導數在數學分析和物理學中被廣泛用于描述復雜的函數和變量，其中可能包括電壓、化學反應和運動速度。
這是任何難以或不可能用常數值描述的量。例如，行駛中的汽車在行駛過程中加速和減速多次，其速度就是如此。函數的數學導數旨在描述、系統化和分析這些量。
函數的導數
根據官方定義，導數是函數自變量趨近于零時，函數的增量與其自變量的增量之比的極限。計算導數的過程稱為微分。只有當函數具有有限導數時，它才被稱為可微的。
函數可以描述為一個量對另一個量的依賴關系，并在坐標平面上繪制為一條線。對其進行區分：
導數將顯示 y 值的增量大于或小于 x 值的增量的倍數。這些增量的比率描述為 dy/dx，導數為 f(x)。
一點歷史
早在 15 世紀，數學家就已開始使用導數 - 用于確定炮彈射程與炮傾斜度的關系。意大利數學家是第一個使用這種技術的。
17 世紀，瑞士的伯努利兄弟開始認真研究導數。弟弟約翰·伯努利（ ）于 1687 年出版了第一本系統介紹微積分的著作，成為《無窮小分析》的基礎。到 1742 年，這位科學家還完成了積分學課程的開發，并提出了求解常微分方程的新方法。
約翰的弟弟雅各布·伯努利利用導數求出平坦曲線的曲率，并以此研究對數螺線。“積分”這個名稱是雅各布·伯努利取的，事實上，“積分”與微分相反。
17、18世紀之交，伯努利兄弟對導數的研究做出了巨大貢獻，奠定了數學變分法的基礎。
17 至 19 世紀的歐洲，其他杰出的科學家也參與了導數的研究：萊布尼茨、牛頓、拉格朗日、雅可比、魏爾斯特拉斯、勒讓德。例如，微分的現代符號 - d(x) - 是由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨 ( ) 引入的，而素數導數的符號 - f'(x) - 是由約瑟夫·路易斯·拉格朗日 ( Louis ) 引入的。
“導數”這個詞本身最早是由拉格朗日于1797年使用的，該詞是從法語deree翻譯而來的，源于“衍生”。
隨后許多歐洲數學家都使用了法國引入的符號對數函數求導，而“delta”（?）符號直到 1853 年才由愛爾蘭數學家羅文出現。
過山車類比
為了便于理解該函數并求導，可以將其與世界聞名的游樂設施——過山車進行簡單的類比。如果從側面看，即使用眼睛也可以確定車子運動的主要特征，而無需進行復雜的計算：它在哪些區域上升/下降，在哪里加速/減速，在上升/下降之間會跨越多少次邊界。
平面上繪制的函數可以用完全相同的方式描述。在不同區域，它以不同的方式增加和減少 - 這個過程可以用導數來描述和確定。為此，我們引入以下定義：
參數 x 的增量越小，計算越準確。當獨立變量的增量趨近于零時，精度最高。在這種情況下，求導數將需要非常大量的計算，接近無窮大（根據精度/梯度進行調整）。
如果這項任務對于人類來說太難對數函數求導，那么現代計算機可以立即處理。使用特殊的在線應用程序就足夠了，這些應用程序可以使用輸入的數據找到函數的導數，即使它們包含在具有正弦、余弦、根和指數的復雜公式中。