概括
機是普通物理與力學部分中常見的模型，涉及到軸固定的剛體轉動過程中角速度、角加速度等物理量的相關計算。本文利用PASCO旋轉傳感器搭建了簡易機裝置，考慮滑輪轉動慣量對實驗的影響，測得重力加速度為g=9.618±0.051m/s2。之后本文進一步考慮旋轉軸承摩擦力矩的影響，通過改變裝置的釋放條件對摩擦力矩進行修正，測得重力加速度為g=9.791±0.028m/s2。所搭建的裝置及實驗方法具有普適性，可作為大學物理實驗的內容，提高學生的動手能力和理論聯系實際的能力。
關鍵詞：阿特伍德機；重力加速度；轉動慣量；摩擦扭矩；空氣阻力
是模型，其中的和在剛體定軸上。本文利用Pasco建立。在上的的，為g=9.618±0.051m/s2。然后，本文將的，和的結合起來，可得的為g=9.791±0.028m/s2。和為，可分別作為的和的。
空氣之鑰
阿特伍德機（ ，簡稱機）是由英國牧師、數學家、物理學家喬治·阿特伍德（ ）于1784年在其《論物體的直線運動和轉動運動》一文中提出的，是一種用來測量加速度、驗證運動規律的機器。阿特伍德機的簡單結構通常是一根細繩繞在定滑輪上，細繩兩端各掛一個重物。該裝置的理論分析涉及力矩、加速度、角加速度、轉動慣量等物理量。由于重力力矩與重力加速度有關，如果能精確測量加速度或角加速度，也可以用阿特伍德機來測量重力加速度。但在國內普通物理實驗室中，與阿特伍德機有關的力學實驗還很少。 在少數利用機測量重力加速度的文獻中，通常忽略滑輪及其連桿的轉動慣量、空氣阻力或滑輪摩擦力矩(例如文獻[1]忽略摩擦力矩而考慮了空氣阻力的影響)對實驗結果的影響，測量精度不高。
我們利用PASCO旋轉傳感器和配套的滑輪搭建了機，配套PASCO傳感器的軟件可以測量滑輪轉角隨時間的變化θ(t)，借助軟件可以自動計算出角速度ω(t)，非常方便在一次實驗中測量大量的數據，并對測量的數據進行分析。為了準確測量重力加速度，需要考慮滑輪軸的摩擦力矩和空氣阻力的影響。在實驗中我們首先忽略這兩個因素，只考慮轉動慣量，重點研究數據的處理方法以及忽略它所造成的系統誤差的數量級；然后再考慮對這兩個因素的修正。從數量級分析可以看出，對于我們采用的裝置，摩擦力矩的影響是主要的，空氣阻力的影響是次要的。 通過本次實驗的探索，希望能夠完善機測量重力加速度或其他力學參數的數據處理方法和實驗步驟，為將機實驗引入普通物理實驗教學提供參考。
1 實驗原理
我們先忽略輪軸的摩擦力矩和空氣阻力的影響。設滑輪的轉動慣量為I，半徑為R，繩索右邊的拉力為T1，左邊的拉力為T2，重力加速度為g。設左端重物的質量大于右端重物的質量m1>m2，則加速度a的方向如圖所示。
對于 m1 和 m2，根據牛頓第二定律
對于滑輪，忽略軸上的摩擦力矩，根據剛體轉動定理
假設輪繩不打滑，輕繩不伸長，角加速度α與加速度a的關系為
考慮到傳感器配套軟件可以根據實驗中大量的數據自動計算出角速度隨時間的變化ω(t)，我們將上述方程組合起來，整理后得到
從上式可以看出，當m1和m2均確定時，角加速度α為常數，可以通過ω(t)曲線線性擬合得到。
從公式（4）還可以看出，當m1+m2（重物質量之和）為常數時，角加速度α與m1-m2（重物質量差）成正比。實驗中通過固定重物質量及m1+m2，改變重物質量差m1-m2，測得多組角加速度α，經線性擬合得到的斜率k為：
公式（5）中還隱藏著另一個線性關系：
此時，改變砝碼質量與m1+m2，用前面的方法求出相應的斜率k，斜率1/k的倒數與砝碼質量與m1+m2也滿足線性關系，通過線性擬合得到斜率R/g，進而得到重力加速度g，由截距也可以得到轉動慣量I。
綜上所述，忽略摩擦力矩和空氣阻力，結合新型光電測量裝置PASCO旋轉傳感器的特點，在機基本理論公式的基礎上，得到了一種通過三次直線擬合計算重力加速度和轉動慣量的數據處理方法。
2 實驗設置和程序
實驗裝置包括：由底座、支架、重物和重物板組成的機主體、細繩、旋轉傳感器（圖2）；PASCO 850接口和計算機組成數據采集處理系統。同時，我們對實驗裝置進行了進一步的改進：由于在實際運動過程中，兩端繩索的長度會發生變化，導致裝置兩端的質量差不恒定，因此采用同樣細的繩索連接重物板的底部[4]。簡單分析可知，運動過程中兩端的質量差是恒定的，不受繩索重量的影響。
實驗時，將整個裝置置于水平面上，用水平儀調整底座水平，垂直固定支架。旋轉傳感器固定在支架上，通過PASCO通用接口與計算機連接。細繩兩端的重物板上放置不同質量的重物，待重物穩定靜止后松開重物。由于重物質量不同，在重力作用下，重物加速下落，輕物加速上升，滑輪加速旋轉。PASCO終端會記錄角度隨時間的變化，并輸出系統中角速度隨時間變化的圖像。具體實驗步驟如下：
（1）正確組裝實驗裝置，調整水平、垂直位置關系；
（2）使用PASCO軟件，調整旋轉傳感器的連接，選擇采樣率為50Hz，開始記錄數據；
（3）固定重物質量m1+m2為510g，設定重物質量差m1-m2為10g，將重物從靜止狀態松開，重物加速，測量角速度ω(t)，用軟件擬合出角加速度α1，然后增加質量差10g，測量αi 6-7次，將數據記錄在表格中；
（4）將質量和m1+m2減少40g，重復步驟3。
3 數據處理與結果分析
該部分實驗數據如表1所示，表1中標題行是質量和，標題列是質量差。表中數據分別為軟件在不同重量質量m1+m2、不同重量質量差m1-m2下擬合出的滑輪角加速度值。
表1中除標題欄外，各列數據均為質量和m1+m2固定，不同質量差m1-m2下的角加速度。對各列按照公式（4）進行直線擬合，得到相應的斜率k。我們將質量和及對應的斜率列于表2中。
表2中斜率k的倒數1/k與公式（6）中的質量及m1+m2滿足線性關系，通過直線擬合得到的斜率（見圖3）為R/g，其中，R為滑輪半徑，g為重力加速度。
表3為通過修改后的游標卡尺對帶輪直徑進行測量的結果，可計算出直徑的平均值47.84 mm，不確定度為0.024 mm，考慮到修改帶來的誤差，粗略估計直徑的最終不確定度為0.05 mm。
利用Excel軟件中函數與公式（6）相結合進行直線擬合，該函數還可以給出斜率和截距的標準差，重力加速度g的相對不確定度可以估算為
最終計算出的重力加速度為
可以看出，上述結果相對于當地重力加速度g=9.7936m/s2來說，是比較小的。
結合公式（6），還可計算出帶輪（包括軸和軸承）的等效轉動慣量：
滑輪質量約為7.0g，假設質量全部集中在邊緣，估算的I值為4.05×10-6kg·m2，可見雖然轉動慣量測量結果的相對不確定度比重力加速度的相對不確定度要大，但數量級與估算值是一致的。
4 修正軸承摩擦扭矩的影響
以上討論中，我們未考慮軸承摩擦力矩和空氣阻力的影響，主要探索適合該裝置的實驗測量和數據處理方法。接下來，我們將進一步考慮摩擦力矩和空氣阻力的影響。對于質量為m1和m2的重物在運動過程中所受的空氣阻力，可根據空氣阻力公式[4]估算其數量級。
其中，C為空氣阻力系數，與物體迎風面積S、物體光滑程度、整體形狀等特征面積有關，通常可通過實驗確定，對一般平面體取1；ρ為空氣密度，對正常干空氣可取1.293g/L；v為質量塊與空氣的相對運動速度，最大角速度約為70rad/s重力加速度g，半徑R=23.9mm，迎風面積約為4cm2，質量取200g。由此可估算出空氣阻力引起的重力加速度偏差gf為
可以看出，其對測量結果的影響在小數點后第三位，在目前的實驗精度下我們暫時不考慮這一點。
接下來，我們考慮軸承摩擦扭矩的影響。摩擦扭矩通常與軸載荷和旋轉角速度有關[2,3]，可寫為
其中，M為總摩擦扭矩，MT和Mω分別為受載荷影響的摩擦扭矩和受角速度影響的摩擦扭矩。通常的研究策略是尋找適用于特定結構軸承的摩擦扭矩經驗公式，通過實驗確定經驗公式中的未知系數，然后代入理論公式進行分析。我們在前文實驗中觀察到PASCO軟件輸出的角速度-時間曲線ω(t)為一條直線（見圖4），說明在我們的實驗中可以忽略角速度引起的摩擦扭矩。即便如此，確定載荷與摩擦扭矩之間的關系依然比較困難。我們能不能不從這個方向入手，而是直接從實驗原理入手，探索摩擦扭矩的修正方法？
考慮到摩擦扭矩的影響（圖5），之前的公式（1）至（3）將變為
其中，M為軸承旋轉過程中產生的摩擦力矩，這里取絕對值，考慮到摩擦力矩對旋轉的阻礙作用，在其前面加一個負號（選取上一實驗中忽略摩擦力矩時滑輪逆時針旋轉對應的垂直于紙張的角速度方向為正方向）。
如果我們可以寫出另一個方程，其中摩擦力矩前面的符號為正，那么可能會出現可以抵消的情況。摩擦力矩的方向總是與角速度的方向相反。如果我們保持 m1 和 m2 不變，滑輪順時針旋轉，導致角速度方向相反，在這種情況下，我們有
其中，T'1、T'2、M'分別為滑輪順時針旋轉時繩索張力和摩擦力矩，均為絕對值。由于角速度方向相反，摩擦力矩前的符號變為正號，導致角加速度和加速度不同，繩索張力和摩擦力矩會有細微的變化，我們用帶撇號的符號表示。
在不考慮摩擦力矩的情況下，滑輪順時針和逆時針旋轉時，角加速度應該相等。在實驗中我們發現，當質量和m1+m2一定時，不同方向旋轉的角加速度相差不大，說明摩擦力矩M的變化比較小，可以認為
結合方程（13）至（15），消去 M 和 M′，可得
當不考慮摩擦力矩時，公式（4）可變形為類似的形式：
可以看出，將忽略摩擦扭矩公式中的α替換為順時針和順時針角加速度的平均值（α+α′）/2后，可以采用先前的數據處理方法，在測量中消除軸承摩擦扭矩的影響。
在上述過程中，空氣阻力的影響也被削弱了。由于速度不同，兩種情況下（順時針和逆時針旋轉）的空氣阻力f的大小并不完全相同，因此f和f'的大小可能不完全相同，但至少是在同一數量級。寫出考慮空氣阻力的牛頓第二定律
當兩個方程相加時，f 和 f′ 也可以由于它們的符號相反而抵消大部分影響。
上述消除摩擦力矩影響的思路在實驗操作中可以很方便地實現：在忽略摩擦力矩的實驗中，通常將兩側質量不同的重物從靜止狀態釋放，此時重物m1下降，輕物m2上升；如果我們改變初始釋放條件，先將輕物m2快速拉下，再快速釋放，則m2會先減速后加速上升。也就是說，通過上述方式改變初始釋放條件，在一次實驗中，滑輪便可以朝兩個不同的方向轉動。綜上所述，我們從理論和實驗方法上提出了一種修正摩擦力矩的思路，與前面的數據處理完全兼容重力加速度g，同時也能有效降低空氣阻力的影響。
圖6是該部分實驗某一步的軟件截圖，圖中所示的數據包括9次重復測量。如圖所示，向下的曲線為測量過程，我們實驗中的裝置高度為1.2m，一次測量過程耗時約1s，重量塊移動約50cm。向上的曲線為拉動過程，人工拉動過程中可能會出現數據波動和輪繩相對滑動，但拉動過程的數據不用于計算。
5 最終結果
考慮摩擦力矩的影響，加速和減速階段得到的角加速度（α+α′）/2的平均值及質量和質量差值表如表4所示。考慮到砝碼塊的公稱質量與實際質量差別很小，每次利用砝碼個數計算實際質量和與質量差值，擬合得到的實際質量和、公稱質量和與斜率倒數的對應關系如表5所示。
表5中的數據用直線擬合，重力加速度計算為
由于數據集的數量增加（表2中的11組增加到表5中的13組），并且使用實際質量和代替名義質量和，不確定度有所下降。對于數據處理中使用的質量差，我們在表4中也用實際值代替名義值。但由于每次使用的權重并不完全相同，導致某個名義質量差對應的每次實驗的實際質量差并不嚴格一致，因此表中未列出這部分數據。表5中的反斜率1/k是通過擬合實際質量差得到的。
本節在考慮摩擦力矩影響的實驗中，我們改變了實驗的初始釋放條件，以降低摩擦力矩的影響，避免了尋找或推導具體的摩擦力矩公式，也避免了摩擦力矩相關參數的確定。空氣阻力的影響也被削弱，得到了更準確的重力加速度值。武漢當地重力加速度為g=9.7936m/s2，我們最終的實驗結果為g=9.791±0.028m/s2，與當地標準值相一致。
六，結論
在利用阿特伍德機精確測量重力加速度的實驗中，我們完成了以下工作：
首先搭建了基于PASCO旋轉傳感器的實驗裝置，忽略摩擦力矩，優化測量和數據處理方法（三次直線擬合），測得重力加速度g=9.618±0.051m/s2，粗略測得滑輪和軸的轉動慣量I，提出并改進了數據處理方法，為利用機精確測量重力加速度奠定了基礎。
其次，在考慮摩擦力矩時，利用摩擦力矩方向與角速度方向相反的特點，不需要摩擦力矩的具體表達式或數值，通過改變實驗的初始釋放條件對摩擦力矩進行修正，同時改進裝置，精確測量質量，得到了較為準確的結果，即重力加速度g=9.791±0.028m/s2。簡單有效地對摩擦力矩和空氣阻力進行了修正，在有限的實驗條件下，顯著提高了用機測量重力加速度的精度。
總體來說，本實驗巧妙地將經典的機實驗與現代光電測量儀器相結合，通過優化測量和數據處理方法、改變實驗的初始釋放條件，精確測量了重力加速度g，測量精度幾乎達到了PASCO裝置的極限。本實驗可以作為高校的普通物理實驗開展，提高學生理論聯系實際的能力。希望本文的探討對相關物理實驗教學和理論教學有一定的參考意義。
參考
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王玲, 黃國偉, 楊建英. 論著[J]. , 1993, 13(1): 68-72. (in )
[4] G O.的“作品”[J]. , 2001, 39(3): 154-158.
資助項目：武漢大學教育教學改革與建設指導專項項目武漢大學通識教育3.0（2020-ybts-08）。
通訊作者：王曉峰，男，武漢大學副教授，主要從事普通物理及物理實驗教學工作。
引用格式：陳學鵬, 姜伯浩, 侯天池, 等. 利用機精確測量重力加速度[J]. 物理與工程, 2023, 33(1): 95-100,106.
引用本文：陳小平，姜秉華，侯天琪，等。使用[J]。，2023，33（1）：95-100，106。
結尾
