匈牙利電子工程師 Denis Gabor 于 1946 年提出加窗傅里葉變換，開創了一種在時頻平面上分析信號的方法。 加博還發明了全息術。 這項工作為他贏得了1971年的諾貝爾物理學獎。
2017年阿貝爾獎得主Meyer及受邀演講嘉賓（從左至右）：Marat、Meyer、、
蓋博獲得諾貝爾獎后的第二年，默默無聞的地球物理工程師讓·莫萊(Jean Molay)在法國一家石油公司多年的現場工作后調到研發部門，開始分析地震信號。 他使用加窗傅里葉變換來分析信號，但得到的結果很差。 他發現原因是地震信號存在瞬時劇烈波動，而加窗傅立葉變換中的窗函數無法自動適應這種變化。
于是構造了一個窗口寬度可以調節的復雜函數
取決于
通過尺度參數a和平移參數b獲得。 當正數a很小時，函數窗口變窄，可以檢測到信號的瞬時變化，因此創建了分析信號的時間尺度方法。他做到了
稱為“形狀”，這也是術語小波 () 的由來，使用它建立了分解和重構信號的公式，發現該公式比加窗傅立葉變換更有效。 他于1975年和1980年在勘探地球物理學家協會主辦的國際會議上發表報告，但沒有產生任何影響。 不僅如此，在他發現小波變換后不久，他就被公司以提前退休的名義解雇了，50歲時失業了。他一度非常沮喪，但他繼續尋找他的發現的理論證明。 1981年，他聯系了母校巴黎綜合理工學院的物理學家羅杰·巴利安（Roger ）尋求幫助。 巴利安把他推薦給馬賽大學理論物理學家亞歷克斯·格羅斯曼。 今年12月的時候，我看到了。
亞歷克斯·格羅斯曼（亞歷克斯，1930-2019）
他就是 ( ) 的博士論文導師。 在比利時布魯塞爾自由大學獲得物理學學士學位后，他繼續攻讀博士學位。 名義上讓·雷尼爾（Jean）是她的導師，她根據自己的興趣選擇了馬賽大學作為她的論文導師。 她的研究方向是數學物理。
克羅地亞人，自1966年入職以來一直在馬賽大學工作，他對他的經歷表示同情，也理解他的想法。 他意識到的發現與量子力學中的相干態非常相似。 他從群論的角度證明了解析小波在容許條件下可以完美地被連續小波變換。 重建原始信號。 容許條件使得小波函數具有振蕩和快速衰減的形狀。 該小波不是解析小波，但產生的誤差并不顯著，因此可以獲得良好的結果。
他們的合作文章于1984年發表在SIAM數學分析雜志上，成為連續小波變換的重要文獻。 接下來的幾年里，兩人在小波領域合作發表了十多篇論文。
(1991) 格羅斯曼（左）和莫萊（右）
1985年是我在布魯塞爾自由大學理論物理系工作的第五個年頭。 五年前，她完成了博士論文《量子機械算子分析函數的希爾伯特空間核表示》，并留校擔任研究助理。 在此期間，她到貝爾實驗室做了兩年博士后。 她在數學物理領域發表論文20余篇，職務從研究助理晉升為研究教授。 今年春天，她來到馬賽參觀，被他對小波變換的熱情所感染。 她興奮地發現自己掌握的數學工具可以用于信號分析，于是她轉向小波研究。
就在多貝西來訪的前一個月，巴黎綜合理工學院的數學家伊夫·邁耶拜訪了格羅斯曼。 在排隊等待復印時，他偶然從別人的談話中聽到了格羅斯曼的作品。 他從一位同事那里獲得了該論文的預印本。 邁耶后來回憶道，“他們的論文讓我非常著迷，我迫不及待地來到馬賽。與他討論了三天后，我成為了他的學徒。”
伊夫·邁耶
邁耶是一位分析師，曾多年研究卡爾德隆猜想。 他的工作實際上是卡爾德隆方程（ón's）的改編，格羅斯曼和莫萊特的工作可以使用卡爾德隆的方法從一維推廣到更高維度。
在Meyer之前，小波的思想已經以不同的形式隱藏在數學、物理和信號處理領域。 然而，正是他們——一位地球物理工程師和一位理論物理學家——以新的形式再次做出了獨立發現，開啟了小波革命。
建議研究離散小波變換，即尋找一族小波函數來分解和重??構信號。 他們與Meyer合作，于9月份完成了L2(R)空間小波框架的構建。 與空間中的底座相比，框架是多余的。 例如，在平面R2上，(0, 1)和(1, 0)構成正交基，(0, 1)、(-√3/2, -1/2)和(√3/2， -1/2) 是一個框架。
與此同時，Meyer開始在空間L2(R)中尋找小波正交基。 早在1909年，希爾伯特的學生、匈牙利數學家阿爾弗雷德·哈爾（ Haar）在他的博士論文中構造了一套正交基，它是通過分段常數函數的平移和縮放得到的。 它恰好是一組小波正交基，現在稱為 Haar 小波。 Haar 小波是不連續且不平滑的。 Meyer沒有意識到JO Str?mberg在1981年使用樣條函數構造了C^k平滑小波正交基，他猜測不存在平滑小波正交基，但在試圖證明的過程中，卻構造了無限平滑小波正交基，現在稱為 Meyer 小波。
邁耶小波和后來的威爾遜-多貝西變換對引力波的發現做出了巨大貢獻。
邁耶在 2017 年獲得阿貝爾獎后接受采訪時表示：“他們發現引力波的那天，他們給我發了一封電子郵件，說我的工作對他們的發現至關重要。”“當你的工作應用于如此輝煌的發現時，真是令人興奮！”
在研究小波之前，邁耶研究了卡爾德隆猜想七年，只用了三個月就發現了邁耶小波。 邁耶小波
是二值小波，即其尺度以2^j的形式變化。 ψ(x) 是無限平滑的實帶限函數。 它在頻域上有緊湊的支持，但在時域（由函數不等于0的點組成的閉點集）上的支持是無限的，所以在應用中通常Meyer小波的傅里葉變換為用過的。
1986年11月，邁耶應邀到芝加哥大學演講，在那里他結識了來自賓夕法尼亞大學的斯特凡·馬拉（Stéphane）。 他也是法國人。 從巴黎綜合理工學院畢業后，他在賓夕法尼亞大學學習計算機科學和信息。 我正在理科攻讀博士學位，我的研究領域是圖像分析。
斯蒂芬·馬拉
恰巧大學同學是Meyer的研究生，暑假期間我無意中從他那里了解到了Meyer小波。 很快他就有了新的發現：標準正交小波基的構造與圖像處理中的拉普拉斯金字塔算法非常相似，將圖像從細到粗分解，形成金字塔形狀。 他試圖將這種多分辨率的思想植入到正交小波基的構造中。 當他得知邁耶要去芝加哥大學時，他帶著自己的想法來到了這里。
這次，我和Meyer在教授的辦公室討論了三天，建立了在L2(R)空間構造標準正交小波基的多分辨率分析理論。
返回討論結果后，我構建了一種利用離散小波變換來分解和重??建圖像的快速算法，該算法可以將圖像從細到粗分解為多個尺度，然后快速重建它們。 他將這些進展匯編成一篇論文。
第二年年初，我收到了小波多分辨率分析的預印本。 她最近完成了小波框架的另一項主要工作，并開始考慮正交小波基的構造。 她研究了多分辨率分析下的邁耶小波，發現其濾波器無限長（具有無限非零值），并且在應用于離散信號時只能截取有限數量的部分。 這個想法是，無論多分辨率分析，是否可以直接構建有限長度濾波器并能夠使用先進的分解和重構算法來處理離散信號？ 如果此步驟可行，通過觀察向濾波器添加哪些條件，可以在多分辨率分析下從中獲得緊密支持的標準正交小波基。
英格麗德·多貝西 ( )
遵循這一思想，給出了構造光滑緊支持小波標準正交基的理論和方法。 小波誕生了。 根據她的分析，只要滿足條件的濾波器是有限長的，所得到的標準正交小波基就是緊支持的。 而且，濾波器的長度越長，獲得的小波就越平滑。 例如，濾波器最短的小波是非光滑的Haar小波，而長度為8的濾波器得到的小波(db4)就平滑得多。
左：原始圖像； 右：利用小波變換將圖像分解為第一層Haar小波（左）和小波db4（右）
小波的出現為小波變換的廣泛應用打開了大門。 距離我們第一次見面才過去六年。 六年來，它從應用出發，帶動了理論的發展，再通過發展的理論反哺應用，形成了一個個美麗的故事。
關于邁耶
小波分析的鼻祖之一，他構造了一維正交小波（Meyer）。 高緯度正交小波的構造仍然是開放的并且尚未得到解決。 三個icm 45分鐘的報告總共2小時15分鐘。 他獲得了高斯獎。 作者一直在和大牛合作，有算法。
關于
小波分析之母、調和分析大師。
2023年沃爾夫數學獎獲得者、杜克大學教授（）
以色列沃爾夫基金會董事會成員林教授周二宣布：“這是對她在當時的工作的沃爾夫獎。”
教授在小波理論和調和分析領域做出了重大貢獻。 她的研究徹底改變了圖像和信號的數字處理，并為數據壓縮提供了標準且靈活的算法。 多貝西的研究成果帶動了許多領域的技術創新，包括醫學成像、無線通信和數字電影。 例如，她早期的研究成果被用于圖像壓縮。 JPEG 2000 格式圖像是通過小波壓縮生成的。 ，它們還用于將聲音序列壓縮為 MP3 文件； 在最近的應用中，它們被用來增強和重建早期的哈勃望遠鏡圖像、檢測偽造的文檔和指紋等等。
小波分析是繼傅里葉分析之后的一種新的信號處理方法。 自1910年Haar構造出Haar小波以來，經過眾多科學家的不斷研究，目前的小波分析理論已經日趨完善。 小波分析方法已應用于自然科學和工程技術的許多領域。 小波變換的本質是將給定的信號分解為一系列不同的頻帶。 從泛函分析的角度來看，小波變換將給定的信號函數投影到一系列函數空間中。 這一系列的函數空間是通過函數的拉伸和平移得到的。 不同的函數空間代表不同的頻率分量。 其余的函數分量保留在尺度函數空間中。 它們是信號中的低頻分量物理學家是數學家，也用于實際問題中。 最受關注的成分。 需要選擇小波分析中使用的小波。 它與傅里葉分析完全不同，傅里葉分析只能使用正弦函數作為分析因子。 這使得小波分析比傅里葉分析更具適應性。
小波的發展過程如下（到2006年，因為深度學習模型的出現）
1910年，Haar構造了Haar小波。 由于小波是不連續的，當時并沒有引起人們的注意。
1936年，他和佩利建立了LP理論，并提出了傅里葉變換中的二值化頻率劃分。 這被認為是多尺度分析思想的最早來源。
1952 年，Heil 等人。 引入了框架的概念，后來Heil等人提出了框架的概念。 在此基礎上建立了小波框架。
1975年建立了再生公式，給出了H^p空間中的原子分解，其形式接近于小波展開公式。
1984年，首次提出小波的概念，并與文獻[1]一起建立了小波的展開平移系統。
1985年，Meyer從理論上研究了小波，極大地豐富了現代調和分析的內容。 1986年，他構造了Meyer小波，其著作《小波和算子》詳細介紹了他的研究成果。
1986年，Dubuc構造了插值小波。 該小波是插值理論與多分辨率分析相結合得到的，具有良好的去噪性能。
1987年，第一屆國際小波會議在法國馬賽召開，極大地推動了小波的發展。
1988年，緊支撐正交小波被構造出來，它是當今應用最廣泛的小波之一。
1989年，他提出了多分辨率分析的概念，并建立了構建小波的通用框架。 他還給出了算法。
1989年，等人。 構建的小波包。
1992 年，Chui 等人。 構造B樣條小波。
1992 年，科恩等人。 構造雙正交小波，是目前應用最廣泛的小波之一。
1993年，應 的要求，構建了小波。 該小波和小波的尺度函數都具有消失矩，并且比小波具有更好的對稱性。 它是應用最廣泛的小波之一。
1993年，等人。 提出了多帶小波，它是兩帶小波的推廣。
1994年，等人。 建立了多小波理論。
1995年提出小波提升格式，建立了第二代小波變換框架體系。
1996年，張等人。 研究了算法中的初值問題，給出了由采樣值計算初值的公式。
1999年，脊波()被提出。 小波對奇異點有很好的檢測能力，而脊波對奇異直線有更好的檢測能力，可以有效地提取圖像中直線的特征。 同年，提出了()，可以有效地提取曲線的特征。
2000年以后，還有人利用提升構造雙正交多小波、M帶雙正交插值小波等。
Zhon等人構造了正交小波和雙正交小波。
構造了M帶正交小波和M帶二值小波。
構造復值小波。
Chapa 等人構建了匹配小波。
2000年，等人。 提出了帶狀小波()變換，它是一種基于邊緣的圖像表示方法，能夠自適應跟蹤圖像的幾何規則方向，具有良好的去噪和壓縮性能。
從 2002 年到 2005 年，Do 等人。 提出了輪廓小波( )變換和臨界采樣輪廓小波( )變換。 輪廓小波基的支撐為條形，其長寬比隨尺度變化。 它可以很好地逼近原始圖像。
2006年，等人。 從線性微分算子構造了一個類小波基（—like base）。 這類小波具有良好的性質，其小波空間特性用算子的極點和零點來表征。
此外物理學家是數學家，2011年提出了同步壓縮小波變換，2012年提出了小波散射網絡，2013年提出了經驗小波變換。
小波應用
隨著小波分析理論和算法的不斷發展，其應用范圍也越來越廣泛。 目前，小波分析已成為一門重要的應用學科。 它已廣泛應用于信號與圖像處理、語音識別與合成、遙感與遙測、CT成像、地震勘探、故障診斷、量子力學和天文學等領域。美國應用小波分析壓縮了 FBI 存儲的 3 億指紋。 僅光盤存儲所獲得的效益就高達3000萬美元，而由于指紋傳輸時間縮短至原來的1/20所創造的價值更是難以估量。 因此，充分利用小波分析這一新工具，已成為許多學科所關注的問題。 下面討論小波分析在一些重要領域的應用。
(1)小波在信號去噪中的應用
去噪是為了提高信號的清晰度和視覺效果。 由于小波變換具有時頻局部化特性，因此可以有效消除信號中的噪聲。 1992年，根據信號和噪聲的不同特點，提出了一種對信號小波變換系數中模極大值進行去噪的方法。 1995年提出了基于閾值處理的小波去噪方法。
(2)小波在神經網絡中的應用
小波神經網絡是一種基于小波理論的新型神經網絡。 它可以兼顧小波和神經網絡的優點，既利用小波變換的時頻局部性，又發揮神經網絡的自學習能力，因而具有較強的逼近和容錯能力。
(3)小波在電磁理論中的應用
電磁場問題可以用相應的算子和邊界條件來描述。 在電磁場的數值計算中，人們希望用較少的計算量和存儲空間得到精確的解。 小波變換可以使電磁場數值計算中的矩陣變得稀疏，使得求解方程變得更加容易。 1993年應用小波求解電磁場積分方程并討論了矩量法的相關問題。 1995年，王將小波與邊界元法結合起來求解散射和多導體傳輸線，提出了基于多尺度分析的微分方程求解算法。 1996年，提出了一種基于多分辨率求解麥克斯韋方程組的時域多分辨率分析算法。 1998年，G01ik利用小波包變換得到了比??小波變換更稀疏的矩陣，進一步提高了計算效率。
(4)小波在圖像融合中的應用
圖像融合是將不同方法獲得的相同圖像數據進行空間配準，然后利用融合算法將各圖像的優勢或互補性有機地結合起來，生成新的圖像，以提高分析和提取圖像信息的能力。 目前，基于小波變換的圖像融合技術是研究的主流。
(5)小波在數字水印中的應用
隨著計算機技術、網絡技術和多媒體技術的發展，人們可以發布自己的數字作品。 為了防止數字作品被侵權、盜版和篡改，需要實施有效的版權保護，于是數字水印技術誕生了。 數字水印技術是在數字作品中嵌入具有特定含義的標記（水印），以證明作品的所有權，并作為識別和起訴非法侵權的證據。 由于小波交換具有時頻局部性和多分辨率的特點，小波域水印技術越來越受到人們的關注。
(6)小波在圖像壓縮中的應用
早期的JPEG圖像壓縮標準使用離散余弦變換算法。 基于離散余弦變換的編碼技術容易產生塊效應和蚊式噪聲。 自2000年以來，采用了基于離散小波變換的新圖像壓縮標準。 可以實現無損壓縮和感興趣區域壓縮，可以加密JPEG文件，對多種顏色變化有良好的兼容性。 由于小波變換具有良好的時頻局部性且易于與人類視覺特性結合，因此已成為圖像壓縮的主要技術之一。
(7)小波在其他領域的應用
小波分析還廣泛應用于數學、力學、生物學、天體物理學、量子力學等領域。
在數學方面，小波分析被認為是近50年來調和分析的結晶。 利用函數小波基系數的衰減速度，可以分析函數在某一點附近的局部規律性。 許多經典函數空間可以序列化，而傅里葉基則不能。
在快速算法方面，小波變換應用于一類奇異積分算子。 這些算子在小波基礎上的表示幾乎是對角的，因此可以快速計算奇異算子。 隨后，等人將小波變換應用于偏微分方程的數值求解。
在流體力學中，小波變換可以分解湍流場并測量其能譜。 小波基是通過母小波的平移和展開得到的。 基函數相似，因此小波變換非常適合分形表示和分形維數的計算。 通過應用小波分析對分形進行了詳細的研究。
在生物醫學領域，小波變換已應用于磁共振成像技術，可以在40毫秒內提供切片圖像。
在天體物理學中，小波變換已被用于自動檢測中的信號處理。 這種數學顯微鏡能夠分析不同尺度下銀河系的碎片性質和分形結構等重要信息。
小波分析的前景與展望
小波分析在理論和應用方面都取得了重要成果，對許多學科產生了巨大影響。 有關專家預測，小波分析的真正高潮尚未到來。 小波分析無論在理論還是應用上都還在迅速發展，許多問題還沒有得到解決。 對以下問題的研究是非常有意義的。
(1)小波理論有待進一步完善，特別是高維小波、多小波、復值小波、匹配小波、脊波和曲線波的數學理論和構造方法。
(2)構造一個能夠考慮正交性、對稱性、正則性和緊支持等特性的小波。
(3)進一步研究最優小波基的選擇方法。
(4)小波和分形研究。
(5)小波和分數階傅立葉變換研究。
(6)小波變換軟件研究。
(7)小波神經網絡研究。
(8)小波與混沌理論結合的研究。
(9)非線性小波研究及其在非線性科學中的應用。
(10)小波在通信中的應用。
(11)小波在物理、化學、生物醫學等基礎科學中的應用。
由于小波的良好特性及其在多個領域的成功應用，美國應用數學學會將其列為應用數學八個前沿課題之一。 美國國防部認為，小波分析將對未來關鍵國防技術中的信號和圖像處理產生重大影響。 英國皇家數學會也將小波分析列為十大重點發展方向之一。 法國和德國也在該領域的研究上投入了大量精力。 中國科學院原院長周光召在其《若干基礎科學的發展趨勢》和現任院長路甬祥的《科學的歷史與未來》的兩篇報告中特別強調了小波分析的重要性。