實驗測出以太相對于月球的“絕對運動”。許多化學學家都投入這個實驗中，然而，直至1887年，邁克爾遜莫雷實驗再度否定了以太有相對于月球的“絕對運動”以后，化學學家才大夢初醒，認識到了問題的嚴重性。洛倫茲疑慮重重地說：“我如今不曉得如何能夠甩掉這個矛盾，……我們其實根本就不會有一個合適的理論了?！彼踔翍阎鴥e幸的心理問道：“在邁克爾遜先生的實驗中，是不是都會有一些迄今仍被看漏的地方？”
第二朵“烏云”涉及的是精典數學學另一個支柱：熱力學和分子運動論。這方面的情形太復雜，這里就不多涉及了。
1905年，兩朵“烏云”開始消退，這與愛因斯坦在這年發表的4篇論文有很大的關系。正如德布羅意所說：“他的（在1905年的4篇）論文可以被稱作光彩奪目的湖人，它們在黑暗的夜空忽然畫出一道道短促的但又非常強烈的光輝，照亮著寬廣的未知領域?！?span style="display:none">Ue5物理好資源網(原物理ok網)
下邊我們只述說愛因斯坦在1905年發表的2篇論文。
（1）6月的論文：狹義相對論
1922年1月，愛因斯坦在臺灣京都發表過一次演說，題目是“我是怎樣創造相對論理論的”。在此次演說中，愛因斯坦追憶了1905年他的思想變化的根本緣由。在1905年曾經很長的一段時間里，他仍然思索著一個很困難的問題：他相信麥克斯韋的多項式是正確的，它告訴我們光速是不變的；并且，光速不變性與精典熱學的速率相乘規則又直接發生沖突。
舉一個反例：在速率為v的列車上，發射一束光物理學家 憑著發現x射線，在列車上的觀察者看來，光速為c；但在地面上的觀察者看來，假如c與v的方向一致，則光速應當是c＋v,倘若c與v的方向相反，這么光速為c－v。其實，利使勁學中速率合成法則可知：對不同的參照系，光速不會是一個常數。要解決這一矛盾,確非易事。愛因斯坦自己也承認：“為什么這兩個概念互相矛盾呢？我曉得，這個困局的確不容易解決。我花了將近一年時間徒勞地企圖……解決這個問題。”為什么會發生沖突呢？他“毫無結果地思索了幾乎一年時間”，他發覺這個問題“是一個根本就不容易解決的困局”。但后來總算奇跡般地解決了，愛因斯坦在講演中這樣說道：
沒想到在赫爾辛基的一個同事幫了我的忙。有三天，天氣真是好極了，我去拜訪他，我和他開始了談話。“最近有一個很困難的問題，我沒法解釋。明天我來，就是想就這個問題與你論爭一番。”我和他討論了很久，忽然，我曉得問題的根源了。第二天，我又去找他，還沒有祝福他我就連忙地對他說：“謝謝你，困難的問題早已完全解決了?！蔽医鉀Q的正是時間這個概念。時間這個概念原本是不能給一個絕對的定義的，并且時間和訊號速率之間有著不可分割的關系。有了這個新的概念，上面所說的困難就全部迎刃而解。五個禮拜過后，狹義相對論就完成了。
我們曉得，由麥克斯韋等式組可以推出，在真空中電磁波傳播的速率是c，它是恒定的?；瘜W學家其實會進一步追問：這個恒定的速率是相對于哪一個參照系而言呢？麥克斯韋意識到這個問題的嚴重性，他沒有明晰作出回答。但從他把以太看成是電磁波的載體，電磁現象是以太的運動的表現看來，麥克斯韋是把以太作為測出光速c的參照系的。后來，以洛倫茲為首的一些化學學家們則明晰承認：麥克斯韋等式組僅僅對絕對靜止以太參照系能夠創立，對其他參照系麥克斯韋等式組都不創立。這樣，牛頓熱學中少不了的絕對空間在電磁理論中找到了“合法”的地位。
但愛因斯坦覺得絕對靜止的以太是一個錯誤的概念，它破壞了數學學中的對稱性和統一性。由于，假如有了絕對靜止的以太，這么人們或許就可以借助電磁現象來判定慣性系的絕對運動狀態。這樣，在牛頓熱學中作為基礎的相對性原理，在麥克斯韋電磁理論中就不再有效。
伽利略的勻速行駛的“薩爾維阿蒂大船”上，所有的熱學實驗，都沒有變化
在牛頓熱學中有一個知名的原理叫“伽利略相對性原理”，這個原理告訴我們，按照在慣性系中發生的任何一種現象都難以判定慣性系本身的絕對運動狀態。比如，當你搭乘一艘大客輪時，假若你在甲板里，不能看見船外岸上的東西，且船在勻速前進（化學學稱為“慣性系”），這么你無論做哪些熱學實驗，都沒有辦法曉得自己是否在運動。你向熱射手里倒沸水，與在家里倒沸水時一樣，沒有任何不同。伽利略用他的勻速行駛的“薩爾維阿蒂大船”來說明這一點：
把你和一些同學關在一條大船船艙下的主艙里，讓大家帶著幾只蒼蠅、蝴蝶和其他小蟲子，艙內放一只大水碗，其中有幾條魚。之后，掛上一個射手，讓水一滴一滴地滴到下邊的一個寬口罐里。船停著不動時，你小心觀察：蟲子都以等速向艙內各方向飛行，魚向各個方向隨意游動，水嘀嘀進下邊的罐中，你把任何東西扔給你的同事時，只要距離相等，向這一方向毋須比向另一方向用更多的力。你兩腳起跳，無論向那個方向，跳過的距離都相等。在你仔細地觀察這種事情過后，再使船以任何速率前進，只要運動是勻速，也不忽左忽右地擺動，你將發覺，所有上述現象絲毫沒有變化，你也難以從其中任何一個現象來確定，船是在運動還是停著不動。雖然船運動得相當快，在跳躍時，你將和先前一樣，在船底板上跳過相同的距離，你跳向船尾花的時間也不會比跳向船尾花得多——雖然你跳向船頭時，你腳下的船底板奔向你跳的相反方向聯通。不論你把哪些東西扔給你的同伴時，不論他是在船尾還是在船頭，只要你跟他的距離不變，你也并不須要用更多的力。水滴將像以前一樣，滴進下邊的罐子，一滴也不會滴向船頭。其實水滴在空中時，船已行駛了一會兒。魚在水底游向水碗前部所用的力并不比游向水碗后部更大，它們一樣慵懶地游向置于水碗邊沿任何地方的食餌。最后，蝴蝶和蒼蠅繼續隨意地四處飛行，它們絕不會向船頭集中，它們也并不由于可能長時間逗留在空中，脫離了船的運動，就為趕登船的運動而略帶累的樣子。
薩爾維阿蒂大船表明了一條極為重要的真理：從船中發生的任何一種現象，你沒法判定船到底是在運動還是在停著不動。現今稱這個論斷為“伽利略相對性原理”。這也就是說，在一個慣性系中能看見的任何現象，在另一個慣性系中必將也能沒有任何差異地看見。所有慣性系都是平權的、等價的，不存在一個優越的、絕對的慣性系，以它作為標準來判定其他慣性系的運動。這一原理的構建，是數學思想史上一個重要的突破。
但這個在熱學中普遍組建的原理，在麥克斯韋的電磁場理論里不再有效了，由于化學學家們普遍同意，存在著一種“絕對靜止的以太”，麥克斯韋等式組得到的光速c正是以這些以太作為絕對參照系的；這也就是說，人們可以用“以太”作為絕對參照系，來判別其他慣性系的運動。
在邁克爾遜莫雷實驗曾經，幾乎沒有人認真考慮過這些極不和諧的現象。愛因斯坦經過深入考慮過后，認識到只有把相對性原理提升到“主導原則”上來考慮，能夠解決上面提及過的種種不對稱性問題。愛因斯坦強調：“諸這么類的事例，造成了一種猜測：絕對靜止的概念，除了在熱學中，但是在電動熱學中也不符合現象的特點，……我們要把這個猜測（它的內容之后就被稱為‘相對性原理’）提高為公設。”
他還強調，相對性原理是“對自然規律的一條限制性原理”。
擴充相對性原理的適用范圍，是20世紀數學學發展歷程中一條極重要的指導思想，受惠的不僅僅是相對論，量子熱學的發展同樣也深受這一重要思想的指引。
相對性原理從熱學領域擴大到電磁學領域之后，絕對靜止的以太自然就被否定了。人們又一次從自己制造的一種絕對概念的禁錮中解放下來。但上面提及的嚴重的困難——光速對所有慣性參照系都不變，與熱學中的速率合成法則相矛盾，一直沒有解決。
在“徒勞”地思索這個矛盾一年以后，愛因斯坦總算感悟：問題出在一個最不容易被人懷疑的基本思想觀念，即“同時性”的問題上。精典熱學中的速率合成法則是以“同時性的絕對性”為基礎的，即在所有不同的參照系中，同時性是絕對的。愛因斯坦說：“時間這個概念不能被絕對定義，時間與訊號速率之間有不可分的聯系。使用新概念，我第一次完遍地解決了整個問題?！彼€強調：“只要時間的絕對性或同時性的絕對性這條公理不知不覺地留在潛意識里，這么任何想要令人滿意地解釋這個悖論的嘗試，都是注定要失敗的。”
因為肯定了同時性在不同慣性參照系里是相對的，愛因斯坦才得以拋棄精典熱學的速率合成法則，把光速不變作為一條基本原理，與相對性原理一起，將之作為新力學的理論基礎。倘若從精典化學學思想來看，這兩條原理是難以相容的，但事實上它們在本質上是相容的。
有了這兩條基本原理，愛因斯坦便輕而易舉地得到不同慣性系時空的變換關系，以及由此而引出的一些運動學和動力學上的種種效應。狹義相對論就這樣誕生了。
狹義相對論引出的數學學新思想有以下幾個方面。
每位學院生都曉得，狹義相對論最初讓人們倍感最奇妙的沖擊是，在飛行的飛船中，時間會變慢和米尺會減短。這里我們不得不寫出幾個物理公式。先講時間變慢（即將的術語為“時間膨脹”）的公式。
在列車中某一點有一個風波，比如一位乘客的點火機從被打著到火熄滅，車內的人檢測這一風波開始（打大火）于t1′，結束（火熄滅）于t2′，因而在列車中這一風波經歷的時間t′=t2′-t1′。在站臺上的一個人檢測這同一風波（乘客打著點火機到火熄滅），其開始時間為t1，結束于t2，則經歷的時間t=t2-t1。在精典數學學中，t′=t，即所有參照系中風波經歷的時間都絕對相等。并且，在狹義相對論中，t′≠t，兩者關系由下邊的公式確定：
式中c為真空中的光速，即3×108米/秒，v為列車的速率。由于c小于v，v2/c2小于零，因而t′＜t，也就是說，對同一風波，列車上的人經歷的時間t′比站臺上的人所經歷的時間t要短一些，也就是說，列車上的鐘比站臺上的鐘慢了。
上述變慢公式已被不少實驗證明。1941年日本康奈爾學院的化學學家羅西和霍爾測出，高速運動的π粒子的壽命會降低，其緣由就在于，在高速運動時，π粒子的時間變慢了。1966年及1971年，在法國日內瓦的意大利粒子加速器實驗室的實驗中，將π粒子加速到0997c，結果π粒子的壽命降低了12倍，與上述時間變慢公式完全相符。1976年，維索特和萊文把原子時鐘裝在湖人上，湖人射向太空之后返回，結果也證明了上述公式。
不過，當v很小時（即vc），v2/c2→0，所以t′→t。即在日常生活中，與c相比較v很小，相對論的時鐘變慢效應很小，t′與t的差距小到可以忽視不計。
不僅時間變慢以外，還有空間的改變，即在運動方向上厚度會減短。仍然以列車為例，列車在x軸上運動，在列車上的觀察者檢測一根米尺在x軸上的厚度l′=x2′-x1′；在站臺上的人檢測同一根米尺，其厚度則為：l=x2-x1。按照相對論的物理公式推測：
當列車以速率v運動時，c小于v，v2/c2也小于零，因此l′
湯普金斯先生發覺開車的人無法置信地縮扁了?。ㄕ再つ颉段锢硎澜缙嬗鲇洝罚?span style="display:none">Ue5物理好資源網(原物理ok網)
有關時空的觀念的變化，還遠不止這種，但這里不是講相對論的地方，因而只稍微提到那么多。有興趣的讀者假如想深入了解其中奧秘，可以找合適的書看，這類書多得很。
相對論除了造成了時空觀的巨大變遷，但是還使一些傳統的數學思想有了重大突破性進展。首先，相對論動力學闡明了物質和運動的內在聯系，強調在高速運動中物體的質量顯著與運動速率有關，即：
式中m0是物體相對于觀察者靜止時的質量，稱之為“靜質量”；m是物體相對于觀察者以速度v運動時所測得的質量，稱之為“觀測質量”或“相對論性質量”。這個公式說明，質量在牛頓熱學中其實是一個常數，但在相對論熱學中卻并非一個常數，而是一個取決于速率的量！這的確頗令人疑惑不解：一個運動的物體在運動時肯定不會降低“有形的”可稱量物質，假若質量果真降低了，則質量就不可能是“物質量的量度”了。這樣，質量守恒定理豈不再也不嚴格創立了嗎？這個問題下邊將會涉及。
其次，相對論熱學可推出一個知名的公式：
E＝mc2
它說明，一個物體只要它的能量降低，其質量亦將成比列地降低。
在精典熱學中物理學家 憑著發現x射線，質量和能量之間是互相獨立的、沒有關系的，但在相對論熱學里，能量和質量只不過是物體熱學性質的兩個不同方面而已。為此，在相對論里，質量這一概念的外延就被大大地擴充了。愛因斯坦強調：“于是我們被引到了這樣一個愈發普遍的推論上來——物體的質量是它所含能量的量度?！?span style="display:none">Ue5物理好資源網(原物理ok網)
這樣一來，原先在精典熱學中彼此獨立的質量守恒和能量守恒定理結合上去了，成了統一的“質能守恒定理”，它充分反映了物質和運動的統一性。
（2）3月的論文：“最具革命性的”光量子假說
造成20世紀數學學革命的重大問題之一是宋體幅射問題。
在這場革命中，邁出第一步的是年過四十的普朗克。普朗克開始研究熱幅射是在1896年。
在做了堅苦的研究以后，1900年10月24日，普朗克在美國數學學會上宣布了自己大膽的假定：光在吸收和發射幅射時，能量不按精典數學學規定的那樣必須是連續地吸收和發射，而是按不連續的、以一個最小能量單元整數倍地、一大包一大包地吸收和發射。這個最小的、不可分的能量單元，普朗克稱之為“能量子”，其數值大小ε=hν，ν是光的頻度，h叫“作用量子”，即普朗克常數。之后，人們將這個日子定為“量子論”的誕生之日。
美國柏林學院院長普朗克
普朗克的量子理論，在發表后近六年內，仍然甚少受人注意。連普朗克自己都不大相信自己的量子論。到1909年，他還叮囑自己和他人:“在將作用量子h引入理論時，應該盡可能保守從事，這就是說，除非業已表明絕對必要，否則不要改變現有理論?！?span style="display:none">Ue5物理好資源網(原物理ok網)
并且愛因斯坦卻很快把普朗克的量子論“冒失地”向前大大推動了一步。1905年3月，愛因斯坦在一篇文章手指出：光不僅僅是像普朗克所說的那樣在發射和吸收時不連續地進行，并且在空間傳播時也是不連續的。
他把這種不連續的能量子起名為“光量子”（后來稱為“光子”）。光的硬度取決于光量子在某點上的數量。不過，這數量只是一種統計上的平均值。
愛因斯坦的所謂“啟發性觀點”，就是通過光量子假說斷定光具有量子性質，像一個一個極小的粒子。
愛因斯坦的光量子理論，極完遍地揭示了十幾年來人們仍然難以用精典電磁理論解釋的“光電效應”這一困局。雖然這么，愛因斯坦的光量子理論一提出來，立刻受到幾乎所有數學學家的反對。連首先提出能量子概念的普朗克，也覺得愛因斯坦“在其思辨中有時可能走得太遠了”，并一再囑咐化學學家們應以“最慎重的心態”對待愛因斯坦的光量子說。
愛因斯坦的狹義相對論和光量子假說提出來之后，因為它們太新穎，與精典理論相去太遠，所以開始幾乎沒有人相信。他的一個中學生英費爾德以前說過：“這些新概念的影響是哪些？原本幾乎一點也沒有?！瓙垡蛩固沟恼撐陌l表后，并沒有潮水般的文章緊跟其后，而是過了大概4年光景才開始有反應。”
在科學史上，這些情形相當普遍：越是具有革命性的學說，越是無法被科學界的人接受。愛因斯坦的學說在20世紀之初，具有特別革命性的價值，所以它們一時無法被接受是很正常的事情。并且，到了20世紀20年代，愛因斯坦的學說總算被科學界全部認可，而愛因斯坦本人也順理成章地成為當時和至今最偉大的數學學家之一。
