1.已知一顆繞地球中心做勻速圓周運動的衛星,其軌道半徑為r,地球的質量為M,則各物理量與軌道半徑的關系為:
① 通過
衛星的向心加速度為:
;
② 通過
衛星的線速度為:
;
③ 通過
衛星的角速度為:
;
④ 通過
該衛星的軌道周期為:
;
⑤ 通過
衛星的動能為:
;
即隨著軌道半徑逐漸增大,向心加速度a、線速度v、角速度ω、動能Ek會逐漸減小,周期T會逐漸增大。
2.利用萬有引力定律求出衛星的高度:
通過觀測衛星的周期T、行星表面的重力加速度g和行星的半徑R,可以計算出衛星的高度。
3. 近地衛星和赤道靜止物體
① 以勻速繞地球運轉的衛星稱為近地衛星。其軌道半徑可認為等于地球半徑R0,軌道平面通過地心。已知地球表面重力加速度為g0,則
取決于
必須:
;
取決于
必須:
;
取決于
必須:
。
將地球半徑R0=6.4×106m、g0=9.8m/s2代入上式,可得v=7.9×103m/s、ω=1.24×10-3rad/s、T=5074s,
衛星的向心加速度都小于地面重力加速度,
和
且衛星的軌道半徑r>R0,因此所有繞地球做勻速圓周運動的衛星的線速度v均小于7.9×103米/秒,角速度ω小于1.24×10-3rad/s,周期T大于5074s。
②特別需要指出的是,對于靜止在地球表面的物體,雖然地球作用于該物體的重力也是mg,而且雖然該物體隨地球的自轉而自轉,并繞著地球軸做勻速圓周運動,且運轉周期等于地球的自轉周期,與近地衛星、同步衛星類似,但它的軌道平面并不一定通過地心,如圖所示。只有當緯度θ=0°,也就是物體在赤道上時,軌道平面才有可能通過地心。地球引力F作用于物體的一個分力是使物體做勻速圓周運動所需的向心力f=mω2r,另一個分力就是物體的重力mg,也就是引力F不等于物體的重力mg。 只有當r=0時,即物體位于兩極時,因為f=mω2r=0,所以F才等于mg。
③隨地球自轉在赤道做圓圈運動的物體與近地衛星的區別:
A. 赤道處物體受到的引力只有一小部分是向心力,其余都是重力,使物體緊緊地貼在地面上。而近地衛星受到的引力全部是向心力,衛星已經離開地球了。
B.赤道處(地球上)的物體相對于地球保持靜止狀態,而近地衛星相對于地球則處于高速旋轉的狀態。
4. 衛星超重與失重
“超重”是指衛星進入軌道時的加速上升過程和回收時的減速下降過程,與“電梯”中物體的超重是一樣的。“失重”是指衛星進入軌道并正常運行時,衛星上物體的完全“失重”(因為重力提供了向心力)。此時衛星上一切制造原理與重力有關的儀器都無法正常使用,如水銀氣壓表、天平、密度計、電子秤、擺鐘等。
5.衛星軌道變化問題
衛星由低軌道向高軌道運動時,需要加速,加速后做離心運動,勢能增大,動能減小,在高軌道做圓周運動時,速度比在低軌道時要低。
當人造衛星以第一宇宙速度發射時,它將繞地球表面做勻速圓周運動;如果它的發射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間,它將繞地球做橢圓運動。有時,為了使衛星繞地球做圓周運動,需要在衛星發射后的橢圓運動過程中再次點火,以達到預定的圓形軌道。設第一宇宙速度為v,則第一宇宙速度的推導過程為
如果衛星發射時的速度v1>v,在地球表面,衛星就會受到地球引力的影響。
它應該小于衛星以v1繞地球做圓周運動所需的向心力m
,所以從此時起,衛星將做離心運動。隨著衛星離地心越來越遠,其速度也不斷減小。在其橢圓軌道遠地點(離地心的距離為R′)時,速度為v2(v2<v1)。此時,由于G
>米
從此時起,衛星向心運動,同時速度增加,從而在橢圓軌道上繞地球做周期性運動。如果衛星在遠地點加電衛星的向心加速度都小于地面重力加速度,使其速度突然增加到v3,G
=米
,則衛星就能以速度v3、半徑R'繞地球做勻速圓周運動。同樣,在回收衛星時,如果選擇合適的時機,突然降低圓周運動衛星的速度,衛星就會沿橢圓軌道向心運動,而橢圓與預定的回收位置相切或相交,衛星就能被成功回收。