匈牙利電子工程師 Denis Gabor 于 1946 年提出加窗傅里葉變換，開創(chuàng)了一種在時(shí)頻平面上分析信號(hào)的方法。 加博還發(fā)明了全息術(shù)。 這項(xiàng)工作為他贏得了1971年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。
2017年阿貝爾獎(jiǎng)得主Meyer及受邀演講嘉賓（從左至右）：Marat、Meyer、、
蓋博獲得諾貝爾獎(jiǎng)后的第二年，默默無聞的地球物理工程師讓·莫萊(Jean Molay)在法國(guó)一家石油公司多年的現(xiàn)場(chǎng)工作后調(diào)到研發(fā)部門，開始分析地震信號(hào)。 他使用加窗傅里葉變換來分析信號(hào)，但得到的結(jié)果很差。 他發(fā)現(xiàn)原因是地震信號(hào)存在瞬時(shí)劇烈波動(dòng)，而加窗傅立葉變換中的窗函數(shù)無法自動(dòng)適應(yīng)這種變化。
于是構(gòu)造了一個(gè)窗口寬度可以調(diào)節(jié)的復(fù)雜函數(shù)
取決于
通過尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b獲得。 當(dāng)正數(shù)a很小時(shí)，函數(shù)窗口變窄，可以檢測(cè)到信號(hào)的瞬時(shí)變化，因此創(chuàng)建了分析信號(hào)的時(shí)間尺度方法。他做到了
稱為“形狀”，這也是術(shù)語小波 () 的由來，使用它建立了分解和重構(gòu)信號(hào)的公式，發(fā)現(xiàn)該公式比加窗傅立葉變換更有效。 他于1975年和1980年在勘探地球物理學(xué)家協(xié)會(huì)主辦的國(guó)際會(huì)議上發(fā)表報(bào)告，但沒有產(chǎn)生任何影響。 不僅如此，在他發(fā)現(xiàn)小波變換后不久，他就被公司以提前退休的名義解雇了，50歲時(shí)失業(yè)了。他一度非常沮喪，但他繼續(xù)尋找他的發(fā)現(xiàn)的理論證明。 1981年，他聯(lián)系了母校巴黎綜合理工學(xué)院的物理學(xué)家羅杰·巴利安（Roger ）尋求幫助。 巴利安把他推薦給馬賽大學(xué)理論物理學(xué)家亞歷克斯·格羅斯曼。 今年12月的時(shí)候，我看到了。
亞歷克斯·格羅斯曼（亞歷克斯，1930-2019）
他就是 ( ) 的博士論文導(dǎo)師。 在比利時(shí)布魯塞爾自由大學(xué)獲得物理學(xué)學(xué)士學(xué)位后，他繼續(xù)攻讀博士學(xué)位。 名義上讓·雷尼爾（Jean）是她的導(dǎo)師，她根據(jù)自己的興趣選擇了馬賽大學(xué)作為她的論文導(dǎo)師。 她的研究方向是數(shù)學(xué)物理。
克羅地亞人，自1966年入職以來一直在馬賽大學(xué)工作，他對(duì)他的經(jīng)歷表示同情，也理解他的想法。 他意識(shí)到的發(fā)現(xiàn)與量子力學(xué)中的相干態(tài)非常相似。 他從群論的角度證明了解析小波在容許條件下可以完美地被連續(xù)小波變換。 重建原始信號(hào)。 容許條件使得小波函數(shù)具有振蕩和快速衰減的形狀。 該小波不是解析小波，但產(chǎn)生的誤差并不顯著，因此可以獲得良好的結(jié)果。
他們的合作文章于1984年發(fā)表在SIAM數(shù)學(xué)分析雜志上，成為連續(xù)小波變換的重要文獻(xiàn)。 接下來的幾年里，兩人在小波領(lǐng)域合作發(fā)表了十多篇論文。
(1991) 格羅斯曼（左）和莫萊（右）
1985年是我在布魯塞爾自由大學(xué)理論物理系工作的第五個(gè)年頭。 五年前，她完成了博士論文《量子機(jī)械算子分析函數(shù)的希爾伯特空間核表示》，并留校擔(dān)任研究助理。 在此期間，她到貝爾實(shí)驗(yàn)室做了兩年博士后。 她在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域發(fā)表論文20余篇，職務(wù)從研究助理晉升為研究教授。 今年春天，她來到馬賽參觀，被他對(duì)小波變換的熱情所感染。 她興奮地發(fā)現(xiàn)自己掌握的數(shù)學(xué)工具可以用于信號(hào)分析，于是她轉(zhuǎn)向小波研究。
就在多貝西來訪的前一個(gè)月，巴黎綜合理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家伊夫·邁耶拜訪了格羅斯曼。 在排隊(duì)等待復(fù)印時(shí)，他偶然從別人的談話中聽到了格羅斯曼的作品。 他從一位同事那里獲得了該論文的預(yù)印本。 邁耶后來回憶道，“他們的論文讓我非常著迷，我迫不及待地來到馬賽。與他討論了三天后，我成為了他的學(xué)徒。”
伊夫·邁耶
邁耶是一位分析師，曾多年研究卡爾德隆猜想。 他的工作實(shí)際上是卡爾德隆方程（ón's）的改編，格羅斯曼和莫萊特的工作可以使用卡爾德隆的方法從一維推廣到更高維度。
在Meyer之前，小波的思想已經(jīng)以不同的形式隱藏在數(shù)學(xué)、物理和信號(hào)處理領(lǐng)域。 然而，正是他們——一位地球物理工程師和一位理論物理學(xué)家——以新的形式再次做出了獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，開啟了小波革命。
建議研究離散小波變換，即尋找一族小波函數(shù)來分解和重??構(gòu)信號(hào)。 他們與Meyer合作，于9月份完成了L2(R)空間小波框架的構(gòu)建。 與空間中的底座相比，框架是多余的。 例如，在平面R2上，(0, 1)和(1, 0)構(gòu)成正交基，(0, 1)、(-√3/2, -1/2)和(√3/2， -1/2) 是一個(gè)框架。
與此同時(shí)，Meyer開始在空間L2(R)中尋找小波正交基。 早在1909年，希爾伯特的學(xué)生、匈牙利數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·哈爾（ Haar）在他的博士論文中構(gòu)造了一套正交基，它是通過分段常數(shù)函數(shù)的平移和縮放得到的。 它恰好是一組小波正交基，現(xiàn)在稱為 Haar 小波。 Haar 小波是不連續(xù)且不平滑的。 Meyer沒有意識(shí)到JO Str?mberg在1981年使用樣條函數(shù)構(gòu)造了C^k平滑小波正交基，他猜測(cè)不存在平滑小波正交基，但在試圖證明的過程中，卻構(gòu)造了無限平滑小波正交基，現(xiàn)在稱為 Meyer 小波。
邁耶小波和后來的威爾遜-多貝西變換對(duì)引力波的發(fā)現(xiàn)做出了巨大貢獻(xiàn)。
邁耶在 2017 年獲得阿貝爾獎(jiǎng)后接受采訪時(shí)表示：“他們發(fā)現(xiàn)引力波的那天，他們給我發(fā)了一封電子郵件，說我的工作對(duì)他們的發(fā)現(xiàn)至關(guān)重要。”“當(dāng)你的工作應(yīng)用于如此輝煌的發(fā)現(xiàn)時(shí)，真是令人興奮！”
在研究小波之前，邁耶研究了卡爾德隆猜想七年，只用了三個(gè)月就發(fā)現(xiàn)了邁耶小波。 邁耶小波
是二值小波，即其尺度以2^j的形式變化。 ψ(x) 是無限平滑的實(shí)帶限函數(shù)。 它在頻域上有緊湊的支持，但在時(shí)域（由函數(shù)不等于0的點(diǎn)組成的閉點(diǎn)集）上的支持是無限的，所以在應(yīng)用中通常Meyer小波的傅里葉變換為用過的。
1986年11月，邁耶應(yīng)邀到芝加哥大學(xué)演講，在那里他結(jié)識(shí)了來自賓夕法尼亞大學(xué)的斯特凡·馬拉（Stéphane）。 他也是法國(guó)人。 從巴黎綜合理工學(xué)院畢業(yè)后，他在賓夕法尼亞大學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)和信息。 我正在理科攻讀博士學(xué)位，我的研究領(lǐng)域是圖像分析。
斯蒂芬·馬拉
恰巧大學(xué)同學(xué)是Meyer的研究生，暑假期間我無意中從他那里了解到了Meyer小波。 很快他就有了新的發(fā)現(xiàn)：標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的構(gòu)造與圖像處理中的拉普拉斯金字塔算法非常相似，將圖像從細(xì)到粗分解，形成金字塔形狀。 他試圖將這種多分辨率的思想植入到正交小波基的構(gòu)造中。 當(dāng)他得知邁耶要去芝加哥大學(xué)時(shí)，他帶著自己的想法來到了這里。
這次，我和Meyer在教授的辦公室討論了三天，建立了在L2(R)空間構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的多分辨率分析理論。
返回討論結(jié)果后，我構(gòu)建了一種利用離散小波變換來分解和重??建圖像的快速算法，該算法可以將圖像從細(xì)到粗分解為多個(gè)尺度，然后快速重建它們。 他將這些進(jìn)展匯編成一篇論文。
第二年年初，我收到了小波多分辨率分析的預(yù)印本。 她最近完成了小波框架的另一項(xiàng)主要工作，并開始考慮正交小波基的構(gòu)造。 她研究了多分辨率分析下的邁耶小波，發(fā)現(xiàn)其濾波器無限長(zhǎng)（具有無限非零值），并且在應(yīng)用于離散信號(hào)時(shí)只能截取有限數(shù)量的部分。 這個(gè)想法是，無論多分辨率分析，是否可以直接構(gòu)建有限長(zhǎng)度濾波器并能夠使用先進(jìn)的分解和重構(gòu)算法來處理離散信號(hào)？ 如果此步驟可行，通過觀察向?yàn)V波器添加哪些條件，可以在多分辨率分析下從中獲得緊密支持的標(biāo)準(zhǔn)正交小波基。
英格麗德·多貝西 ( )
遵循這一思想，給出了構(gòu)造光滑緊支持小波標(biāo)準(zhǔn)正交基的理論和方法。 小波誕生了。 根據(jù)她的分析，只要滿足條件的濾波器是有限長(zhǎng)的，所得到的標(biāo)準(zhǔn)正交小波基就是緊支持的。 而且，濾波器的長(zhǎng)度越長(zhǎng)，獲得的小波就越平滑。 例如，濾波器最短的小波是非光滑的Haar小波，而長(zhǎng)度為8的濾波器得到的小波(db4)就平滑得多。
左：原始圖像； 右：利用小波變換將圖像分解為第一層Haar小波（左）和小波db4（右）
小波的出現(xiàn)為小波變換的廣泛應(yīng)用打開了大門。 距離我們第一次見面才過去六年。 六年來，它從應(yīng)用出發(fā)，帶動(dòng)了理論的發(fā)展，再通過發(fā)展的理論反哺應(yīng)用，形成了一個(gè)個(gè)美麗的故事。
關(guān)于邁耶
小波分析的鼻祖之一，他構(gòu)造了一維正交小波（Meyer）。 高緯度正交小波的構(gòu)造仍然是開放的并且尚未得到解決。 三個(gè)icm 45分鐘的報(bào)告總共2小時(shí)15分鐘。 他獲得了高斯獎(jiǎng)。 作者一直在和大牛合作，有算法。
關(guān)于
小波分析之母、調(diào)和分析大師。
2023年沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)獲得者、杜克大學(xué)教授（）
以色列沃爾夫基金會(huì)董事會(huì)成員林教授周二宣布：“這是對(duì)她在當(dāng)時(shí)的工作的沃爾夫獎(jiǎng)。”
教授在小波理論和調(diào)和分析領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)。 她的研究徹底改變了圖像和信號(hào)的數(shù)字處理，并為數(shù)據(jù)壓縮提供了標(biāo)準(zhǔn)且靈活的算法。 多貝西的研究成果帶動(dòng)了許多領(lǐng)域的技術(shù)創(chuàng)新，包括醫(yī)學(xué)成像、無線通信和數(shù)字電影。 例如，她早期的研究成果被用于圖像壓縮。 JPEG 2000 格式圖像是通過小波壓縮生成的。 ，它們還用于將聲音序列壓縮為 MP3 文件； 在最近的應(yīng)用中，它們被用來增強(qiáng)和重建早期的哈勃望遠(yuǎn)鏡圖像、檢測(cè)偽造的文檔和指紋等等。
小波分析是繼傅里葉分析之后的一種新的信號(hào)處理方法。 自1910年Haar構(gòu)造出Haar小波以來，經(jīng)過眾多科學(xué)家的不斷研究，目前的小波分析理論已經(jīng)日趨完善。 小波分析方法已應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域。 小波變換的本質(zhì)是將給定的信號(hào)分解為一系列不同的頻帶。 從泛函分析的角度來看，小波變換將給定的信號(hào)函數(shù)投影到一系列函數(shù)空間中。 這一系列的函數(shù)空間是通過函數(shù)的拉伸和平移得到的。 不同的函數(shù)空間代表不同的頻率分量。 其余的函數(shù)分量保留在尺度函數(shù)空間中。 它們是信號(hào)中的低頻分量物理學(xué)家是數(shù)學(xué)家，也用于實(shí)際問題中。 最受關(guān)注的成分。 需要選擇小波分析中使用的小波。 它與傅里葉分析完全不同，傅里葉分析只能使用正弦函數(shù)作為分析因子。 這使得小波分析比傅里葉分析更具適應(yīng)性。
小波的發(fā)展過程如下（到2006年，因?yàn)樯疃葘W(xué)習(xí)模型的出現(xiàn)）
1910年，Haar構(gòu)造了Haar小波。 由于小波是不連續(xù)的，當(dāng)時(shí)并沒有引起人們的注意。
1936年，他和佩利建立了LP理論，并提出了傅里葉變換中的二值化頻率劃分。 這被認(rèn)為是多尺度分析思想的最早來源。
1952 年，Heil 等人。 引入了框架的概念，后來Heil等人提出了框架的概念。 在此基礎(chǔ)上建立了小波框架。
1975年建立了再生公式，給出了H^p空間中的原子分解，其形式接近于小波展開公式。
1984年，首次提出小波的概念，并與文獻(xiàn)[1]一起建立了小波的展開平移系統(tǒng)。
1985年，Meyer從理論上研究了小波，極大地豐富了現(xiàn)代調(diào)和分析的內(nèi)容。 1986年，他構(gòu)造了Meyer小波，其著作《小波和算子》詳細(xì)介紹了他的研究成果。
1986年，Dubuc構(gòu)造了插值小波。 該小波是插值理論與多分辨率分析相結(jié)合得到的，具有良好的去噪性能。
1987年，第一屆國(guó)際小波會(huì)議在法國(guó)馬賽召開，極大地推動(dòng)了小波的發(fā)展。
1988年，緊支撐正交小波被構(gòu)造出來，它是當(dāng)今應(yīng)用最廣泛的小波之一。
1989年，他提出了多分辨率分析的概念，并建立了構(gòu)建小波的通用框架。 他還給出了算法。
1989年，等人。 構(gòu)建的小波包。
1992 年，Chui 等人。 構(gòu)造B樣條小波。
1992 年，科恩等人。 構(gòu)造雙正交小波，是目前應(yīng)用最廣泛的小波之一。
1993年，應(yīng) 的要求，構(gòu)建了小波。 該小波和小波的尺度函數(shù)都具有消失矩，并且比小波具有更好的對(duì)稱性。 它是應(yīng)用最廣泛的小波之一。
1993年，等人。 提出了多帶小波，它是兩帶小波的推廣。
1994年，等人。 建立了多小波理論。
1995年提出小波提升格式，建立了第二代小波變換框架體系。
1996年，張等人。 研究了算法中的初值問題，給出了由采樣值計(jì)算初值的公式。
1999年，脊波()被提出。 小波對(duì)奇異點(diǎn)有很好的檢測(cè)能力，而脊波對(duì)奇異直線有更好的檢測(cè)能力，可以有效地提取圖像中直線的特征。 同年，提出了()，可以有效地提取曲線的特征。
2000年以后，還有人利用提升構(gòu)造雙正交多小波、M帶雙正交插值小波等。
Zhon等人構(gòu)造了正交小波和雙正交小波。
構(gòu)造了M帶正交小波和M帶二值小波。
構(gòu)造復(fù)值小波。
Chapa 等人構(gòu)建了匹配小波。
2000年，等人。 提出了帶狀小波()變換，它是一種基于邊緣的圖像表示方法，能夠自適應(yīng)跟蹤圖像的幾何規(guī)則方向，具有良好的去噪和壓縮性能。
從 2002 年到 2005 年，Do 等人。 提出了輪廓小波( )變換和臨界采樣輪廓小波( )變換。 輪廓小波基的支撐為條形，其長(zhǎng)寬比隨尺度變化。 它可以很好地逼近原始圖像。
2006年，等人。 從線性微分算子構(gòu)造了一個(gè)類小波基（—like base）。 這類小波具有良好的性質(zhì)，其小波空間特性用算子的極點(diǎn)和零點(diǎn)來表征。
此外物理學(xué)家是數(shù)學(xué)家，2011年提出了同步壓縮小波變換，2012年提出了小波散射網(wǎng)絡(luò)，2013年提出了經(jīng)驗(yàn)小波變換。
小波應(yīng)用
隨著小波分析理論和算法的不斷發(fā)展，其應(yīng)用范圍也越來越廣泛。 目前，小波分析已成為一門重要的應(yīng)用學(xué)科。 它已廣泛應(yīng)用于信號(hào)與圖像處理、語音識(shí)別與合成、遙感與遙測(cè)、CT成像、地震勘探、故障診斷、量子力學(xué)和天文學(xué)等領(lǐng)域。美國(guó)應(yīng)用小波分析壓縮了 FBI 存儲(chǔ)的 3 億指紋。 僅光盤存儲(chǔ)所獲得的效益就高達(dá)3000萬美元，而由于指紋傳輸時(shí)間縮短至原來的1/20所創(chuàng)造的價(jià)值更是難以估量。 因此，充分利用小波分析這一新工具，已成為許多學(xué)科所關(guān)注的問題。 下面討論小波分析在一些重要領(lǐng)域的應(yīng)用。
(1)小波在信號(hào)去噪中的應(yīng)用
去噪是為了提高信號(hào)的清晰度和視覺效果。 由于小波變換具有時(shí)頻局部化特性，因此可以有效消除信號(hào)中的噪聲。 1992年，根據(jù)信號(hào)和噪聲的不同特點(diǎn)，提出了一種對(duì)信號(hào)小波變換系數(shù)中模極大值進(jìn)行去噪的方法。 1995年提出了基于閾值處理的小波去噪方法。
(2)小波在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用
小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種基于小波理論的新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。 它可以兼顧小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)點(diǎn)，既利用小波變換的時(shí)頻局部性，又發(fā)揮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力，因而具有較強(qiáng)的逼近和容錯(cuò)能力。
(3)小波在電磁理論中的應(yīng)用
電磁場(chǎng)問題可以用相應(yīng)的算子和邊界條件來描述。 在電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算中，人們希望用較少的計(jì)算量和存儲(chǔ)空間得到精確的解。 小波變換可以使電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算中的矩陣變得稀疏，使得求解方程變得更加容易。 1993年應(yīng)用小波求解電磁場(chǎng)積分方程并討論了矩量法的相關(guān)問題。 1995年，王將小波與邊界元法結(jié)合起來求解散射和多導(dǎo)體傳輸線，提出了基于多尺度分析的微分方程求解算法。 1996年，提出了一種基于多分辨率求解麥克斯韋方程組的時(shí)域多分辨率分析算法。 1998年，G01ik利用小波包變換得到了比??小波變換更稀疏的矩陣，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。
(4)小波在圖像融合中的應(yīng)用
圖像融合是將不同方法獲得的相同圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行空間配準(zhǔn)，然后利用融合算法將各圖像的優(yōu)勢(shì)或互補(bǔ)性有機(jī)地結(jié)合起來，生成新的圖像，以提高分析和提取圖像信息的能力。 目前，基于小波變換的圖像融合技術(shù)是研究的主流。
(5)小波在數(shù)字水印中的應(yīng)用
隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)和多媒體技術(shù)的發(fā)展，人們可以發(fā)布自己的數(shù)字作品。 為了防止數(shù)字作品被侵權(quán)、盜版和篡改，需要實(shí)施有效的版權(quán)保護(hù)，于是數(shù)字水印技術(shù)誕生了。 數(shù)字水印技術(shù)是在數(shù)字作品中嵌入具有特定含義的標(biāo)記（水印），以證明作品的所有權(quán)，并作為識(shí)別和起訴非法侵權(quán)的證據(jù)。 由于小波交換具有時(shí)頻局部性和多分辨率的特點(diǎn)，小波域水印技術(shù)越來越受到人們的關(guān)注。
(6)小波在圖像壓縮中的應(yīng)用
早期的JPEG圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)使用離散余弦變換算法。 基于離散余弦變換的編碼技術(shù)容易產(chǎn)生塊效應(yīng)和蚊式噪聲。 自2000年以來，采用了基于離散小波變換的新圖像壓縮標(biāo)準(zhǔn)。 可以實(shí)現(xiàn)無損壓縮和感興趣區(qū)域壓縮，可以加密JPEG文件，對(duì)多種顏色變化有良好的兼容性。 由于小波變換具有良好的時(shí)頻局部性且易于與人類視覺特性結(jié)合，因此已成為圖像壓縮的主要技術(shù)之一。
(7)小波在其他領(lǐng)域的應(yīng)用
小波分析還廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、力學(xué)、生物學(xué)、天體物理學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域。
在數(shù)學(xué)方面，小波分析被認(rèn)為是近50年來調(diào)和分析的結(jié)晶。 利用函數(shù)小波基系數(shù)的衰減速度，可以分析函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部規(guī)律性。 許多經(jīng)典函數(shù)空間可以序列化，而傅里葉基則不能。
在快速算法方面，小波變換應(yīng)用于一類奇異積分算子。 這些算子在小波基礎(chǔ)上的表示幾乎是對(duì)角的，因此可以快速計(jì)算奇異算子。 隨后，等人將小波變換應(yīng)用于偏微分方程的數(shù)值求解。
在流體力學(xué)中，小波變換可以分解湍流場(chǎng)并測(cè)量其能譜。 小波基是通過母小波的平移和展開得到的。 基函數(shù)相似，因此小波變換非常適合分形表示和分形維數(shù)的計(jì)算。 通過應(yīng)用小波分析對(duì)分形進(jìn)行了詳細(xì)的研究。
在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，小波變換已應(yīng)用于磁共振成像技術(shù)，可以在40毫秒內(nèi)提供切片圖像。
在天體物理學(xué)中，小波變換已被用于自動(dòng)檢測(cè)中的信號(hào)處理。 這種數(shù)學(xué)顯微鏡能夠分析不同尺度下銀河系的碎片性質(zhì)和分形結(jié)構(gòu)等重要信息。
小波分析的前景與展望
小波分析在理論和應(yīng)用方面都取得了重要成果，對(duì)許多學(xué)科產(chǎn)生了巨大影響。 有關(guān)專家預(yù)測(cè)，小波分析的真正高潮尚未到來。 小波分析無論在理論還是應(yīng)用上都還在迅速發(fā)展，許多問題還沒有得到解決。 對(duì)以下問題的研究是非常有意義的。
(1)小波理論有待進(jìn)一步完善，特別是高維小波、多小波、復(fù)值小波、匹配小波、脊波和曲線波的數(shù)學(xué)理論和構(gòu)造方法。
(2)構(gòu)造一個(gè)能夠考慮正交性、對(duì)稱性、正則性和緊支持等特性的小波。
(3)進(jìn)一步研究最優(yōu)小波基的選擇方法。
(4)小波和分形研究。
(5)小波和分?jǐn)?shù)階傅立葉變換研究。
(6)小波變換軟件研究。
(7)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究。
(8)小波與混沌理論結(jié)合的研究。
(9)非線性小波研究及其在非線性科學(xué)中的應(yīng)用。
(10)小波在通信中的應(yīng)用。
(11)小波在物理、化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)等基礎(chǔ)科學(xué)中的應(yīng)用。
由于小波的良好特性及其在多個(gè)領(lǐng)域的成功應(yīng)用，美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)將其列為應(yīng)用數(shù)學(xué)八個(gè)前沿課題之一。 美國(guó)國(guó)防部認(rèn)為，小波分析將對(duì)未來關(guān)鍵國(guó)防技術(shù)中的信號(hào)和圖像處理產(chǎn)生重大影響。 英國(guó)皇家數(shù)學(xué)會(huì)也將小波分析列為十大重點(diǎn)發(fā)展方向之一。 法國(guó)和德國(guó)也在該領(lǐng)域的研究上投入了大量精力。 中國(guó)科學(xué)院原院長(zhǎng)周光召在其《若干基礎(chǔ)科學(xué)的發(fā)展趨勢(shì)》和現(xiàn)任院長(zhǎng)路甬祥的《科學(xué)的歷史與未來》的兩篇報(bào)告中特別強(qiáng)調(diào)了小波分析的重要性。