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有很多以偉大數學家歐拉命名的公式，其中一些公式以前已經討論過。 今天介紹一個初等幾何中的歐拉公式，將三角形內心與外心的距離表示為三角形的內切圓半徑和外接圓半徑。 現在：
其中，R為三角形ABC的外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外接圓圓心O（外心）與內切圓圓心I（圓心）之間的距離。 如下所示。
證明：
(1)連接AI，延長它，與外接圓相交于E點。然后將連接內、外圓心的線段OI向兩端延長，分別與外接圓相交于G、H點。 如下圖所示。因此，根據相交弦定理等腰三角形公式，我們有
請注意，我們這樣做是因為對要證明的歐拉公式進行簡單修改會產生 R+d 和 Rd 的乘積：
其中，(R+d)(Rd)正是兩條線段IG和HI的乘積，其中直徑GH除以內核I：HI·IG。 因此，我們只需證明線段AI和IE的乘積等于2Rr，即：
(2)如下圖所示。 連接外接圓上的E點和外接圓圓心O，得到線段EO，延長該線段并與外接圓交于F點。因此，EF為外接圓的直徑，長度為2R。 連接FC，連接EC，得到三角形CEF（圖中內部為紅色）。 再次注意三角形AID。
顯然，三角形CEF和三角形AID都是直角三角形。 和，
∠DAI=∠CAE（AI??是∠BAC的平分線）
∠CAE=∠CFE（同一弦上的圓周角相等）
所以
∠DAI=∠CFE
因此等腰三角形公式，三角形CEF與三角形AID相似，從而有
且EF=2R，DI=r。 因此，上式就變為：
前面說過，只要證明下面的公式就可以證明歐拉公式成立。
對比上面兩個方程，我們只需證明CE = IE即可。
(3) 如上圖所示，CE和IE均位于三角形ICE內。 因此，我們只需證明三角形ICE是等腰三角形即可。 為此，我們要證明兩個底角相等，即
∠EIC=∠ECI
這不難看出，因為
∠EIC=∠EAC+∠ACI（三角形的外角等于兩個不相鄰內角之和）
∠ECI=∠ECB+∠BCI
上述兩個方程中藍色標記的兩個角相等。 紅色標記的兩個角都等于∠EAB。 因此，上述兩個方程的左邊也相等。 因此，三角形ICE是等腰三角形，等腰等于等腰物理資源網，所以，
CE = IE
上面使用的方法是逆向推理。 最后我們證明了歐拉公式：