貢獻(xiàn)者：addis;
預(yù)備知識(shí)一階線性微分等式什么是利用大氣壓強(qiáng)，理想二氧化碳分壓定理，積分多項(xiàng)式
圖1：按照以及分壓定理得到的大氣浮力隨高度變化圖，假定大氣中沒(méi)有水蒸汽且氣溫恒定（來(lái)自維基百科）
現(xiàn)實(shí)中觀測(cè)到大氣濕度隨高度的降低而會(huì)發(fā)生變化，因而不能將大氣簡(jiǎn)單地視為處于平衡態(tài)的熱力學(xué)系統(tǒng)，這其中涉及到非平衡態(tài)的熱力學(xué)機(jī)制。下邊我們將建立兩個(gè)較好的理論模型：等溫大氣模型和干絕熱大氣模型。濕絕熱大氣模型就能更好地解釋大氣氣溫隨高度變化的一些現(xiàn)象（比如一座高山的順風(fēng)面和背風(fēng)面可能存在溫差），這在氣象學(xué)中是很重要的一個(gè)理論：濕絕熱多項(xiàng)式。
1.等溫大氣模型
以下介紹一個(gè)理想模型。假定大氣是理想二氧化碳，密度隨高度變化為$rho(z)$。所以高度$z$處浮力為
begin{}P(z)=int_{z}^inftyrho(z')g,txrzbvzd{z'}~.end{}
其中因?yàn)榇髿忾L(zhǎng)度遠(yuǎn)大于月球直徑，我們?nèi)?g$為常數(shù)。依據(jù)理想二氧化碳狀態(tài)多項(xiàng)式什么是利用大氣壓強(qiáng)，
begin{}PV=nRT~.end{}
先假定大氣只是由一種分子構(gòu)成，摩爾質(zhì)量為$mu$，即$m=nmu$，代入有
begin{}P=frac{m}{muV}RT=frac{R}{mu}rhoT~,end{}
其中$P,T,rho$都是高度的函數(shù)。代入得關(guān)于$rho(z)$的積分多項(xiàng)式
begin{}frac{R}{mu}rho(z)T(z)=int_{z}^inftyrho(z')g,txrzbvzd{z'}~.end{}
一般來(lái)說(shuō)海拔越高的地方溫度越低，假如$T(z)$是已知的，就可以解出$rho(z)$。多項(xiàng)式兩側(cè)對(duì)$z$導(dǎo)數(shù)，整理得
begin{}rho'(z)+frac{1}{T(z)}left[T'(z)+frac{mug}{R}right]rho(z)=0~.end{}
這是一個(gè)一階線性微分多項(xiàng)式，可以直接用公式求解。把解出的$rho(z)$代入即可求出對(duì)應(yīng)的浮力$P(z)$。
作為一種簡(jiǎn)單情況，假定氣溫不隨高度變化（實(shí)際上，空氣的熱導(dǎo)率很小，考慮成絕熱過(guò)程能得到愈發(fā)精確的結(jié)果），這么多項(xiàng)式變?yōu)槌Ｏ禂?shù)的
begin{}rho'(z)+frac{mug}{RT}rho(z)=0~,end{}
容易解得
begin{}rho(z)=rho_0expleft(-frac{mug}{RT}zright)~,end{}
或則
begin{}P(z)=P_0expleft(-frac{mug}{RT}zright)~,end{}
其中$rho_0,P_0$是某個(gè)高度$z_0$處的大氣密度和氣壓。這說(shuō)明恒溫條件下氣壓隨海拔下降呈指數(shù)增長(zhǎng)，且氣溫越低增長(zhǎng)越快。
當(dāng)大氣中有多種二氧化碳時(shí)，可以對(duì)每種氨氣分別求解，把$P_0$替換為改二氧化碳在$z_0$處的分壓。總密度就是每種二氧化碳的密度之和。大氣中的水蒸汽同樣也可能隨著高度變化。
2.干絕熱大氣模型
假定大氣是理想二氧化碳，其熱導(dǎo)率很小，所以大氣的對(duì)流過(guò)程可以近似考慮成絕熱過(guò)程（實(shí)驗(yàn)表明隨著高度的降低大氣濕度驟降，這說(shuō)明不宜用等溫大氣模型），即
begin{}begin{}&begin{cases}&PV_m^gamma=C\&V_m=frac{RT}{P},P=frac{rhoRT}{mu}end{cases}\&\rho^{1-gamma}T=C'\&(1-gamma)T,txrzbvzd{rho}+rho,txrzbvzd{T}=0~,end{}end{}
這么變?yōu)?span style="display:none">RGu物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
begin{}frac{gamma}{gamma-1}T'(z)=-frac{mug}{R}~.end{}
積分得
begin{}begin{}T&=T_0-int_{z_0}frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{R},txrzbvzd{z}\&T_0left[1-frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{RT_0}zright]~,\P&=P_0left[1-frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{RT_0}zright]^{gamma/(gamma-1)}~.end{}end{}
室溫$T$總是$>0$的，且大氣的絕熱指數(shù)$gamma>1$，這意味著氣溫隨高度的降低而減低。可以借助二氧化碳潛熱量公式約去$gamma$，積分得：
begin{}T=T_0-int_{z_0}frac{mug}{c_{p,m}},txrzbvzd{z}~,end{}
$mu,c_{p,m}$可近似看成常數(shù)。大氣的摩爾質(zhì)量為$29rm{gcdotmol^{-1}}$，摩爾定壓潛熱約為$29rm{Jcdotmol^{-1}K^{-1}}$，因而估算得
begin{}begin{}&T=T_0-frac{mug}{c_{p,m}}z~,\&TT_0-zcdot10rm{K/km}~.end{}end{}
即每升高三千米，氣溫增加約$10$攝氏度。該數(shù)值稱為干絕熱遞減率。
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但是可以驗(yàn)證，當(dāng)$gamma$趨近于$1$時(shí)，下邊的多項(xiàng)式就變?yōu)榈葴啬Ｐ偷拇髿飧×健?span style="display:none">RGu物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))