貢獻者：addis;
預備知識一階線性微分等式什么是利用大氣壓強，理想二氧化碳分壓定理，積分多項式
圖1：按照以及分壓定理得到的大氣浮力隨高度變化圖，假定大氣中沒有水蒸汽且氣溫恒定（來自維基百科）
現實中觀測到大氣濕度隨高度的降低而會發生變化，因而不能將大氣簡單地視為處于平衡態的熱力學系統，這其中涉及到非平衡態的熱力學機制。下邊我們將建立兩個較好的理論模型：等溫大氣模型和干絕熱大氣模型。濕絕熱大氣模型就能更好地解釋大氣氣溫隨高度變化的一些現象（比如一座高山的順風面和背風面可能存在溫差），這在氣象學中是很重要的一個理論：濕絕熱多項式。
1.等溫大氣模型
以下介紹一個理想模型。假定大氣是理想二氧化碳，密度隨高度變化為$rho(z)$。所以高度$z$處浮力為
begin{}P(z)=int_{z}^inftyrho(z')g,txrzbvzd{z'}~.end{}
其中因為大氣長度遠大于月球直徑，我們取$g$為常數。依據理想二氧化碳狀態多項式什么是利用大氣壓強，
begin{}PV=nRT~.end{}
先假定大氣只是由一種分子構成，摩爾質量為$mu$，即$m=nmu$，代入有
begin{}P=frac{m}{muV}RT=frac{R}{mu}rhoT~,end{}
其中$P,T,rho$都是高度的函數。代入得關于$rho(z)$的積分多項式
begin{}frac{R}{mu}rho(z)T(z)=int_{z}^inftyrho(z')g,txrzbvzd{z'}~.end{}
一般來說海拔越高的地方溫度越低，假如$T(z)$是已知的，就可以解出$rho(z)$。多項式兩側對$z$導數，整理得
begin{}rho'(z)+frac{1}{T(z)}left[T'(z)+frac{mug}{R}right]rho(z)=0~.end{}
這是一個一階線性微分多項式，可以直接用公式求解。把解出的$rho(z)$代入即可求出對應的浮力$P(z)$。
作為一種簡單情況，假定氣溫不隨高度變化（實際上，空氣的熱導率很小，考慮成絕熱過程能得到愈發精確的結果），這么多項式變為常系數的
begin{}rho'(z)+frac{mug}{RT}rho(z)=0~,end{}
容易解得
begin{}rho(z)=rho_0expleft(-frac{mug}{RT}zright)~,end{}
或則
begin{}P(z)=P_0expleft(-frac{mug}{RT}zright)~,end{}
其中$rho_0,P_0$是某個高度$z_0$處的大氣密度和氣壓。這說明恒溫條件下氣壓隨海拔下降呈指數增長，且氣溫越低增長越快。
當大氣中有多種二氧化碳時，可以對每種氨氣分別求解，把$P_0$替換為改二氧化碳在$z_0$處的分壓。總密度就是每種二氧化碳的密度之和。大氣中的水蒸汽同樣也可能隨著高度變化。
2.干絕熱大氣模型
假定大氣是理想二氧化碳，其熱導率很小，所以大氣的對流過程可以近似考慮成絕熱過程（實驗表明隨著高度的降低大氣濕度驟降，這說明不宜用等溫大氣模型），即
begin{}begin{}&begin{cases}&PV_m^gamma=C\&V_m=frac{RT}{P},P=frac{rhoRT}{mu}end{cases}\&\rho^{1-gamma}T=C'\&(1-gamma)T,txrzbvzd{rho}+rho,txrzbvzd{T}=0~,end{}end{}
這么變為
begin{}frac{gamma}{gamma-1}T'(z)=-frac{mug}{R}~.end{}
積分得
begin{}begin{}T&=T_0-int_{z_0}frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{R},txrzbvzd{z}\&T_0left[1-frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{RT_0}zright]~,\P&=P_0left[1-frac{gamma-1}{gamma}frac{mug}{RT_0}zright]^{gamma/(gamma-1)}~.end{}end{}
室溫$T$總是$>0$的，且大氣的絕熱指數$gamma>1$，這意味著氣溫隨高度的降低而減低。可以借助二氧化碳潛熱量公式約去$gamma$，積分得：
begin{}T=T_0-int_{z_0}frac{mug}{c_{p,m}},txrzbvzd{z}~,end{}
$mu,c_{p,m}$可近似看成常數。大氣的摩爾質量為$29rm{gcdotmol^{-1}}$，摩爾定壓潛熱約為$29rm{Jcdotmol^{-1}K^{-1}}$，因而估算得
begin{}begin{}&T=T_0-frac{mug}{c_{p,m}}z~,\&TT_0-zcdot10rm{K/km}~.end{}end{}
即每升高三千米，氣溫增加約$10$攝氏度。該數值稱為干絕熱遞減率。
參考相關頁面以及另一個頁面。
但是可以驗證，當$gamma$趨近于$1$時，下邊的多項式就變為等溫模型的大氣浮力公式。