1960 年，物理學(xué)家尤金·維格納 ( ) 寫道：“數(shù)學(xué)語(yǔ)言在表達(dá)物理定律方面的充分性是一個(gè)奇跡，是我們既不理解也不配得的奇妙禮物。”
事實(shí)上，數(shù)學(xué)在揭示宇宙內(nèi)部運(yùn)作方面一再證明了其強(qiáng)大的預(yù)測(cè)能力。 這樣的例子還有很多。 在下面列出的八個(gè)數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)中，有的很快就得到了驗(yàn)證，有的花了一個(gè)世紀(jì)才最終得到驗(yàn)證，還有一些仍然停留在理論上。
我一直相信數(shù)學(xué)是理解事物輪廓和維度的最好方法。 這里最好的不僅是最有用、最經(jīng)濟(jì)，更重要的是最和諧、最美。
——詹姆斯·克拉克·麥克斯韋
1781年，天文學(xué)家用望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)天王星后，逐漸發(fā)現(xiàn)這顆行星的軌道偏離了開(kāi)普勒和牛頓定律的預(yù)測(cè)。 當(dāng)時(shí)，科學(xué)家們認(rèn)為已知的定律是完全正確的，所以只有一種可能：天王星附近還有其他物質(zhì)施加了額外的引力。 后來(lái)，天文學(xué)家約翰·考西·亞當(dāng)斯和奧本·讓·約瑟夫·勒維耶經(jīng)過(guò)詳細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算獨(dú)立預(yù)測(cè)，天王星之外還有另一顆行星影響了天王星的軌道。 他們不僅計(jì)算了這顆行星的位置，還計(jì)算了它的質(zhì)量。 1846年，天文學(xué)家 Galle發(fā)現(xiàn)海王星與勒維耶預(yù)測(cè)的位置相差不到1度。
1860 年代，詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 (James Clerk ) 編寫了麥克斯韋方程，將電、磁和光歸納為電磁場(chǎng)中的現(xiàn)象。 這些方程描述了由實(shí)驗(yàn)確定的四種現(xiàn)象：首先，電荷在其周圍的空間中產(chǎn)生電場(chǎng)； 第二，磁極總是成對(duì)出現(xiàn)； 第三，改變磁場(chǎng)會(huì)產(chǎn)生電場(chǎng)； 第四，電流產(chǎn)生磁場(chǎng)，改變電場(chǎng)也能產(chǎn)生磁場(chǎng)。 他的電磁理論后來(lái)以微分方程的形式寫成，這是描述現(xiàn)實(shí)世界的最重要的微分方程。 當(dāng)電磁理論的微分方程巧妙地組合在一起時(shí)，它們神奇地產(chǎn)生了電磁波的數(shù)學(xué)描述，包括有關(guān)電磁波的形狀、大小和速度的信息。 麥克斯韋直到最后才知道他預(yù)言的電磁波是否真的存在，或者只是他在數(shù)學(xué)指導(dǎo)下想象的產(chǎn)物。 麥克斯韋去世近10年后，物理學(xué)家海因里希·赫茲在他的實(shí)驗(yàn)室首次證明了電磁波的存在。
萬(wàn)有引力理論使我成為一名堅(jiān)定的理性主義者，在簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)中尋找唯一可靠的真理來(lái)源。
- 艾爾伯特愛(ài)因斯坦
1915年，阿爾伯特·愛(ài)因斯坦發(fā)表了新的引力理論——廣義相對(duì)論，并寫下了著名的場(chǎng)方程Gμν=8πTμν。 方程的左側(cè)包含有關(guān)物質(zhì)和能量如何彎曲時(shí)空幾何形狀的信息，而右側(cè)則描述了物質(zhì)在引力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。 場(chǎng)方程可以分解為一系列微分方程。 新理論提出六個(gè)月后，愛(ài)因斯坦通過(guò)微分方程組發(fā)現(xiàn)了對(duì)我們現(xiàn)在稱為“引力波”的物理物體的描述。 引力波可以形象地理解為時(shí)空結(jié)構(gòu)中的漣漪。 與電磁波相比，引力波更難探測(cè)。 直到2015年，科學(xué)家才首次探測(cè)到引力波。
1916年，在研究了愛(ài)因斯坦的場(chǎng)方程之后，卡爾·史瓦西找到了方程的第一個(gè)也是最重要的精確解，預(yù)測(cè)存在一個(gè)連光都無(wú)法逃脫其引力的天體——黑洞。 事實(shí)上，早在18世紀(jì)，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯和約翰·米歇爾就曾想象過(guò)類似天體的存在，但廣義相對(duì)論無(wú)疑提供了更加生動(dòng)、數(shù)學(xué)上精確的描述。 雖然黑洞本身不發(fā)光，但它周圍或被它吞噬的物質(zhì)會(huì)暴露它的行蹤。 2019年，事件視界望遠(yuǎn)鏡團(tuán)隊(duì)宣布拍攝到第一張星系中心超大質(zhì)量黑洞的照片，其性質(zhì)與廣義相對(duì)論的預(yù)測(cè)一致。
數(shù)學(xué)和物理之間似乎存在著某種深刻的聯(lián)系。 我會(huì)這樣描述這種關(guān)系：上帝是一位數(shù)學(xué)家，他構(gòu)建了物理世界，使美麗的數(shù)學(xué)能夠在其中綻放。
——保羅·狄拉克
1927 年夏天，保羅·狄拉克（有時(shí)被稱為“理論家中的理論家”）思考了一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：既符合量子力學(xué)又符合狹義相對(duì)論的粒子最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)描述是什么？ 幾個(gè)月后，他得到了答案，使用物理學(xué)家以前從未見(jiàn)過(guò)的簡(jiǎn)單方程以符合狹義相對(duì)論和量子力學(xué)的方式描述電子。 然后他證明這個(gè)方程證明了一種新粒子的存在，他稱之為“正電子”安德森物理學(xué)家，其質(zhì)量與電子相同，但電荷相反。 1932年，實(shí)驗(yàn)家卡爾·安德森在加州理工學(xué)院的一個(gè)特殊探測(cè)器中發(fā)現(xiàn)了正電子。 沃納·海森堡后來(lái)稱反物質(zhì)的成功預(yù)測(cè)“也許是 20 世紀(jì)所有物理學(xué)中最偉大的飛躍”。
1964年，彼得·希格斯和其他幾位物理學(xué)家試圖解開(kāi)粒子質(zhì)量起源之謎。 他們提出，空間中應(yīng)該存在一個(gè)看不見(jiàn)的場(chǎng)，粒子可以通過(guò)與場(chǎng)的相互作用獲得質(zhì)量。 與這個(gè)場(chǎng)有關(guān)的粒子被稱為“希格斯玻色子”。 這是純粹通過(guò)數(shù)學(xué)推理預(yù)測(cè)的粒子。 2012年，經(jīng)過(guò)多年的努力，千人科學(xué)家團(tuán)隊(duì)終于在世界上最強(qiáng)大的粒子加速器——大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)上證實(shí)了希格斯玻色子的發(fā)現(xiàn)。 這一發(fā)現(xiàn)讓整個(gè)基礎(chǔ)物理界充滿了樂(lè)觀情緒，因?yàn)樗陌l(fā)現(xiàn)標(biāo)志著20世紀(jì)粒子物理學(xué)的結(jié)束，這一漫長(zhǎng)的歷史始于1890年代末電子的發(fā)現(xiàn)。
“我們聆聽(tīng)自然的方式不僅涉及關(guān)注實(shí)驗(yàn)，還涉及嘗試?yán)斫馊绾斡米钌羁痰臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來(lái)解釋這些結(jié)果。 你可以這樣想：宇宙用數(shù)字告訴我們它的秘密。”
——阿卡尼-哈米德
1917年，愛(ài)因斯坦根據(jù)廣義相對(duì)論提出了均勻、靜態(tài)的宇宙，標(biāo)志著現(xiàn)代宇宙學(xué)的開(kāi)端。 1922年，亞歷山大·弗里德曼在求解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程時(shí)得到了宇宙的非靜態(tài)解。 他的解決方案可以描述一個(gè)膨脹或收縮的宇宙。 1927 年，喬治·勒梅特 ( Lema?tre) 在觀測(cè)證據(jù)的支持下相信我們的宇宙正在膨脹。 膨脹的宇宙意味著宇宙在遙遠(yuǎn)的過(guò)去就有一個(gè)開(kāi)始。 勒梅特后來(lái)將宇宙最初的熱狀態(tài)稱為“原始原子”。 后來(lái)，這個(gè)想法也被稱為大爆炸。 1965年，天文學(xué)家意外發(fā)現(xiàn)了宇宙微波背景輻射，這是大爆炸理論最有力的證據(jù)。
上個(gè)世紀(jì)安德森物理學(xué)家，一些理論物理學(xué)家發(fā)展了著名的弦理論英語(yǔ)作文，假設(shè)宇宙中的基本粒子實(shí)際上是由極小的弦組成的，試圖以此在最詳細(xì)的層面上統(tǒng)一對(duì)自然的描述。 然而，這一理論并不是基于我們熟悉的四維時(shí)空（三個(gè)空間維度和一個(gè)時(shí)間維度），而是基于十個(gè)維度。 除了廣義相對(duì)論可以描述的四個(gè)時(shí)空維度外，其他六個(gè)維度都卷曲在一起形成了極其復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)（其中一個(gè)維度用于描述電磁力，另外五個(gè)維度用于描述電磁力）作用于亞原子尺度的核力）。 描述這六個(gè)維度所需的空間稱為卡拉比-丘流形。 但到目前為止，實(shí)驗(yàn)學(xué)家還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何額外維度存在的證據(jù)。
自2014年夏天以來(lái)，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家越來(lái)越多地使用“物理數(shù)學(xué)”一詞。 那一年，全球弦理論界年度聚會(huì)最后一天的下午，物理學(xué)家格雷格·摩爾在普林斯頓大學(xué)發(fā)表了“愿景演講”。 摩爾在臺(tái)上踱步，提出了他的觀點(diǎn)：物理數(shù)學(xué)是物理學(xué)和數(shù)學(xué)的孩子，但它“有自己的特點(diǎn)、目標(biāo)和價(jià)值”。 他提到，盡管該學(xué)科取得了許多成功，但仍然面臨著一些巨大的挑戰(zhàn)，其中許多挑戰(zhàn)都是非常基礎(chǔ)的：“我們?nèi)匀徊涣私饬孔訄?chǎng)論和弦論。” 摩爾提到，這兩種理論都產(chǎn)生了很多新的數(shù)學(xué)思想，這意味著需要幾十年甚至幾個(gè)世紀(jì)才能完全掌握這兩個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。 他意識(shí)到，盡管物理數(shù)學(xué)取得了許多成功，但它始終受到其父母的保護(hù)的束縛：它誕生于一段“不穩(wěn)定的婚姻”，它的價(jià)值對(duì)于許多科學(xué)家來(lái)說(shuō)也是一個(gè)“詛咒”。 人們期待物理學(xué)家深入理解現(xiàn)實(shí)世界，期待數(shù)學(xué)家深入柏拉圖世界。 許多專家將“同時(shí)攪動(dòng)這兩個(gè)世界而不分輕重緩急”的想法視為洪水猛獸（至少在他們心里）。
格雷厄姆·法梅洛在書中寫道：“物理學(xué)家現(xiàn)在有兩種方法來(lái)提高他們對(duì)自然世界如何運(yùn)作的基本理解：一是從實(shí)驗(yàn)中收集數(shù)據(jù)；二是從實(shí)驗(yàn)中收集數(shù)據(jù)。” 另一個(gè)是發(fā)現(xiàn)描述宇宙基本秩序的最佳數(shù)學(xué)理論。 宇宙正在用立體聲向我們低聲訴說(shuō)它的秘密。”
從科學(xué)巨人愛(ài)因斯坦到量子力學(xué)大師保羅·狄拉克，許多數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家都曾困惑過(guò)這樣一個(gè)問(wèn)題：為什么物理學(xué)家創(chuàng)造的描述現(xiàn)實(shí)世界的理論最終會(huì)變成數(shù)學(xué)家用自己的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)構(gòu)建的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)？純粹的想法？ 為什么宇宙恰好是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)書寫的？ 事實(shí)上，這種現(xiàn)象就是物理學(xué)家維格納所說(shuō)的“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的不合理有效性”。
300多年來(lái)，物理學(xué)和數(shù)學(xué)有時(shí)并駕齊驅(qū)，有時(shí)卻漸行漸遠(yuǎn)。 進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家越來(lái)越意識(shí)到這兩個(gè)學(xué)科交叉的意義。 在數(shù)學(xué)與理論物理密切合作的領(lǐng)域，取得了豐碩的成果，兩個(gè)學(xué)科的發(fā)展也相互補(bǔ)充、促進(jìn)。
未來(lái)，人類或許無(wú)法通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證物理理論的真實(shí)性和準(zhǔn)確性。 未來(lái)理論物理研究的進(jìn)步可能是幾千年的規(guī)模，20世紀(jì)將不再出現(xiàn)相對(duì)論、量子力學(xué)等全面的革命性理論。 但在高等數(shù)學(xué)這一新武器的幫助下，我們?nèi)匀豢梢韵嘈牛瑥拈L(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，理論物理的未來(lái)是光明的。
圖片來(lái)源：LIGO/CERN/EHT/諾貝爾獎(jiǎng)