導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中被廣泛用于描述復(fù)雜的函數(shù)和變量，其中可能包括電壓、化學(xué)反應(yīng)和運(yùn)動(dòng)速度。
這是任何難以或不可能用常數(shù)值描述的量。例如，行駛中的汽車在行駛過程中加速和減速多次，其速度就是如此。函數(shù)的數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)旨在描述、系統(tǒng)化和分析這些量。
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
根據(jù)官方定義，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)自變量趨近于零時(shí)，函數(shù)的增量與其自變量的增量之比的極限。計(jì)算導(dǎo)數(shù)的過程稱為微分。只有當(dāng)函數(shù)具有有限導(dǎo)數(shù)時(shí)，它才被稱為可微的。
函數(shù)可以描述為一個(gè)量對另一個(gè)量的依賴關(guān)系，并在坐標(biāo)平面上繪制為一條線。對其進(jìn)行區(qū)分：
導(dǎo)數(shù)將顯示 y 值的增量大于或小于 x 值的增量的倍數(shù)。這些增量的比率描述為 dy/dx，導(dǎo)數(shù)為 f(x)。
一點(diǎn)歷史
早在 15 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家就已開始使用導(dǎo)數(shù) - 用于確定炮彈射程與炮傾斜度的關(guān)系。意大利數(shù)學(xué)家是第一個(gè)使用這種技術(shù)的。
17 世紀(jì)，瑞士的伯努利兄弟開始認(rèn)真研究導(dǎo)數(shù)。弟弟約翰·伯努利（ ）于 1687 年出版了第一本系統(tǒng)介紹微積分的著作，成為《無窮小分析》的基礎(chǔ)。到 1742 年，這位科學(xué)家還完成了積分學(xué)課程的開發(fā)，并提出了求解常微分方程的新方法。
約翰的弟弟雅各布·伯努利利用導(dǎo)數(shù)求出平坦曲線的曲率，并以此研究對數(shù)螺線。“積分”這個(gè)名稱是雅各布·伯努利取的，事實(shí)上，“積分”與微分相反。
17、18世紀(jì)之交，伯努利兄弟對導(dǎo)數(shù)的研究做出了巨大貢獻(xiàn)，奠定了數(shù)學(xué)變分法的基礎(chǔ)。
17 至 19 世紀(jì)的歐洲，其他杰出的科學(xué)家也參與了導(dǎo)數(shù)的研究：萊布尼茨、牛頓、拉格朗日、雅可比、魏爾斯特拉斯、勒讓德。例如，微分的現(xiàn)代符號(hào) - d(x) - 是由戈特弗里德·威廉·萊布尼茨 ( ) 引入的，而素?cái)?shù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào) - f'(x) - 是由約瑟夫·路易斯·拉格朗日 ( Louis ) 引入的。
“導(dǎo)數(shù)”這個(gè)詞本身最早是由拉格朗日于1797年使用的，該詞是從法語deree翻譯而來的，源于“衍生”。
隨后許多歐洲數(shù)學(xué)家都使用了法國引入的符號(hào)對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，而“delta”（?）符號(hào)直到 1853 年才由愛爾蘭數(shù)學(xué)家羅文出現(xiàn)。
過山車類比
為了便于理解該函數(shù)并求導(dǎo)，可以將其與世界聞名的游樂設(shè)施——過山車進(jìn)行簡單的類比。如果從側(cè)面看，即使用眼睛也可以確定車子運(yùn)動(dòng)的主要特征，而無需進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算：它在哪些區(qū)域上升/下降，在哪里加速/減速，在上升/下降之間會(huì)跨越多少次邊界。
平面上繪制的函數(shù)可以用完全相同的方式描述。在不同區(qū)域，它以不同的方式增加和減少 - 這個(gè)過程可以用導(dǎo)數(shù)來描述和確定。為此，我們引入以下定義：
參數(shù) x 的增量越小，計(jì)算越準(zhǔn)確。當(dāng)獨(dú)立變量的增量趨近于零時(shí)，精度最高。在這種情況下，求導(dǎo)數(shù)將需要非常大量的計(jì)算，接近無窮大（根據(jù)精度/梯度進(jìn)行調(diào)整）。
如果這項(xiàng)任務(wù)對于人類來說太難對數(shù)函數(shù)求導(dǎo)，那么現(xiàn)代計(jì)算機(jī)可以立即處理。使用特殊的在線應(yīng)用程序就足夠了，這些應(yīng)用程序可以使用輸入的數(shù)據(jù)找到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即使它們包含在具有正弦、余弦、根和指數(shù)的復(fù)雜公式中。